פנגייה

ALG1_006 בסיס ומימד

• זמן קריאה: 10 דק'

בסיס וממד

בסיס וממד

הגדרה:

יהי מרחב וקטורי נוצר סופית מעל שדה , ותהי . הקבוצה נקראת בסיס של אם בלתי תלויה לינארית ופורשת את . אנו נראה כי מספר האיברים בבסיס של אינו תלוי בבחירת הקבוצה , כלומר בכל בסיס של יש אותו מספר איברים, ולכן למספר זה יש שם. מספר האיברים בבסיס כלשהו של נקרא הממד של ומסומן:

הערות:

  1. מרגע זה כל הבסיסים הם סדורים. כלומר סדר איברי הבסיס חשוב, ושינוי סדר האיברים בבסיס נותן בסיס אחר.

הגדרות שקולות לבסיס

משפט:

יהי מרחב וקטורי נוצר סופית מעל לשדה , ותהי . אזי, הבאים על הקבוצה שקולים:

  1. הקבוצה היא בסיס של (כלומר בלתי תלויה לינארית ופורשת את .
  2. הקבוצה פורשת מינימלית של (אין קבוצה יותר קטנה מ- הפורשת את ).
  3. הקבוצה בלתי תלויה מקסימלית ב- (אין קבוצה בת”ל יותר גדולה ממנו ב-).

הערות:

  1. הממד של כמרחב וקטורי מעל - . אבל, מעל :

משפט ההחלפה

משפט:

יהי מ”ו מעל שדה . אזי, מספר האיברים בכל קבוצה הפורשת את גדול או שווה למספר האיברים בכל קבוצה בת”ל ב-. במילים אחרות:
תהי קבוצה פורשת של .
תהי קבוצה בלתי תלויה לינארית ב-. אזי .

קבוצה עם מספר מסוים של וקטורים

משפט:

יהי מ”ו מממד מעל שדה . אזי:

  1. כל קבוצה ב- המכילה יותר מ- וקטורים היא תלויה לינארית.
  2. כל קבוצה ב- המכילה פחות מ- וקטורים לא פורשת את .
    יהי מ”ו מממד מעל שדה . אזי:
  3. כל וקטורים בת”ל ב- הם בסיס.
  4. כל וקטורים הפורשים את הם בסיס.

ממד תת מרחב

משפט:

יהי מ”ו מעל לשדה . נסמן . יהי תמ”ו. אזי:

  1. מתקיים .
  2. מתקיים אמ”ם .

קבוצה פורשת למרחב הסכום

משפט:

יהי מ”ו מעל שדה . יהיו שני תת מרחבים של . יהי בסיס של , ויהי בסיס של , אז קבוצה פורשת .

קואורדינטות

הגדרה:

יהי מרחב וקטורי מעל השדה ויהי בסיס סדור כלשהו של . נתאים כל את וקטור הקואורדינטות . כלומר, לכל וקטור שאנו יכולים לכתוב כך (כי בסיס):

נתאים את וקטור הקואורדינטות :

התאמה זו היא פונקציה (כיוון ש- בסיס ולכן פורש, לכל יש וקטור קואורדינטות, והוא יחיד לפי הטענה).

פונקציה זו היא חח”ע ועל כי בהינתן -יה , מקור שלה יהיה .
יתרה מזאת, היא משמרת חיבור וכפל בסקלר:

  1. לכל , מתקיים:
  2. לכל מתקיים:

הוכחה:

  1. נניח , .
    אזי .
    כלומר:

תוצאה: קבוצת ווקטורים תלויה לינארית מעל אם”ם קבוצת ווקטורי הקואורדינטות טור שלהם תלויה מעל .

הוכחה:

  • קבוצה תלויה קיימים , כך שלא כולם אפסים, כך ש .
  • הקבוצה תלויה קיימים , כך שלא כולם אפסים, כך ש (פונקציה חח”ע ועל).
  • הקבוצה תלויה קיימים , כך שלא כולם אפסים, כך ש (לפי 1).
  • הקבוצה תלויה קיימים , כך שלא כולם אפסים, כך ש (לפי 2).

דוגמאות:

  1. קבע האם קבוצת המטריצות הבאה מהווה בסיס ל-.

כיוון שמדובר בקבוצה בת מטריצות די לבדוק אם הן בת”ל: נבדוק את הקואורדינטות שלהן לפי הבסיס:

אז הקואורדינטות שלהן:

נבדוק אם וקטורים אלו בת”ל:

קיבלנו כי הוקטורים הנ”ל בת”ל. בנוסף, , וקיבלנו גם וקטורים בת”ל, ולכן קבוצה זו פורשת את המרחב .

2. קבע אם הקבוצה הבאה היא בסיס של :

יש פוטנציאל לבסיס, כי שזהו מספר הוקטורים הנתונים. די לבדוק, האם הם בת”ל, ניקח קואורדינטות לפי (בסיס).

כבר ברור שהקבוצה תלויה (כי ). לכן אין זה בסיס של .

תרגילים:

  1. לאלו ערכי הוקטורים הבאים בסיס של ? ישנם וקטורים במרחב -ממדי לכן מספיק להראות שהם בת”ל. קיבלנו כי בסיס אם”ם .
  2. מצאו בסיס וממד למרחבים הבאים: איבר כללי ב-: קבוצה פורשת: זוהי קבוצה בת”ל כיוון ש: זוהי מטריצה מדורגת ולכן בת”ל. לכן הקבוצה הנ”ל גם בסיס. ממדה: .
    איבר כללי ב-: קבוצה פורשת: ניתן לראות כי בת”ל (המטריצה המתקבלת מדורגת) ולכן היא בסיס. כלומר: .

תרגיל: הוכח/הפרך:

  1. אם תמ”ו, אז .
    הטענה נכונה. אם בסיס של , אז הוא בת”ל מקסימלי ב-. אבל לא בהכרח מקסימלי ב-. ולכן .

הצבת מטריצה בפולינום

הגדרה:

יהי . אזי:

תרגילים:

  1. הוכיחו כי לכל מטריצה , קיים פולינום לא אפס ממעלה לכל היותר שמאפס את .
    נביט ב- - וקטורים. זו קבוצה ת”ל, כיוון שיש לנו יותר וקטורים מאשר ממד המרחב () לכן קיימים סקלרים לא כולם אפס, כך ש: נגדיר ואכן מתקיים .

תרגילים:

  1. נתון כך ש:
    א. בת”ל
    ב. בת”ל
    ג.
    הוכחו כי בת”ל.
    פתרון:
    ניקח: רוצים להראות שכולם בהכרח אפסים.
    מ-ג’ נובע כי: . בנוסף, מתקיים כי אחרת בסתירה ל-ב’. נציב: מ-א’ נובע כי: מצאנו כי , ולכן בת”ל

משפט הממדים הראשון

משפט הממדים הראשון

משפט:

אם ו- ת”מ של , אז:

בפרט, אם (הסכום ישר) אז:

הוכחה:

נניח .
צ”ל: .
לשם כך נציג בסיס של שמכיל ווקטורים
יהי בסיס של . זו תת-קבוצה בת”ל ב- וגם ב-. נשלים אותה לבסיס של כל :

ולבסיס של כל :

נתבונן בקבוצה . גודל הוא .

די להראות ש-:

  1. פורשת את כל : יהי . אזי:

    לכן נפרש ע”י הקבוצה .
  2. נראה שהיא בת”ל. נתבונן ב: נסמן , אזי גם מתקיים: לכן .
    מכאן שניתן לרשום את כצירוף לינארי של איברי בסיס החיתוך. זהו בסיס של ולכן בת”ל:
    נציב ב-: זהו בסיס של . לכן הם בת”ל. לכן הקבוצה בת”ל.

ממד מרחב השורות של מטריצה שווה לדרגתה

משפט:

תהי . אזי ממד מרחב השורות של שווה לדרגה של . כלומר

הוכחה:

למציאת ממד השורות של יש למצוא בסיס למרחב זה. לפי ההגדרה, נפרש ע”י השורות של . למטריצות שקולת שורות אותו מרחב שורות, ולכן, השורות שונות מ- לאחר הדירוג פורשות את .

השורות השונות מ- במטריצה מדורגת הן בת”ל ולכן הן בסיס של . מספרן שווה לדרגה של , וגם שווה לממד של . ולכן .

ממד מרחב השורות של מטריצה שווה לממד מרחב העמודות שלה

משפט:

תהי . אזי ממד מרחב השורות של שווה לממד מרחב העמודות שלה:

או:

דוגמאות:

  1. האם מרחב השורות של שווה ל-?

לפי משפט, תת מרחב שווה למרחב כולו אם”ם הם בעלי אותו ממד. ממד מרחב השורות שווה לדרגתה, שהוא לפי המשפט שווה לדרגתה של המטריצה המשוחלפת, .
קל לראות כי שתי העמודות הראשונות של לא פרופורציונליות, ולכן הן בת”ל. מכך נסיק כי:

אבל, העמודה השלישית היא צ”ל שתי העמודות הראשונות, ולכן היא תתאפס בדירוג. לכן:

לפי משפט, נסיק כי , לעומת שעבורו ולכן מרחב השורות של אינו שווה ל-.

דרגת מכפלת מטריצות קטנה או שווה למינימום הדרגות של גורמיה

משפט:

יהיו מטריצות כך שהמכפלה מוגדרת. אזי:

הוכחה:

לפי טענה, עמודות הן צירוף לינארי של עמודות , ולכן מרחב העמודות של מוכל במרחב העמודות של :

ולכן לפי משפט:

ולפי משפט:

באותו אופן, כיוון ששורות הן צירוף לינארי של שורות , נסיק כי:

ולכן:

ממד מרחב הפתרונות של ממ”ל הומוגנית

משפט:

תהי , אזי ממד מרחב הפתרונות של הממ”ל ההומוגנית שווה ל-, כלומר שווה למספר דרגות החופש של הממ”ל

דוגמאות:

  1. מצאו בסיס וממד למרחב הפתרונות () של המערכת ההומוגנית:

קיבלנו כי:

ווקטורים אלו פורשים את ובת”ל. ולכן .
באופן כללי:

כלומר ממד מרחב הפתרונות שווה למספר דרגות החופש.