CAL1_011 טורי חזקות

→ קודם: CAL1_010

טורי חזקות

טור חזקות

הגדרה:

טור חזקות סביב נקודה הוא ביטוי מהצורה:

עבור אלו הטור מתכנס? עבור הטור מתכנס כי הוא פשוט .

רדיוס ההתכנסות

משפט:

יהי טור חזקות.

1. אם הטור מתכנס עבור אז לכל עבורו הטור מתכנס.
2. אם הטור אינו מתכנס עבור אז לכל עבורו הטור אינו מתכנס.
   
3. קיים שנקרא רדיוס ההתכנסות של טור החזקות, עם התכונות הבאות:

• אם אז מתכנס.
• אם אז לא מתכנס.
  

הערות:

1. נביט ב:

עבור:

לכן עבור סעיף 2, הדרישה היא לא .

כאשר:

דוגמאות:

1. הטור:

תחום ההתכנסות שלו הוא . מדוע?

הוכחה:
נוכיח את סעיף א’:
מתקיים עבורו מתכנס. נניח שעבור מסויים . כיוון ש- מתכנס, אז:

ולכן:

נשים לב כי:

מתקיים כי .
לכן:

הטורים אי שליליים, ולכן לפי מבחן ההשוואה הגבולי, מהתכנסות נובעת התכנסות .
ולכן מתכנס בהחלט ובפרט מתכנס.

אלגוריתם: מציאת רדיוס התכנסות

איך מוצאים רדיוס התכנסות של טור חזקות ? נפעיל מבחן השורש:

אם קיים במובן הרחב, אז לפי מבחן השורש:

אזנדרושששלנויגרורהתכנסותכלומראםנסמןנקבלאתמהשרצינואםאזואםאז

|x-{x}{0}|>R \implies \frac{|x-{x}{0}|}{\frac{1}{\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ |a_{n}| }}}=|x-{x}{0}|\cdot \lim{ n \to \infty } \sqrt[n]{ |a_{n}| }>1\implies= \infty

#### נוסחת קושי הדמר >[!theorem] משפט: > >אם $\lim_{ n \to \infty }\sqrt[n]{ |a_{n}| }$ קיים במובן הרחב, אז: >$$ > R=\frac{1}{\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ |a_{n}| }} > $$ > >עם ההבנה שכאשר $\lim_{ n \to \infty }\sqrt[n]{ |a_{n}| }=0$ אז $R=\infty$ וכאשר $\lim_{ n \to \infty }\sqrt[n]{ |a_{n}| }=\infty$ אז $R=0$. מה אם מפעילים את מבחן המנה? #### נוסחת דלמבר >[!theorem] משפט: > >אם $\lim_{ n \to \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}$ קיים במובן הרחב אז: >$$ > R=\frac{1}{\lim_{ n \to \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{|a_{n}|}{|a_{n+1}|} > $$ --- ### טור חזקות כפונקציה >[!theorem] משפט: > >יהי $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-{x}_{0})^{n}$ טור חזקות עם רדיוס התכנסות $0<R\leq \infty$ ותחום התכנסות $I$. >1. טור החזקות כפונקציה ($f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-{x}_{0})^{n}$) רציפה בקטע $I$. >2. לטור החזקות $\sum_{n=0}^{\infty}na_{n}(x-{x}_{0})^{n-1}$ יש רדיוס התכנסות $R$ ותחום התכנסות שמוכל ב-$I$. כלומר, בגזירה, רדיוס ההתכנסות לא משתנה, אבל אנו עלולים לאבד קצוות. > בקטע שהוא תחום ההתכנסות של $\sum_{n=0}^{\infty}na_{n}(x-{x}_{0})^{n-1}$ מתקיים: > $$ > \left( \sum_{n=0}^{\infty } na_{n}(x-{x}_{0})^{n} \right)'=\sum_{n=0}^{\infty } na_{n}(x-{x}_{0})^{n-1} > $$ >3. לטור החזקות: > $$ > \sum_{n=0}^{\infty } \frac{a_{n}}{n+1}(x-{x}_{0})^{n+1} > $$ > יש רדיוס התכנסות $R$ ותחום ההתכנסות שמכיל את $I$, ולכל $x$ בתחום ההתכנסות של $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1}(x-{x}_{0})^{n+1}$ מתקיים: > $$ > \int_{{x}_{0}}^{x} \sum_{n=0}^{\infty } a_{n}(t-{x}_{0})^{n} \, \mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{a_{n}}{n+1}(x-{x}_{0})^{n+1} > $$ >4. לכל $n\geq 0$: > $$ > a_{n}=\frac{f^{(n)}({x}_{0})}{n!} > $$ >5. אם $\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}(x-{x}_{0})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-{x}_{0})^{n}$ בסביבה של ${x}_{0}$, אז $b_{n}=c_{n}$ לכל $n\geq 0$. <center> <iframe width=640 height=360 src="https://www.youtube.com/embed/83exawMU9Fg"></iframe> </center>

→ קודם: CAL1_010