	סטודנט א’	סטודנט ב’
שם	עידו פנג בנטוב	הדס כץ
ת”ז	CLASSIFIED	CLASSIFIED
דואר אלקטרוני	CLASSIFIED	CLASSIFIED

תאריכי ביצוע המעבדה	29/04/2025	06/05/2025
תאריך הגשה	28/04/2025

הדוח/פרויקט המוגש בזאת הוא פרי של עבודה וחשיבה עצמאית שביצענו עם חברי הקבוצה בלבד. אנו מצהירים שנעזרנו באחד או יותר מהאמצעים שהוזכרו באופן הבא:

צ’אט GPT - עזרה בניסוח בלבד.

רקע מדעי

ריכוז מאמצים

ריכוז מאמצים מתאר אזור שבו הכוח הפועל על הדגם יוצר מאמץ גבוה מהרגיל, לרוב עקב הפחתה מקומית בשטח החתך (כגון חור, סדק או חריץ). לתופעה זו חשיבות מכרעת מאחר שכשל מכני לרוב נוטה להתחיל מאותו אזור.

מקדם ריכוז המאמצים מוגדר כיחס בין המאמץ המקסימלי לבין המאמץ הנומינלי :

K=\dfrac{{\sigma}_{\max_{}}}{\sigma} \tag{1} $$^formula-1 במקרה של ריכוז מאמצים הנגרם עקב חור עגול ברדיוס בפלטה הנתונה למתיחה, קיים פתרון אנליטי של **Kirsch** לחישוב מקדם ריכוז המאמצים, תחת ההנחות הבאות: - הפלטה דקה ובעלת ממדים אינסופיים במישור. - החומר מתנהג בצורה אלסטית (כולל באזור של המאמץ המקסימלי). בהתבסס על [[#ביבליוגרפיה|(Kirsch, 1898)]], התפלגות המאמץ המשיקי בקואורדינטות קוטביות מתוארת על ידי:

{\sigma}_{\theta\theta}(r,\theta)=\dfrac{\sigma}{2}\left[ 1+\left( \dfrac{a}{r} \right)^{2} \right]-\dfrac{\sigma}{2}\left[ 1+3\left( \dfrac{a}{r} \right)^{4} \right]\cos (2\theta)\tag{2}

כאשר: - $a$ הוא הרדיוס של החור. - $r$ הוא המרחק ממרכז החור. לפי פתרון זה, הערך המקסימלי של ${\sigma}_{\theta\theta}$ מתקבל ב- $r=a$ ו- $\theta=90^{\circ}$, כך ש- ${\sigma}_{\theta\theta}=3\sigma$, ולכן מקדם ריכוז המאמצים הוא $K=3$. ## התפלגות מרחבית של עיוותים פלסטיים כאשר מתרחשת פלסטיות, העיוותים אינם מתפלגים בצורה אחידה אלא מתרכזים באזור צר שבו מופיעים עיוותי גזירה גבוהים במיוחד. תופעה זו מובילה להיווצרות צוואר, הופעת נקבוביות ולבסוף לכשל. ## מקדם עוצמת מאמצים בקצה סדק בתורת השבר, מאמצים ליד קצה סדק באלסטיות לינארית שואפים לאינסוף. לכן במקום לדבר על ריכוז מאמצים, משתמשים במושג **מקדם עוצמת המאמצים (stress intensity factor)**. עבור דגם של פלטה דקה שיש בה סדק לאורך ציר $\hat{\mathbf{x}}$ המועמסת במתיחה לאורך ציר $\hat{\mathbf{y}}$ (מצב עמיסה $\text{Mode } \mathrm{I}$) המאמצים סביב קצה הסדק מתוארים על ידי:

{\sigma}{ij}=\dfrac{{K}{I}}{\sqrt{ 2\pi r }}{f}_{ij}(\theta)\tag{3}

כ א ש ר ה ו א ה מ ר ח ק מ ק צ ה ה ס ד ק ה י א ה ז ו ו י ת ב י ח ס ל צ י ר ה ה י א פ ו נ ק צ י ה ה ת ל ו י ה ב כ י ו ו ן ה מ א מ צ י ם ה מ ק ד ם ת ל ו י ב מ א מ ץ ה ח י צ ו נ י ו ב א ו ר ך ה ס ד ק ו ע ב ו ר פ ל ט ה א י נ ס ו פ י ת

{K}_{I}=1.12\sigma\sqrt{ \pi a }\tag{4}

כאשר $a$ הוא אורך הסדק. בפלטות מממד סופי, ערך הקבוע $1.12$ משתנה במעט אך נשאר בסדר גודל דומה. # מטרות המעבדה 1. היכרות והתנסות בשתי השיטות הנפוצות ביותר למדידת עיבורים, מדי עיבור (gauge strain) ו- (DIC (correlation image Digital. הדגמה של מיפוי עיבורים באמצעות צילום המבוסס על תופעת הפוטואלסטיות. 2. הבנת המאפיינים של כל שיטה במונחים של רזולוציית עיבורים, תחום עיבורים נמדד, ויכולת מדידת עיבורים באופן מקומי. 3. היכרות עם מכשור המדידה וכיצד המאפיינים (specifications) שלו משפיעים על דיוק הניסוי. בפרט, השפעת צפיפות הכתמים (speckles), גודל ה subset, ורדיוס המיצוע של העיבורים על הדיוק של מדידות באמצעות DIC. 4. הבנת המשמעות של ריכוז מאמצים והתפלגות עיבורים והכרת האתגרים במדידה שלהם. הכרת התפלגות מאמצים בסביבת סדק והמושג של מקדם עוצמת המאמצים. # מערכת הניסוי ותיאור תהליך הניסוי ## תיאור עקרוני של שיטות המדידה **מדי עיבור (Strain Gauges)** שיטה זו מבוססת על שינוי ההתנגדות החשמלית של חוט כתוצאה משינוי באורכו. עבור חומרים מתכתיים, קיים יחס לינארי בין שינוי ההתנגדות לבין העיבור, המתואר במשוואה:

\dfrac{\Delta R}{{R}_{0}}=\mathrm{GF}\cdot\varepsilon\tag{5}

כ א ש ר ה ו א ה ה ת נ ג ד ו ת ה ה ת ח ל ת י ת ל ל א ע י ב ו ר ה ו א מ ק ד ם ה ר ג י ש ו ת ש ל ה ח י י ש ן ה ו א ה ע י ב ו ר א ם א נ ו מ ש ת מ ש י ם ב מ ד י ד י ח י ד ל ל א מ ע ג ל ח ש מ ל י נ ו ס ף א ז ע ק ב ה פ ע ל ת ע י ב ו ר ה מ ת ח ב מ ד י ד י ה י ה

V={V}_{0}(1+\mathrm{GF}\cdot\varepsilon)

כ א ש ר ה ו א ה מ ת ח ע ב ו ר ע י ב ו ר א פ ס ב מ ע ר כ ת ה נ י ס ו י א נ ו נ ח ב ר א ת ה מ ד ע י ב ו ר ל ג ש ר ו י ט ס ט ו ן כ ד י ל ה ג ב י ר א ת ה מ ת ח ו ג ם ל ק ב ל ע ר ך ש ה ו א פ ר ו פ ו ר צ י ו נ א ל י ל ב מ ע ג ל ח ש מ ל י ז ה נ י ת ן ל ח ש ב א ת ה ע י ב ו ר ב א מ צ ע ו ת ה מ ש ו ו א ה

\varepsilon=\dfrac{4{V}{\text{out}}}{\mathrm{GF}\cdot {V}{\text{in}}}\tag{6}

כ א ש ר ה ו א מ ת ח ה כ נ י ס ה ו ה ו א מ ת ח ה י צ י א ה פ ו ט ו א ל ס ט י ו ת ח ל ק מ ה ח ו מ ר י ם מ ר א י ם ש י נ ו י ל י נ א ר י ב מ ק ד ם ה ש ב י ר ה ש ל א ו ר ת ח ת ע י ב ו ר ת ו פ ע ה ה נ ק ר א ת פ ו ט ו א ל ס ט י ו ת כ א ש ר מ ע ב י ר י ם ק ר ן א ו ר מ ְ ק ֻ ט ּ ָ ב ד ר ך ח ו מ ר פ ו ט ו א ל ס ט י מ ע ו ב ד מ ת ק ב ל ה ב ד ל ב מ ק ד מ י ה ש ב י ר ה ב כ י ו ו נ י ם ש ו נ י ם ו כ ת ו צ א ה מ כ ך נ צ פ י ם פ ר י נ ג י ם פ ס י ם צ ב ע ו נ י י ם ב ע ל י ס ד ר מ ו ג ד ר ה מ ע י ד י ם ע ל ה פ ר ש י מ א מ צ י ם ב מ ו ד ל ס ד ר ה ת ל ו י ב א ו פ ן ל י נ א ר י ב ע י ב ו ר א ב ל ג ם ב ע ו ב י ה ח ו מ ר ה פ ו ט ו א ל ס ט י ש א י נ ו י ד ו ע ב מ ד ו י ק ב מ י ד ה ו נ ד ע א ת ה ע י ב ו ר ע ב ו ר ע ר ך מ ס ו י ם ש ל ל ד ו ג מ א ב א מ צ ע ו ת מ ד ע י ב ו ר ה מ ו ד ד ב נ ק ו ד ה מ ס ו י מ ת נ ו כ ל ל ח ש ב א ת ה ע י ב ו ר ע ב ו ר כ ל ש א ר ה ע ר כ י ם ש ל ב ה י נ ת ן ס ד ר י ה פ ר י נ ג י ם נ ו כ ל ל ח ש ב א ת מ ק ד ם ר י כ ו ז ה מ א מ צ י ם ב א מ צ ע ו ת

K=\dfrac{N^{\max_{}}-{{{N}{0}}}^{\max{}}}{N^{\mathrm{nom}}-{{{N}_{0}}}^{\mathrm{nom}}}\tag{7}

K=\dfrac{{\sigma}{\max{}}}{\sigma}

ל פ י ח ו ק ה ו ק

\begin{align}
K & =\dfrac{{\varepsilon}{\max{}}\cancel{ E }}{\varepsilon \cancel{ E }} \[1ex]
& =\dfrac{{\varepsilon}{\max{}}}{\varepsilon}
\end{align}

נ צ י ב א ת ה ע י ב ו ר י ם ש ק י ב ל נ ו ו נ מ צ א כ י ל פ י מ ד י ה ע י ב ו ר

{K}_{\text{SG}}=1.5530

כ ד י ל ח ש ב א ת ה ש ג י א ה ה א ק ר א י ת נ ש י ם ל ב ש ל ש ל מ ד ה ע י ב ו ר י ש ש ג י א ה ש ל מ ה ע ר ך ה נ מ ד ד ל כ ן ה ש ג י א ה ש ל ה ש י פ ו ע ש ל כ ל ג ר ף ה ו א

\begin{aligned}
& \dfrac{\delta{\varepsilon}{1}}{{\varepsilon}{1}}=\dfrac{\delta \mathrm{GF}}{\mathrm{GF}} =\pu{0.01}\[1ex]
& \dfrac{\delta{\varepsilon}{3}}{{\varepsilon}{3}}= \dfrac{\delta \mathrm{GF}}{\mathrm{GF}}=\pu {0.01}
\end{aligned}

ו ל כ ן ה ש ג י א ה ה נ ג ר ר ת ש ל ה י א

\begin{aligned}
\dfrac{\delta K}{K}& =\sqrt{ \left( \dfrac{\delta{\varepsilon}{1}}{{\varepsilon}{1}} \right)^{2}+\left( \dfrac{\delta{\varepsilon}{3}}{{\varepsilon}{3}} \right)^{2} } \[1ex]
& =0.014142
\end{aligned}

## חישוב מקדם ריכוז המאמצים מפוטואלסטיות לפי הניתוח שביצענו ב[[#^figure-6|איור 6]] , ומ[[#^formula-7|משוואה]] $\text{(7)}$:

\begin{aligned}
{K}_{\text{PE}} & =\dfrac{4-2.35}{1.08-0.28} \[1ex]
& =2.0625
\end{aligned}

ב ה נ ח ה ו ה ש ג י א ה ש ל נ ו ב ב ח י ר ת ס ד ר י ה ע ו מ ד ת ע ל ה ש ג י א ה ש ל ה ה י א

\begin{aligned}
\dfrac{\delta {K}{\mathrm{PE}}}{{K}{PE}} & =\sqrt{ \left( \dfrac{\delta N^{}}{N^{\max_{}}-{{{N}{0}}}^{\max{}}} \right)^{2}+\left( \dfrac{\delta N}{N^{\text{nom}}-{{{N}_{0}}}^{\text{nom}}} \right)^{2} } \[1ex]
& =0.3929
\end{aligned}

## חישוב קשר בין מדידות מדי העיבור והפוטואלסטיות עבור מד-העיבור והניתוח הפוטואלסטי, העיבורים בעומס המקסימלי הם:

\begin{aligned}
& {\varepsilon}{\text{nom}}=\pu{7.5539e-4} & & N^{\text{nom}}-{{{N}{0}}}^{\text{nom}}=1.08-0.28=0.8 \[1ex]
& {\varepsilon}{\max{}}=\pu {1.1352e-3 } & & N^{\max_{}}-{{{N}{0}}}^{\max{}}=4-2.35=1.65
\end{aligned}

ו ל כ ן

\dfrac{{\varepsilon}{\text{nom}}}{N^{\text{nom}}-{{{N}{0}}}^{\text{nom}}}=\pu {9.4423e-4 },\qquad \dfrac{{\varepsilon}{\max{}}}{N^{\max_{}}-{{{N}{0}}}^{\max{}}}=\pu{6.88e-4}

## חישוב שגיאה תאורטית על מנת לחשב את השגיאה התאורטית של הפתרון הנומרי

{K}_{tg}=0.284+2\left( 1-\dfrac{d}{H} \right)^{-1}-0.6\left( 1-\dfrac{d}{H} \right)^{}+1.32\left( 1-\dfrac{d}{H} \right)^{2}

נ י ק ח ב ח ש ב ו ן א ת ש ג י א ו ת ה מ ד י ד ה ש ל ק ו ט ר ה ח ו ר ו ר ו ח ב ה ד ג ם

H=(48\pm 0.1),\pu{mm},\qquad d=\pu{(14\pm 0.1),\pu{mm}}

ה ש ג י א ה ה נ ג ר ר ת ה י א

\delta K_{tg} = \sqrt{ \left( \frac{\partial K_{tg}}{\partial d} \delta d \right)^2 + \left( \frac{\partial K_{tg}}{\partial H} \delta H \right)^2 }

כ ד י ל פ ש ט א ת ה ח י ש ו ב נ ג ד י ר מ ש ת נ ה ע ז ר כ ך ש נ ו כ ל ל כ ת ו ב א ת ב צ ו ר ה

K_{tg} = 0.284 + 2X^{-1} - 0.6X + 1.32X

ה נ ג ז ר ת ש ל ב י ח ס ל ה י א

\frac{dK_{tg}}{dX} = -2X^{-2} - 0.6 + 2.64X

ה נ ג ז ר ו ת ה ח ל ק י ו ת ש ל ב י ח ס ל מ ש ת נ י ה מ ד י ד ה ה ן

\frac{\partial X}{\partial d} = -\frac{1}{H}, \qquad \frac{\partial X}{\partial H} = \frac{d}{H^2}

ב א מ צ ע ו ת כ ל ל ה ש ר ש ר ת נ ח ש ב א ת ה נ ג ז ר ו ת ה ח ל ק י ו ת ש ל

\begin{aligned}
& \frac{\partial K_{tg}}{\partial d} = \frac{dK_{tg}}{dX} \cdot \frac{\partial X}{\partial d} = \left(-2X^{-2} - 0.6 + 2.64X\right) \cdot \left(-\frac{1}{H}\right) \[1ex]
& \frac{\partial K_{tg}}{\partial H} = \frac{dK_{tg}}{dX} \cdot \frac{\partial X}{\partial H} = \left(-2X^{-2} - 0.6 + 2.64X\right) \cdot \left(\frac{d}{H^2}\right)
\end{aligned}

ל א ח ר ה צ ב ת ה ע ר כ י ם מ ת ק ב ל

\begin{aligned}
& X = 1 - \frac{14}{48} = 0.7083
\end{aligned}

ל כ ן

\begin{aligned}
& \frac{\partial K_{tg}}{\partial d} = (-2.7157) \cdot \left(-\frac{1}{48}\right) = 0.0566 \[1ex]
& \frac{\partial K_{tg}}{\partial H} = (-2.7157) \cdot \left(\frac{14}{48^2}\right) = -0.0165
\end{aligned}

נ ק ב ל ש ש ג י א ת ה י א

\delta K_{tg} = 0.0059

## חישוב מודול יאנג מרגרסיה לינארית היות והוא מוכל בשיפוע של גרף עומס-עיבור, באופן הבא

\sigma=\dfrac{F}{A}

ל פ י ק ש ר י מ א מ ץ ע י ב ו ר ב ת ח ו ם ה א ל ס ט י מ ת ק י י ם ו ל כ ן

E=\dfrac{F}{\varepsilon}\cdot A

מ ד ד נ ו א ת ש ט ח ה ח ת ך

\begin{aligned}
& W=\pu{(12.5\pm 0.1)mm}, & & D=\pu{(5\pm 0.1)mm}
\end{aligned}

ה ש ג י א ה ה נ ג ר ר ת

\delta A=A\sqrt{ \left( \dfrac{\delta W}{W} \right)^{2}+\left( \dfrac{\delta D}{D} \right)^{2} }

נ ק ב ל כ י ה ש ט ח ח ת ך

A=(62.500\pm 1.346),\pu{mm^{2}}

מ ה ר ג ר ס י ה ה ל י נ י א ר י ת א נ ו י ו ד ע י ם ל ח ל ץ א ת ה ש י פ ו ע כ ע ת כ ל מ ה ש נ ו ת ר ה ו א ל ה צ י ב ב כ ד י ל ח ש ב א ת ה ש ג י א ה ש ל ל פ י ש ג י א ה נ ג ר ר ת

\delta E=E\sqrt{ \left( \dfrac{\delta A}{A} \right)^{2}+\left( \dfrac{\delta [F/\varepsilon]}{F/\varepsilon} \right)^{2}}

## פיתוח הקשר הלוגריתמי בין עיבור לרדיוס לפי [[#^formula-3|משוואה]] $\text{(3)}$:

\begin{gathered}
{\sigma}{yy}=\dfrac{{K}{I}}{\sqrt{ 2\pi r }} \[1ex]
\end{gathered}

ב ת ח ו ם ה א ל ס ט י ל פ י ק ש ר י מ א מ ץ ע י ב ו ר

{\varepsilon}{yy}=\dfrac{{K}{I}}{E\sqrt{ 2\pi }} \cdot r^{-0.5}

נ פ ע י ל

\ln({\varepsilon}{yy})=\ln\left( \dfrac{{K}{I}}{E\sqrt{ 2\pi }} \right)-\dfrac{1}{2}\ln(r)

א ו פ ש ו ט

\ln({\varepsilon}_{yy})=\text{const} -\dfrac{1}{2}\ln(r)

# ביבליוגרפיה 1. Kirsch, G. (1898). _Die theorie der elastizität und die bedürfnisse der festigkeitslehre_. Springer. [https://books.google.co.il/books?id=pvBuPwAACAAJ](https://books.google.co.il/books?id=pvBuPwAACAAJ) 2. Bi, Z., Pilkey, W. D., & Pilkey, D. F. (2020). _Peterson's stress concentration factors_ (Fourth edition). John Wiley & Sons, Inc.

פנגייה

מעבדה במדידת עיבורים

רקע מדעי

ריכוז מאמצים

תוכן עניינים

עמודים המציינים את העמוד הזה