הקשר בין זמן מחזור של מטוטלת לאורכה

¹

מספר קורס	01140032
מספר קבוצה	54
עמדת עבודה	23
שם מדריך	רז עמר
מגישים	עידו פנג בנטוב CLASSIFIED CLASSIFIED
תאריך	23/04/2025
דוח מסכם לניסוי	מטוטלת פשוטה

---

---

תקציר

מטרת הניסוי הייתה לבחון את הקשר בין אורך חוט המטוטלת לבין זמן המחזור שלה, בהתאם למודל של מטוטלת מתמטית.
לשם כך הרכבנו מערכת ניסוי שכללה כדור פלדה, שני חוטים שתמכו בו, ומעמד יציב על מנת להבטיח שהמערכת לא תנוע בזמן המדידות.
ביצענו תצפיות לקביעת זווית סטייה התחלתית מתאימה שלא תחרוג מהנחות המודל. לאחר מכן מדדנו את זמני המחזור של המטוטלת עבור מספר אורכי חוט שונים.
בעזרת הנתונים שבידינו אפיינו את הקשר בין המשתנים וביצענו לינאריזציה של הנתונים כדי לאמת את ההתאמה לחוק התאורטי של מטוטלת מתמטית, אשר מתאר קשר מהצורה:¹

הממצאים שהתקבלו תאמו את הציפיות התאורטיות, ואישרו את ההנחות שהמטוטלת אכן מתנהגת כמטוטלת מתמטית במסגרת התנאים שנבדקו. ²

מבוא

מטוטלת פשוטה היא מערכת הכוללת מסה התלויה בקצה חוט דק הנתונה להשפעת כוח הכבידה , כאשר אורך החוט נמדד מנקודת הציר ועד למרכז המסה של המשקולת.

איור 1: מערכת מטוטלת מתמטית.

מערכת הניסוי שלנו כללה כדור פלדה בקוטר התלוי על חוט דייג שקשור בשני צדדיו למוט מתכתי אופקי על מנת לאפשר תנועה במישור אחד בלבד. המוט האופקי מחובר למוט אנכי המוצמד ע”י מגנט לשולחן העבודה.

איור 2: מערכת המדידה לניסוי.

למדידת הגדלים הפיזיקליים השתמשנו בקליבר, סרגל, מד-משקל ושעון-עצר עם תזמון אנושי.

הניסוי הסתמך על מספר הנחות תאורטיות:

1. מסת החוט זניחה ביחס למסת המשקולת.
2. קוטר המשקולת זניח ביחס לאורך החוט.
3. החיכוך (עם האוויר ועם חלקי המערכת) ניתן להזנחה.
4. המשקולת נעה בזוויות קטנות, כך שניתן לקרב את סינוס הזווית לערך הזווית עצמה.
5. התנועה מתבצעת במישור אחד בלבד.

כדי לבדוק את תקפות המודל, מדדנו את זמן המחזור של המטוטלת עבור מספר אורכי חוט שונים. כדי להקטין את שגיאות המדידה הנובעות מתגובה אנושית ושעון העצר, מדדנו את הזמן של עשרה מחזורים בכל הרצה וחילקנו את הזמן הכולל בעשר.

באמצעות אנליזת ממדים התקבל קשר מהצורה:

כאשר הוא זמן המחזור ב-; ו- הוא אורך החוט ב-. משוויון ממדים אנו מצפים לקבל .

לאחר מכן בוצעה לינאריזציה² ונרמול לפי גדלים אופייניים לקבלת משוואה מהצורה:

כאשר ו- הם הגדלים האופייניים של הביטויים המתאימים.

---

---

תוצאות הניסוי

הכנות לניסוי

³

כהכנה לניסוי מדדנו את את מסת המשקולת, מסת החוט, קוטר המשקולת ואורך החוט.

כאשר היא מסת המשקולת, היא מסת החוט, הוא קוטר כדור הפלדה, ו- הוא אורך החוט ההתחלתי, שהוא גם אורך החוט הכי קצר שנשתמש בניסוי. בנוסף, אנו מניחים , כאשר הוא סך הזמן הנמדד, כהחמרה על זמן התגובה האנושי הממוצע שעומד על .

ניתן לראות שמתקיים וגם ולכן מתקיימות ההנחות שמסת החוט זניחה ביחס למסת המשקולת וקוטר המשקולת זניח ביחס לאורך החוט.

רצינו לבחור זווית שתקיים את ההנחת זוויות קטנות. בחרנו באורך (כאשר הסימון הוא עבור האורך הראשון שבחרנו, בניסוי בהמשך הוא משתנה), ושחררנו את המטוטלת מ- זוויות התחלה שונות, מ- עד בהפרשים של . מדדנו את זמן המחזור הממוצע מתוך מחזורים לכל זווית והזנו את התוצאות לתוכנת MATLAB. בנוסף, התייחסנו גם לשגיאת זמן התגובה, שהערכנו כ- . חשוב להעיר ששגיאה זו קְטֵנָה פי כי מדדנו מחזורים.

איור 3: זמן מחזור כתלות בזווית השחרור. ⁴

ניתן לראות מהגרף ⁵ שעבור זוויות קטנות מ- השיפוע מתחיל להיות אופקי, ולכן השינוי בזמן המחזור בין זווית לזווית זניח. במילים אחרות, הנחת זוויות קטנות חלה עבור זוויות קטנות מ- ולכן נבחר בזווית זו כזווית השחרור בניסוי.

---

---

מהלך הניסוי

עבור אורכי חוט שונים מ- עד בהפרשים של , מדדנו את זמן המחזור הממוצע מתוך מחזורים לכל זווית. בעזרת MATLAB, חילקנו את הגדלים המתאימים בגדלים האופייניים שלהם (בחרנו בערך המקסימלי שהתקבל עבור כל אחד), ולקחנו את ה- שלהם. בנוסף, ביצענו רגרסיה לינארית על מנת לחשב את השיפוע של הגרף שהתקבל. כמו בגרף הקודם, התייחסנו גם לשגיאת הזמן תגובה.
התוצאות מוצגות בגרף הבא:

איור 4: גרף של , והרגרסיה הלינארית שלו.

מהרגרסיה הלינארית קיבלנו מ-MATLAB קיבלנו:

התוצאה קרובה מאוד לערך התאורטי ⁶, מה שמאמת את החוק התאורטי של מטוטלת מתמטית.

דיון בתוצאות והשוואה לתאוריה

במהלך הניסוי נבחנו הקשרים בין משתנים שונים בתנועת המטוטלת, ובפרט נבדק האם מתקיים הקשר התאורטי בין זמן המחזור לאורך החוט, בהתאם למשוואה (3). על פי התאוריה, ערכו של אמור להיות .

מניתוח איור L1.3 וקו הרגרסיה שהותאם באמצעות MATLAB, התקבלה המשוואה:

ניתן לראות כי ערכו של קרוב מאוד לערך התאורטי (), עם שגיאה יחסית של כ- בלבד. בנוסף, טווח השגיאה שחושב בגרף כלל את הערך התאורטי - דבר המהווה אינדיקציה לחפיפה בין המודל לתוצאה הנמדדת.

---

---

ניתוח שגיאות

למרות ההתאמה הכללית למודל התאורטי, קיימות מספר שגיאות שהשפיעו על תוצאת הניסוי:

1. שגיאת מדידה אנושית: תזמון שחרור המשקולת וספירת מחזורים נעשו ידנית על ידי סטודנט יחיד, דבר שהכניס עיכוב בזמן התגובה.
2. שגיאת מכשירים: חלק מהמדידות בוצעו באמצעות כלים לא מדויקים, לדוגמה: סרגל מדידה בעל דיוק של מ”מ ושעון עצר ידני, שתורמים לסטייה מצטברת במדידות האורך והזמן.
3. הנחות לא אידאליות: הניסוי התבסס על הנחות כמו חוט חסר מסה, תנועה במישור יחיד ומסה נקודתית, אולם בפועל המשקולת בעלת קוטר מסוים, החוט בעל מסה, והתנועה כללה גם סטיות קלות מהכיוון הראשי. כמו כן, חיכוך בציר ובאוויר גרם לדעיכת אנרגיה לאורך זמן.

התורם המרכזי לשגיאה

הגורם הדומיננטי לשגיאה הוא כנראה השגיאה האנושית בתזמון וזמן התגובה. סטייה של כמעט שנייה בזמני מחזור קצרי טווח יוצרת השפעה ניכרת על תוצאת הניסוי.

דרכים לשיפור

• שימוש בחיישנים אוטומטיים לזיהוי תנועת המטוטלת במקום תזמון ידני.
• הגדלת מספר המחזורים בכל מדידה - דבר שמקטין את השפעת שגיאת הזמן על מחזור בודד.
• הקטנת קוטר המשקולת כך שתתקרב יותר למסה נקודתית.
• שימוש בכלי מדידה מדויקים יותר (מד זווית דיגיטלי, שעון עצר אוטומטי).

מסקנות

מתוצאות הניסוי עולה כי קיים קשר לוגריתמי לינארי בין זמן המחזור של המטוטלת לאורך החוט, בהתאם למודל התאורטי (ראו משוואה (3)​). בניתוח שביצענו נמצא כי מקדם השיפוע במשוואת הרגרסיה, אשר מייצג את , עמד על עם טווח שגיאה של ⁷, דבר שתואם את הערך התאורטי של . השגיאה היחסית עבור הייתה קטנה מ-, מה שמחזק את המסקנה שהתנהגות המערכת תואמת ⁸ את המודל התאורטי.
בנוסף, נמצא כי לזווית ההתחלתית של המטוטלת אין השפעה מהותית על זמן המחזור, כל עוד היא נשמרת בתחום של זוויות קטנות (פחות מ-).

עם זאת, סטיות קלות בתוצאות הורגשו כתוצאה משגיאות מדידה אנושיות, ובפרט בשל זמן תגובה לקוי, וכן ממגבלות כלי המדידה והנחות אידאליות שלא מתקיימות במלואן בפועל (כמו הנחה על מסה נקודתית וחוט חסר מסה). לו היו גורמים אלו מצומצמים באמצעים מדויקים יותר, סביר שתוצאות הניסוי היו מתקרבות אף יותר לערכים התאורטיים.

נספחים

חישוב השגיאה היחסית:

ביבליוגרפיה

1. “תדריך לניסוי הראשון מטוטלת מתמטית”, אתר מודל טכניון.
2. “הנחיות לכתיבת דוח מעבדה” אתר מודל טכניון.

הערות שוליים

1. נוסחאות מופיעות רק במבוא או בנספחים ↩

2. זו מסקנה מתוצאות הניסוי וזה לא צריך להיות כאן. צריך לכתוב “והשוונו את התוצאות שלנו לתאוריה”. ↩

הערות שוליים

1. כותרת צריכה להופיע בדף בנפרד אחרי הדף שער ולא לפניו. ↩

2. למה בוצעה הלינארזיציה? ומי אלו הגדלים האופייניים האלו? ↩

3. בכל הדוח צריך להיות רק כותרות של: הכותרת עצמה, תקציר, מבוא, תוצאות, דיון ↩

4. המקרא כאן צריך לכלול את הנקודות של המדידות ושל השגיאות בנפרד. כלומר, צריך להיות שני סימונים שונים, אחד לכל אחד ↩

5. אין שגיאה בזווית זה לא הגיוני ↩

6. מה הוא הערך התאורטי? ↩

7. רושמים את זה כשגיאה של פלוס מינוס ↩

8. מאששת ↩