PDE1_HW010 תרגיל בית 10

תרגיל בית 10

	סטודנט א’
שם	עידו פנג בנטוב
ת”ז	CLASSIFIED
דואר אלקטרוני	CLASSIFIED

תרגיל 2

נתונה הבעיה:

1. עבור אלו ערכי לא ייתכן פתרון עבורו רציפה על השפה?
2. מצאו פתרון לבעיה עבורו רציפה על השפה.
3. האם לבעיה יש יותר מפתרון אמיתי אחד?

סעיף א’

נבדוק תנאי תואמות. נגזרות את שני תנאי השפה הראשונים, ונמצא את ערכם בקצוות:

עבור שני תנאי השפה האחרונים:

נסיק שעבור כל נקבל פתרון עבורו לא יהיה רציף על השפה.

סעיף ב’

נציב . הבעיה שלנו היא עכשיו:

בעיית שטורם-ליוביל הרלוונטית:

נפתור את הבעיה עבור כי אז נקבל תנאי שפה הומוגניים:

כלומר המד”ר שלנו היא:

הפתרון שלה:

כדי למצוא את , נציב בחזרה בבעיה, כאשר נשים לב לתנאי שפה על :

הפתרון של מד”ר זה ניתן לכתיבה ע”י בסיס של פונקציות היפרבוליות:

נציב בפתרון הכללי:

נציב את התנאי שפה הראשון:

נפרק ל--ים:

התנאי שפה השני:

ולכן:

מצאנו כי :

הפתרון הכללי שלנו:

סעיף ג’

נניח כי יש לבעיה שני פתרונות . נגדיר:

הפונקציה מהווה פתרון לבעיה ההומוגנית:

ע”פ זהות גרין, מאחר והתחום הוא תחום חסום וסגור, פתרון לבעיה מקיים:

מהגדרת הבעיה, בתוך התחום .
בנוסף, בחלק מהשפה, מתנאי ההתחלה נקבל קבוע, ובחלק אחר מתקיים . מאחר ו- רציף (כי הוא פתרון אמיתי), נסיק כי לאורך כל השפה .
לכן:

האינטגרנד הוא רציף (כי הוא פתרון אמיתי) ואי שלילי, ולכן:

נסיק כי , ולכן הפתרון יחיד.