PHY2_HW003 גיליון בית 3

שאלה 1

דרך כל הפאות, לפי חוק גאוס:

שאלה 2

אם היה עוד מעטפת גלילית זהה על המעטפת הנוכחית, לפי חוק גאוס:

לכן דרך רק המעטפת הגלילית התחתונה:

שאלה 3

מחוק גאוס, .

שאלה 4

השדה החשמלי בנקודה הוא סופרפוזיציה של השדות החשמליים מכל אחד מהמוטות.
עבור כל אחד מהמוטות, השדה החשמלי הוא רק בכיוון הניצב למוט, ולכן:

נמצא את גדלים אלו (לפי שדה חשמלי של תיל אינסופי):

נציב:

שאלה 5

נוכל לבנות את הבעיה הנתונה כסופרפוזיציה של שני כדורים טעונים: אחד ברדיוס עם צפיפות מטען , ואחד ברדיוס עם צפיפות מטען .

נבנה מעטפת גאוסית כדורית ברדיוס כאשר .
מסימטריות הבעיה (גם סימטרי) נוכל פשוט לסכום את שני גדלי השדות החשמלייים שנוצרים כתוצאה מכל אחד מהכדורים:

נמצא את המטען במעטפת הגאוסית:

ולכן:

מחוק גאוס:

מהגדרת השטף:

נשווה ונקבל:

כיוון השדה יהיה למרכז הכדור. מאחר ו- , נסיק כי השדה נתון ע”י:

שאלה 6

במקרה הכללי של גליל אינסופי ברדיוס , טעון בצפיפות אחידה , נבנה מעטפת גאוסית גלילית ברדיוס וגובה שרירותי סביב הגליל האינסופי. נמצא את השדה כאשר .
נשים לב שמסימטריה, השדה פועל רק בכיוון הרדיאלי, כך שאין שטף העובר דרך הבסיסים. לכן השטף דרך המעטפת:

מחוק גאוס:

נשווה ונקבל:

לפי עיקרון הסופרפוזיציה, השדה במרכז הסימטריה של הקדח שווה לסכום של שני שדות:

כאשר נוצר מצפיפות מטען אחידה , ו- נוצר מצפיפות מטען אחידה . מהביטוי לשדה שקיבלנו, נוכל להציב את ה- המתאים עבור כל אחד מהמקרים, כאשר עבור אנו מודדים את ממרכז הגליל הגדול, ואת אנו מודדים ממרכז הגליל הקטן:

שאלה 7

כמו בשאלה 5, נבנה את הבעיה כסופרפוזיציה של שני כדורים, אחד ברדיוס עם צפיפות מטען והשני ברדיוס עם צפיפות מטען . נחשב את המטען הכלוא בתוך כל אחד מהכדורים ברדיוס מהמרכז, כאשר :

לכן סך המטען הוא:

לפי חוק גאוס:

לפי הגדרת השטף:

נשווה ונקבל:

כדי שהשדה יהיה קבוע בתוך עובי הקליפה, נצטרך שהוא לא יהיה תלוי ב-. כלומר, נצטרך ש:

נציב נתונים ונקבל:

שאלה 8

נבנה מעטפת גאוסית במיקום והממדים של נפח הגליל הנתון. נשים לב שהשדה הוא רק בכיוון , כך שהשטף יהיה רק דרך בסיסי הגליל. לכן מהגדרת השטף:

הביטוי השני בסימן שלילי כי הנורמל של הבסיס התחתון הוא בכיוון .
מחוק גאוס:

נשווה:

נציב את הנתון על השדה :

שאלה 9

לפי חוק גאוס הדיפרנציאלי:

שאלה 10

לפי חוק גאוס הדיפרנציאלי:

לוח אינסופי יוצר התפלגות מטען כזאת. כיוון ש- כאשר , נסיק שהלוח האינסופי במישור , והוא ממוקם בין ל- .