PHY3_E2025SA 2025 אביב מועד א'

שאלה 1

אלקטרון במצב היסוד כלוא בבור פוטנציאל אינסופי חד-ממדי שרוחבו . חשבו:

פתרון:
פונקציית הגל של מצב היסוד של בור פוטנציאל אינסופי ברוחב המתחיל בראשית הוא:

ההסתברות למצוא את החלקיק בתחום כש- מוכל ב- היא:

לכן בתחומים הרצויים:

ולכן:

שאלה 2

נתונים שני פוטנציאלים דו-ממדיים:

כאשר:

כאשר ו- קבועים. לכל פוטנציאל הוכנסו חלקיקים בעלי מסה , אך ספין שונה, לפי הפירוט הבא:

1. מערכת מס’ 1: מתוארת ע”י . הוכנסו אליה חלקיקים בעלי ספין ו- חלקיקים בעלי ספין .
2. מערכת מס’ 2: מתוארת ע”י . הוכנסו אליה חלקיקים בעלי ספין , חלקיקים בעלי ספין , חלקיקים בעלי ספין .

נתון כי אנרגיית מצב היסוד של שתי המערכות זהה, וכן ש- .

בטאו את כפונקציה של נתוני השאלה.

פתרון:
רמות אנרגיה בבור פוטנציאל חד-ממדי בעל אורך :

רמות אנרגיה בבור פוטנציאל דו-ממדי :

אכלוס חלקיקים במערכת מס’ 1 במצב היסוד:

degeneracy

אכלוס חלקיקים במערכת מס’ 2 במצב היסוד:

degeneracy

כשהרמה השנה אוכלסה תחת הנתון ש- .

סה”כ אנרגיה של מערכת 1:

סה”כ אנרגיה של מערכת 2:

נקיים את הדרישה ש- :

שאלה 3

נתונה פונקציה מסוימת, , כאשר הוא קבוע מספרי חיובי. פונקציה זו היא פונקציית הגל של חלקיקים מסוים בתחום . מה ערך התצפית של המשתנה כאשר קבוע חיובי?

נוסחת עזר:

פתרון:

נחשב:

נבצע אינטגרציה בחלקים:

ולכן:

שאלה 4

נתונה פונקציית הגל

כאשר הן פונקציות עצמיות של אופרטור מדידת האנרגיה, עם ערכים עצמיים .

אם מבצעים פעמים ניסיונות מדידה במערכת כזו, כמה פעמים בקירוב נקבל את הערך ?

פתרון:
ההסתברות למדוד אנרגיה היא הנורמה בריבוע של המקדם של בביטוי של הפירוק של לפונקציות העצמיות של האנרגיה. כלומר, ההסתברות למדוד אנרגיה היא:

נמצא את בהנחה ש- מנורמלות ונדרוש ש- גם כן מנורמלת:

ולכן:

כאשר השתמשנו בנתון ש- הן פונקציות עצמיות של אותו אופרטור ולכן אורתוגונליות אחת לשניה.

לאחר פעמים של מדידות בלתי תלויות של האנרגיה נמצא

פעמים את .

שאלה 5

אלקטרון נע בשדה מגנטי במהירות התחלתית . האלקטרון עובר מרמה לרמה . לפי מודל בוהר, מהי אנרגיית הפוטון הנפלט?

פתרון:
מודל בוהר סמי-קלאסי עבור כוח מגנטי הפועל על חלקיק עם מהירות הניצבת לשדה המגנטי ובעקבות זאת ינוע בתנועה מעגלית סביב מרכז מסוים.
במודל זה אנו מניחים שהתנועה המעגלית היא בעלת תנע זוויתי שיכול לקבל רק ערכים בדידים של כפולות שלמות של : .

לפי כוח לורנץ, בהינתן שדה מגנטי הניצב למהירות, גודל הכוח הפועל על אלקטרון הוא:

נשווה את הכוח אל הכוח הצנטריפוגלי

אגף שמאל זאת האנרגיה:

נזכור כי תנע זוויתי מוגדר כ- , כך שנוכל לרשום:

לכן הפרש האנרגיה בין הרמה ה- לרמה ה- הוא:

וזאת גם האנרגיה של פוטון שיפלט במעבר הזה:

שאלה 6

העלו בדמיונכם שאתם משחקים משחק בייסבול ביקום שבו קבוע פנלק שווה ל-. מה תהיה מידת האי הוודאות המינימלית במיקומו של כדור בייסבול שמסתו , כאשר ידוע שאי-הוודאות במהירות היא ?

פתרון:
מידת האי-וודאות המינימלית במיקום תקיים את הגבול התחתון של עקרון האי-וודאות במיקום ובתנע:

האי-וודאות בתנע נתונה כי המסה והאי-וודואות במהירות נתונות

קבוע פלאנק הוגדר מחדש כ-

ולכן:

שאלה 7

חלקיק בעל אורך גל דה ברויי נכנס לתוך מחסום פוטנציאל כאשר (). מה יהיה אורך הגל של החלקיק בתוך מהמחסום?

פתרון:
נמצא את מאורך הגל מחוץ למחסום

נציב בנוסחה של אורך הגל בתוך המחסום:

ולכן:

שאלה 8

בניסוי רתרפורד, פוזיטרון מתקרב ממרחק גדול מאוד עם מהירות , אל מרכז אטום כבד בעל פרוטונים. מהו המרחק הקטן ביותר מן הגרעין, אליו יכול להגיע החלקיק?

פתרון:
האנרגיה הקינטית של הפוזיטרון היא . כיוון שמטענו חיובי והפוך ממטען האלקטרון ומסתו זהה לזו של האלקטרון, הוא נדחה מהגרעין. המרחב הכי קרוב אליו יוכל להתקרב לגרעין יהיה כזה שכל האנרגיה הקינטית תומר לאנרגיה פוטנציאלית:

ולכן:

שאלה 9

פוטונים בעלי אנרגיה מתפזרים פיזור קומפטון בזווית מחלקיק טעון מסוג לא ידוע בעל מסה הנמצא במנוחה. לאחר הפיזור אורך הגל של הפוטון המפוזר, התארך פי מאורך הגל המקורי. מהי מסת החלקיק?

פתרון:
נשתמש בנוסחת קומפטון לאורך הגל לאחר פיזור ב- מעלות:

החלקיק בעל מסה ואורך גל קומפטון תלוי במסה

נחלץ את המסה:

נשים לב שאנרגיית הפוטונים לפני הפיזור היא ולכן

נמיר ליחידות של :

ולכן מסת החלקיק:

שאלה 10

חלקיק בעל מסה נמצא בבור פוטנציאל אינסופי חד-ממדי ברוחב . החלקיק נתון במצב עם מספר קוונטי . כמה אנרגיה משתחררת כאשר החלקיק יורד למצב היסוד?

פתרון:
אנרגיה של הרמה ה- של בור פוטנציאל אינסופי חד-ממדי ברוחב היא:

בירידה בין רמה לרמת היסוד שעבור תשתחרר האנרגיה

ולכן:

שאלה 11

בניסוי האפקט הפוטו-אלקטרי השתמשו בנורת להט המפיצה אור לבן, שממולה הציבו מסנן המעביר אורכי גל בתחום ÅÅ. האור המסונן נכנס לתא. פונקציית העבודה היא . מהי האנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרונים המשתחררים?

פתרון:
האנרגיה המקסימלית של האלקטרונים המשתחררים תתקבל מהאנרגיה המקסימלית של האור לאחר המסננן והיא מתקבלת עבור אורך הגל המינימלי העובר דרך המסנן:

ולכן:

שאלה 12

עבור יסוד מסוים בעל פרוטונים (ואלקטרון יחיד), התקבל ממודל בור כי האנרגיה של אלקטרון ברמה היא . כאשר נפלט פוטון במעבר אלקטרון מהרמה לרמת היסוד, אורך הגל של הפוטון הוא Å. מה הרמה בה היה האלקטרון?

פתרון:
במודל בוהר עם פרוטונים האנרגיה של הרמה ה- היא

כש- .

האנרגיה נתונה אך כדי לחלץ את צריך למצוא את . נמצא את ע”י הנתון הנוסף של הפוטון הנפלט מאותה רמה לרמת היסוד. נמצא את האנרגיה של הפוטון שנפלטו מאורך הגל:

כמו כן,

נשווה:

נחזור לנוסחה של רמת האנרגיה :

שאלה 13

אלומת נויטרונים פוגעת בגביש שהמרחק בין המישורים בו הוא Å. האלומה מתפזרת פיזור בראג מסדר שני בזווית , כאשר זו הזווית בין הקרן הנכנסת או היוצאת לבין המישורים המתפזרים. כעת מחליפים את האלומה באלומת אטומי דאוטריום, בעלי אותה אנרגיה קינטית.

מה תהיה הזווית מסדר שלישי כעת?

פתרון:
מנוסחת בראג של פיזור בראג מסדר שני בזווית Å מעלות וקבוע סריג ידוע נמצא את אורך הגל של הנויטרונים הפועים וממנו את האנרגיה הקינטית שלהם:

כעת בהחלפת הנויטרונים באטומי דאוטריום, המסה גדלה פי כשהאנרגיה הקינטית נשארת זהה:

ולכן:

נחלק את שני האגפים ב- כדי למצוא את אחד חלקי אורך הגל של הדאוטריום:

כעת נוכל להציב את אורך הגל בנוסחת קומפטון עבור פיזור מסדר שלישי ולחלץ את הזווית:

נציב ונקבל: