CAL1_010 טורי מספרים

→ קודם: CAL1_009הבא: CAL1_011 ←

טורי מספרים

טור מספרים

הגדרה:

תהי סדרת מספרים. נגדיר לכל את:

נאמר כי טור המספרים מתכנס אם סדרת הסכומים החלקיים מתכנסת (לגבול סופי) ונסמן:

אם אינו מתכנס, נאמר גם כי הוא מתבדר.

דוגמאות:

1. עבור אלו ערכי הטור מתכנס, ומה גבולו (כלומר מה סכום הטור)?
   פתרון:

בדיוק עבור :

2. האם מתכנס?
   פתרון:

3. האם מתכנס?
   פתרון:

סכום של טור הנדסי

משפט:

תהי סדרה הנדסית כאשר . אזי מתקיים:

אם הטור מתכנס אז הסדרה שואפת לאפס

משפט:

אם מתכנס אז .

הוכחה:

הערות:

1. נשים לב כי תכונה זו לא בהכרח מתקיימת באינטגרלים מוכללים.

תכונות בסיסיות של טורי מספרים

משפט:

1. לינאריות:
   אם מתכנסים, אז:

2. אדיטיביות:

• הטור מתכנס לכל הטור מתכנס קיים עבורו מתכנס ובמקרה זה:

3. מונוטוניות:
   אם לכל וגם מתכנסים, אז:

בנוסף, אם קיים אינדקס עבורו , אז .
4. אי שוויון המשולש לטורים:
אם מתכנס, אז .

תרגילים:

1. חשבו: ולכן: כלומר, קיים וסופי
2. חשבו: ולכן: כלומר מתבדר.

טורים אי שליליים

הגדרה:

נאמר כי הוא טור אי-שלילי (חיובי) אם () לכל . נסמן עבור טור אי שלילי:
עבור התכנסות - .
עבור התבדרות - .

הערות:

1. אם הוא טור אי שלילי אז:

ולכן היא סדרה עולה, ולכן מתכנסת אמ”ם חסומה מלמעלה.

תנאי התכנסות טור

משפט:

יהי טור אי שלילי. מתכנס אמ”ם סדרה חסומה מלמעלה.

הערות:

1. מתקיים: .

מבחן ההשוואה לטורים

משפט:

אם לכל אז:

1. אם אז .
2. אם אז .

דוגמאות:

1. האם ?

לפי מבחן ההשוואה, כיוון ש- מתכנס, אז מתכנס, ולכן מתכנס.
מסקנה: אם , אז ולכן לפי מבחן ההשוואה, כיוון ש-, אז .

מבחן ההשוואה הגבולי לטורים

משפט:

נניח כי . לכל ונניח כי קיים במובן הרחב ונסמנו ע”י .

1. אם :
   
2. אם :
   
3. אם :
   

דוגמאות:

1. הראו כי :
   לכל :
   
   וגם:
   
   לכן לפי מבחן ההשוואה הגבולי, כיוון ש- , אז .
2. האם מתכנס?
   לכל :
   
   וגם:
   
   לפי מבחן ההשוואה הגבולי, כיוון ש- , אז .

מבחן המנה והשורש לטורים

הגדרה:

יהיו טור ונניח כי או קיים במובן הרחב.

1. אם אז מתכנס. לכן .
2. אם אז ולכן אינו מתכנס.

הערות:

1. עבור , אין מידע. כלומר, לא נוכל להסיק שום דבר על התכנסות הטור.

הוכחה:
נוכיח רק עבור מבחן השורש:

1. אם . תהי ו- . מתקיים:
   
   לפי הגדרת הגבול, קיים כך שכאשר אז:
   
   ולכן .
   כיוון ש- , אז מתכנס (ראו דוגמה ראשונה לאחר הגדרת טור מספרים), ולכן ממבחן ההשוואה נובע כי מתכנס ולכן מתכנס .
   2. ההוכחה עבור דומה, בחירת ה- וה- דומה.

   דוגמאות:

   1. האם מתכנס?
      פתרון:
      ניעזר במבחן המנה:

   \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^{n}}{n!}}=\frac{2}{n+1}\xrightarrow[n\to \infty ]{} 0=q \end{aligned}$$ לכן לפי מבחן המנה, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}$ מתכנס.

תרגילים:

1. קבעו אם מתכנס או מתבדר:
   
   פתרון: \end{aligned}$$ לכל $n$, ולכן, לפי מבחן ההשוואה: $$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}}<\infty \implies \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}+n+1}<\infty $$
2. קבעו אם מתכנס או מתבדר:
   
   פתרון:
   אינטואיטיבית, ליד :
   
   לכן:
   
   אז נוכיח:
   
   נבחר ולכן:

ולכן לפי סעיף א’, ומבחן ההשוואה הגבולי, .
3. קבעו:

נשים לב כי זהו טור אי שלילי. אם נפתח טיילור, נשים לב כי אינטואיטיבית:

אז נראה כי:

4. קבעו:

פתרון:
מדובר בטור חיובי (החל ממקום מסוים). נסתכל על:

אז מתקיים לפי מבחן השורש:

ואז הטור מתכנס. אחרת, הטור מתבדר.
אם , המשפט לא נותן מידע.

מבחן האינטגרל

האם האינטגרל הבא מתכנס:

משפט:

תהי אי שלילית כאשר מונוטונית יורדת ל-. אז:

אז נחזור לטור:
תהי . היא מונוטונית יורדת לאפס ואי שלילית. עבור , מתכנס אמ”ם מתכנס.

והאינטגרל שקיבלנו מתבדר. לכן גם מתבדר (לפי מבחן האינטגרל).

דוגמאות:

1. נסתכל על .
   אם , אז אינו מתכנס ל-. לכן .
   אם , אז מונוטונית יורדת כי . קיבלנו:
   
   וזה מתקיים אמ”ם (לפי האינטגרל המיוחד).

הערות:

1. נסתכל על :

\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}= \underbrace{ 1 }_{ \geq \frac{1}{2} }+\underbrace{ \frac{1}{2} }_{ \geq \frac{1}{2} }+\underbrace{ \frac{1}{3}+\frac{1}{4} }_{ \geq \frac{1}{2} }+\underbrace{ \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} }_{ \geq \frac{1}{2} }+\dots \end{aligned} $$ ולכן $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\infty$.

הוכחה:

לכל טבעי, מתקיים כי לכל מתקיים כי מונוטונית יורדת ב- ובפרט בקטע . לכן, ממונוטוניות האינטגרל המסוים:

יהי טבעי:

\underbrace{ f(2)+f(3)+\dots +f(n) }_{ \sum_{k=2}^{n} f(k) } &\leq \int_{1}^{n} f(x) \, \mathrm{d}x \\ &=\int_{1}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x +\int_{2}^{3} f(x) \, \mathrm{d}x +\dots + \int_{n-1}^{n} f(x) \, \mathrm{d}x \\[2ex] & \leq \underbrace{ f(1)+f(2)+\dots + f(n-1) }_{ \sum_{n=1}^{n-1} f(k) } \end{aligned}$$ - בכיוון $\impliedby$: נניח כי $\int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x <\infty$. אז, לכל $1\leq b$: $$\int_{1}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \leq \int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x $$ לכל $n\geq 1$: $$\begin{aligned} S_{n}=\sum_{n=1}^{n} f(k)=f(1)+ \sum_{k=1}^{n} f(k)\leq f(1)+\int_{1}^{n} f(x) \, \mathrm{d}x \leq f(1) + \int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x \end{aligned}$$ לכן סדרת הסכומים החלקיים חסומה מלמעלה, למשעל ע"י $f(1)+\int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x$ ולכן $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ מתכנסת. - בכיוון $\implies$: נניח כי $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)<\infty$. אז לכל $k$, $\sum_{n=1}^{k}f(n)\leq \sum_{n=1}^{\infty}f(n)$. לכל $b\geq 1$: $$\begin{aligned}\int_{1}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x &\leq \int_{1}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{b}^{[b]+1} f(x) \, \mathrm{d}x \\ &\leq \int_{1}^{[b]+1} f(x) \, \mathrm{d}x \leq \sum_{k=1}^{[b]} f(k) \\ &=\sum_{n=1}^{[b]}f(k) \\ &\leq \sum_{k=1}^{\infty }f(k) \end{aligned}$$ ולכן $F(b)=\int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x$ חסומה מלמעלה ב-$[1,\infty)$ ולכן $\int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x<\infty$. $\blacksquare$ ### משפט לייבניץ >[!def] הגדרה: > > טור מהצורה: > $$\sum_{}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$$ > > כאשר $a_{n}\geq 0$, מונוטונית יורדת לאפס, נקרא **טור לייבניץ**. >[!theorem] משפט: > >טור לייבניץ מתכנס. בנוסף, לכל ${n}_{0}\geq0$: $$\left| \sum_{{n}_{0}+1}^{\infty } (-1)^{n+1}a_{n} \right|=\left| \sum_{n={n}_{0}+1}^{\infty } (-1)^{n}a_{n} \right|\leq a_{{n}_{0}}+1$$ לפי אדיטיביות: $$\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n+1}a_{n}=\sum_{n=1}^{{n}_{0}} (-1)^{n+1}a_{n}+\sum_{n={n}_{0}+1}^{\infty } (-1)^{n+1}a_{n}$$ ועבור ${n}_{0}=0$: $$\left| \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n+1}a_{n} \right|\leq {a}_{1}$$ **הוכחה:** נשתמש ללא הוכחה בעובדה שאם $\{ b_{n} \}_{n=1}^{\infty}$ סדרה ו-: $$b_{2n}\xrightarrow[ n \to \infty]{}L \xleftarrow[ n \to \infty]{}b_{2n-1}$$ אז גם $b_{n}\xrightarrow[ n \to \infty]{}L$. $(1)$ נסתכל על $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}a_{k}$: $$\begin{aligned} S_{2n}&=a_{1}-a_{2}+a_{3}+\dots +a_{2n-1}-a_{2n} \\ &=\underbrace{ ({a}_{1}-{a}_{2}) }_{ \geq 0 }+\underbrace{ ({a}_{3}-{a}_{4}) }_{ \geq 0 }+\dots +\underbrace{ ({a}_{2n-1}-a_{2n}) }_{ \geq 0 }\geq 0 \\ S_{2(n+1)}&=\underbrace{ ({a}_{1}-{a}_{2}+{a}_{3}-{a}_{4}+\dots +a_{2n-1}-a_{2n}) }_{ S_{n} }+\underbrace{ (a_{2n+1}-a_{2n+2}) }_{\geq 0 } \\ &\geq S_{2n} \end{aligned}$$ לכן $\{ S_{2n} \}_{n=1}^{\infty}$ סדרה עולה. נמשיך עם $S_{2n-1}$: $$\begin{aligned} S_{2n-1}&={a}_{1}-{a}_{2}+{a}_{3}-{a}_{4}+{a}_{5}-\dots -a_{2n-2}+a_{2n-1} \\ &={a}_{1}-\underbrace{ ({a}_{2}-{a}_{3}) }_{ \geq 0 }-\underbrace{ (a_{4}-{a}_{5}) }_{ \geq 0 }-\dots -({a}_{2n-2}-a_{2n-1})\leq {a}_{1} \\ S_{2(n+1)-1}&=\underbrace{ ({a}_{1}-{a}_{2}+\dots -a_{2n-2}+a_{2n-1}) }_{ S_{2n-1} }-\underbrace{ (a_{2n}-a_{2n+1}) }_{ \geq 0 }\leq S_{2n-1} \end{aligned}$$ מתקיים: $$0\leq S_{2n}=S_{2n-1}-\underbrace{ a_{2n} }_{ \geq 0 }\leq S_{2n-1}\leq a_{1}$$ קיבלנו כי $S_{2n}$ עולה וחסומה מלמעלה ולכן מתכנסת ל-${L}_{1}$. בנוסף, $S_{2n-1}$ יורדת וחסומה מלמטה ולכן מתכנסת ל-${L}_{2}$ (לפי גבול סדרה מונוטונית). לסיכום: $${L}_{1}\xleftarrow[ n \to \infty]{}S_{2n}=S_{2n-1}-a_{2n}\xrightarrow[ n \to \infty]{}{L}_{2}-0={L}_{2}$$ ולכן מתכונות הסדר של גבולות: $$0\leq {L}_{1}\underbrace{ = }_{ (1) }L=\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n+1}a_{n}=L_{2}\leq {a}_{1}$$ $\blacksquare$ >[!example] דוגמאות: > >1. הטור $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}$ מתכנס אמ"ם $p>0$: > עבור $p\leq 0$, $\frac{(-1)^{n+1}}{p}$ אינו מתכנס ל-$0$, ולכן הטור אינו מתכנס. עבור $p>0$: > הסדרה $\frac{1}{n^{p}}$ סדרה יורדת שמתכנסת ל-$0$ ולכן $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}$ מתכנסת לפי משפט ליינבניץ. > 2. הטור $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}$ מתכנס בהחלט אמ"ם $\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}} \right|$ מתכנס $\iff$ $p>1$. > 3. הטור $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}$ מתכנס בתנאי $\iff$ $0<p\leq 1$. **תרגילים:** 1. האם הטור $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{2n^{5/2}-n+3}$ מתכנס? **פתרון**: נשים לב כי זהו טור אי שלילי. בנוסף: $$\begin{aligned} \frac{n+1}{2n^{5/2} -n +3}&=\frac{n\left( 1+\frac{1}{n} \right)}{n^{5/2}\left( 2-\frac{1}{n^{3/2}}+\frac{3}{n^{5/2}} \right)}=\frac{1}{n^{3/2}}\cdot \left( \frac{1+\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n^{3/2}}+\frac{3}{n^{5/2}}} \right) \\ \end{aligned}$$ לכן: $$\frac{\frac{n+1}{2n^{5/2}-n+3}}{\frac{1}{n^{3/2}}}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n^{3/2}}+\frac{3}{n^{5/2}}}\xrightarrow[n\to \infty ]{} \frac{1}{2}= L$$ אז, לפי מבחן ההשוואה הגבולי, כיוון ש-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}<\infty$, אז $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{2n^{5/2}-n+3}<\infty$. 2. עבור אלו ערכי $p$ הטור $\sum_{n=1}^{\infty}(e^{1/n^{p}}-1)$ מתכנס? **פתרון**: עבור $p\leq 0$ הסדרה $e^{1/n^{p}}-1$ אינה שואפת לאפס ולכן הטור לא מתכנס. עבור $p>0$: $$0\neq \frac{1}{n^{p}}\xrightarrow[ n \to \infty]{}0$$ נביט בפונקציה: $$f(x)=e^{x}-1$$ ונשים לב כי טיילור שלה: $$e^{x}-1=x+\frac{x^{2}}{2!}+R_{2}(x)=x\left( 1+\frac{x}{2}+\frac{R_{2}(x)}{x} \right)$$ ומכך נסיק כי $e^{x}-1\sim x$ בסביבה של $0$. אז ננסה: $$\lim_{ x \to 0 } \frac{e^{x}-1}{x}\underbrace{ = }_{ \text{L'Hoptial} }=\lim_{ x \to 0 } \frac{e^{x}}{1}=e^{0}=1=L$$ ולכן, לפי היינה, עבור $0\neq \frac{1}{n^{p}}\xrightarrow[ n \to \infty]{}0$ מתקיים: $$\frac{e^{1/n^{p}}-1}{\left( \frac{1}{n^{p}} \right)}\xrightarrow[ n \to \infty]{}1$$ בנוסף, $e^{1/n^{p}}-1, \frac{1}{n^{p}}$ הם טורים אי שליליים, ולכן, לפי [[#מבחן-ההשוואה-הגבולי-לטורים|מבחן ההשוואה הגבולי לטורים]]: $$\sum_{n=1}^{\infty } (e^{1/n^{p}}-1)<\infty \iff \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{p}}<\infty \iff p>1$$ **תרגילים:** 1. הוכח הפרח: - אם $\sum_{}^{\infty }a_{n}^{2}$ מתכנס $\impliedby$ $\sum_{}^{\infty}a_{n}$ מתכנס. **פתרון**: לא נכון. למשל: $$a_{n}=\frac{1}{n}$$ מתקיים $\sum_{}^{\infty }a_{n}^{2}=\sum_{}^{\infty } \frac{1}{n^{2}}$ מתכנס אבל $\sum_{}^{\infty}a_{n}=\sum_{}^{\infty } \frac{1}{n}$ מתבדר. - אם $\sum_{}^{\infty}a_{n}$ מתכנס $\impliedby$ $\sum_{}^{\infty}a_{n}^{2}$ מתכנס. **פתרון**: לא נכון. למשל: $$a_{n}=(-1)^{n}\cdot \frac{1}{\sqrt{ n }}$$ מתקיים $\sum_{}^{\infty}a_{n}=\sum_{}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{ n }}$ מתכנס כי לייבניץ, אבל, $\sum_{}^{\infty}a_{n}^{2}=\sum_{}^{\infty} \frac{1}{n}$ מתבדר. - אם $\sum^{\infty}_{}a_{n}$ מתכנס ו- $a_{n}$ חיובית $\impliedby$ $\sum^{\infty}_{}a_{n}^{2}$ מתכנס. **פתרון**: נכון. כיוון ש-$\sum^{\infty}_{}a_{n}$ מתכנס, נוכל להסיק כי $a_{n}\xrightarrow[n\to \infty]{}0$. נתון גם כי $a_{n}$ חיובית, ולכן החל ממקום מסוים $0<a_{n}<1$ (לפי הגדרת הגבול). לכן, החל ממקום מסוים: $$a_{n}^{2}\leq a_{n}$$ ולכן: $$\sum^{\infty}_{} a_{n}^{2}\leq \sum^{\infty}_{} a_{n}$$ לפי מבחן ההשוואה לטורים אי שליליים $\sum^{\infty}_{}a_{n}^{2}$ מתכנס. **תרגילים:** 1. האם הטורים הבאים מתכנסים? - הטור: $$\sum_{}^{\infty } \frac{\frac{\pi}{2}-\arctan n}{n}$$ **פתרון**: אינטואיטיבית, $\frac{\pi}{2}-\arctan(n)\sim \frac{1}{n}$ ולכן: $$\frac{\frac{\pi}{2}-\arctan n}{n}\sim \frac{\frac{1}{n}}{n}=\frac{1}{n^{2}}$$ ולכן הטור מתכנס.

→ קודם: CAL1_009הבא: CAL1_011 ←