פנגייה

CAL2_003 משטחים ריבועיים

• זמן קריאה: 3 דק'

עקומים במישור

עקומה

הגדרה:

עקומה היא קו חד-ממדי ורציף. צורה אינטואיטיבית, עקומה היא קו ישר שהופעלו עליו פעולות של עיקום ופיתול, מבלי “לקרוע” אותו.

עקומים מישוריים

תזכורת:
קו ישר:

פרבולה:

מעגל:

אליפסה:

היפרבולה:

תרגילים

  1. נתונה משפחת העקומים:

    חקרו ומצאו את אוסף כל העקומים השייכים למשפחה זו - עבור כל ערך של .
    פתרון:
    נפתח את המשוואה, כך שכל הקבועים יהיו באגף ימין:

    נפרק למקרים:

    • כאשר : אלו הם שני ישרים מקבילים.
      • כאשר :
      זוהי נקודה בודדת .
      • כאשר :
      זוהי קבוצה ריקה.
      • כאשר :
      זהו אוסף אליפסות.
      • כאשר :
      זהו אוסף היפרבולות.

  2. נתונה משפחת העקומים הבאה:

    קבעו אלו מבין העקומים הבאים שייכים למשפחה זו: מעגל, אליפסה, פרבולה, קו ישר, נקודה בודדת.
    פתרון:

    • מעגל - אין. אין עבורו נקבל איבר .
    • אליפסה - כנ”ל.
    • נקודה בודדת - כנ”ל.
    • קו ישר - עבור : ועבור :
      • פרבולה - עבור :

  3. ציירו את אוסף העקומים הנתונים ע”י:

    • אם : כלומר, או - קיבלנו את הצירים, ללא הראשית.
      • אם :
        בהכרח , ולכן ניתן לחלק את המשוואה ב-:
      נסמן : קבוע קיבלנו אוסף קווים ישרים העוברים דרך הראשית, ללא הראשית:
      • אם , זוהי קבוצה ריקה.
      • אם , נקבל ישר אחד.
      • אם , נקבל שני ישרים.

משטחים ריבועיים

נביט במשוואה הבאה:

אוסף כל הנקודות המקיימות את משוואה זו יוצר מעטפת כדורית (ספרה):

מעטפת כדורית היא דוגמה למשטח ריבועי:

משטח ריבועי

הגדרה:

משטח ריבועי הוא גרף של משוואה מהצורה הכללית הבאה:

כאשר:

הערות:

  1. נשים לב כי אם:

אז המשוואה תתאר מישור.

חתך של משטח

הגדרה:

חתך של משטח הוא עקומה המתקבלת מחיתוך המשטח הנתון עם מישור המקביל לאחד המישורים במערכת הקרטזית.

למשל, אם בוחרים מישור , החתך שתקבל נקרא חתך אופקי או עקומת גובה.
אם בוחרים או , החתך נקרא אנכי.

נביט בחתכים של משטח הבא:

נחתוך אותו עם המישור , ונקבל:

נשים לב כי:

  1. אם , לא קיימים חתכים אופקיים.
  2. אם , נקבל נקודה בודדת.
  3. אם , נקבל מעגל.

אליפסואיד

הגדרה:

כאשר .

הערות:

נביט בחתך האנכי , ונשים לב כי:

  1. אם אז אין חיתוך.
  2. אם נקבל נקודה בודדת.
  3. אם אז נקבל אליפסה.

היפרבולואיד

הגדרה:

היפרבולואיד חד-יריעתי:

היפרבולואיד דו-יריעתי:

כאשר .

פרבולואיד אליפטי

הגדרה:

כאשר .

פרבולואיד היפרבולי

הגדרה:

כאשר .

חרוט דו-צדדי

הגדרה:

תרגילים

  1. נתונה הפונקציה:

    מבין כל משטחי הרמה של הפונקציה ב-, בהכרח קיים:
    היפרבולואיד, גליל, פני כדור, אליפסואיד, נקודה בודדת.
    פתרון:
    אוסף משטחי הרמה:

    כלומר:

    • פני כדור:
      עבור :
      • אליפסואיד:
        עבור :
      • נקודה בודדת:
        עבור :
      נקבל נקודה בודדת.
      • גליל:
        עבור :
      • היפרבולואיד:
        עבור :

  2. נתונה הפונקציה:

    ויהי משטח רמה של . מצאו את כל ערכי עבורם משטח הרמה הוא היפרבולואיד דו-יריעתי.
    פתרון:
    נחקור:

    כיוון שאגף ימין שלילי, נדרוש שבדיוק אחד מהמקדמים יהיה שלילי:

    לכן:

עמודים המציינים את העמוד הזה