משטח
כבר פגשנו משטחים בעבר:
באופן מפורש:
באופן סתום:
באופן פרמטרי:
כאשר נשים לב כי באופן הפרמטרי, זוהי העתקה מ-
דוגמה:
פגשנו כבר קואורדינטות גליליות:
עבור
: כלומר, מצאנו דרך להציג גליל במרחב ע”י שני פרמטרים:
ו- .
לכן, המשטחהמוגדר ע”י: כאשר:
מתאר גליל:
דוגמה:
תארו את המשטח
הנתון ע”י הפרמטריזציה: פתרון:
נשים לב כי אם נשאיר אתקבוע, אז נקבל עקומה שהיא למעשה מעגל ברדיוס במישור . לכן, ככל ש- גדל, כך גם רדיוס המעגל גדל. אם נשאר קבוע, אז נקבל עקומה שהיא פרבולה אנכית. לכן, נצפה שהמשטח הוא פרבלואיד אליפטי. כדי לוודא זאת, נשים לב כי:
דוגמה:
תנו פרמטריזציה לחרוט:
מעל למישור ל-
.
פתרון:
החתך האופקי לחרוט בגובההוא מעגל . לכן, בנקודה על החרוט בגובה יש את הקאורדינטות: עבור זווית
. לכן, הפרמטריזציה היא: מאחר ולא אכפת לנו משאר החרוט, אלא רק החלק מעל למישור
, אז ניתן את הגבולות:
שטח פנים של משטח
יהי משטח בעל פרמטריזציה:
מעל תחום
נחלק את
המשיקים לעקומות הרשת בנקודה
באיור הבא הם נתונים ע”י
עבור מלבנים קטנים מאוד, התמונה של כל מלבן במישור
במילים אחרות, אנו מגדילים את וקטורי המשיקים בקבועים
לכן, השטח של המקבילית הוא בערך:
מאחר וגודל המכפלה וקטורית נותנת לנו שטח מקבילית.
הגדרה:
תהי
פרמטריזציה חלקה (גזירה ברציפות) וחח”ע של משטח . אזי, שטח הפנים של הוא:
הערות:
- כדי להקל בהמשך, נעבור לסימון הבא של וקטורים:
במקום:נרשום:
דוגמה:
נתון המשטח הבא:
בתחום:
נחשב את שטח הפנים שלו.
נשים לב כי:המכפלה הוקטורית:
הגודל:
לסיכום:
הערות:
- אם המשטח הוא מישור אופקי, אז ניתן לתת לו פרמטריזציה:
זו בעצם החלפת משתנים (מוסוות). אנו נקבל כי:
שזהו בעצם היעקוביאן של החלפת משתנים זו:
- אם
נתון ע”י , אז ניתן לבצע את הפרמטריזציה הבאה: כאשר
תחום ההגדרה של . במקרה זה: גודלו:
ולכן שטח הפנים של הפונקציה הוא:
- אם
נתון ע”י אז לפי משפט הפונקציות הסתומות יש ומתקיים: ולכן:
ואז שטח הפנים של
הוא:
אינגטגרל משטח סקלרי
יהי
והתחום
כמו באינטגרל קווי סקלרי נחלק את התחום שלנו לתת תחומים - תת-מלבנים. נבחר נקודה
עבור אינטגרל משטחי סקלרי\ אנו נותנים לשטח כל תת-מלבן לשאוף ל-
אינטגרל משטחי סקלרי
הגדרה:
האינטגרל המשטחי הסקלרי של פונקציה סקלרית
מעל תחום חלק למקוטעין מוגדר כ:
חישוב אינטגרל משטחי סקלרי
ההיגיון מאחורי השיטה לחישוב אינטגרל משטחי סקלרי מאוד דומה ל-חישוב אינטגרל קווי סקלרי, ו-שטח פנים של משטח:
משפט:
יהי
משטח מעל התחום החלק למקוטעין , בעל הפרמטריזציה: והפונקציה הרציפה
המכילה את התחום . אזי, האינטגרל המשטחי הסקלרי של מעל הוא:
הערות:
- נשים לב לדמיון הרב לחישוב אינטגרל קווי סקלרי:
דוגמה:
ישנם מספר שימושים פרקטיים לאינטגרלים משטחיים סקלריים. בעזרתם אנו יכולים לחשב את המסה של משטח מסוים בהינתן הפונקציית צפיפות שלו:
ניקח לדוגמה חתיכת מתכת בעלת הצורה של המשטח
, מעל המלבן ו- . אם הצפיפות של החתיכת מתכת נתונה ע”י , מהי מסת החתיכה?
פתרון:
יהיהמשטח המתאר את הפיסת מתכת. אז המסה שלה נתונה ע”י: עבור המשטח
, נבצע את הפרמטריזציה: הוקטורים המשיקים:
לכן:
וכעת נוכל לחשב את המסה:
תרגילים:
- חשבו שטח פני הגוף הכלוא ע”י המשטחים:
פתרון:
אלו הם שני חרוטים הפוכים. עבור החרוט התחתון: חרוט עליון: כאשר שמנו לב שבחיתוך של שני החרוטים: נחשב את של המשטח התחתון: משטח עליון: כעת נוכל לחשב את שטח הפנים של החרוט התחתון: של החרוט העליון: ורק נותר לחבר בינהם. - חשבו את השטח פנים של המשטח
: פתרון:
נבודד את : נשים לב כי: ולכן: כעת נוכל לחשב את האינטגרל המשטחי: שזהו כבר אינטגרל כפול שאנו יודעים לפתור ע”י הצבות פולאריות:
אינטגרל משטחי וקטורי
מוטיבציה פיזיקלית: בהינתן שדה וקטורי
למשל, בהינתן שדה מהירויות נוזל, ומשטח
כמו באינגטגרל משטח סקלרי, נחלק את
כפי שמצאנו, שטחה הוא:
כאשר
נשים לב כי רק רכיב
אם נסכום את כל שטפים אילו, בעזרת סכומי רימן ודברים יפים אחרים, נקבל כי השטף דרך
הגדרה:
האינטגרל המשטחי הוקטורי של השדה הוקטורי
מעל תחום חלק למקוטעין מוגדר כ: כאשר
הוא כיוון וקטור הנורמל למשטח. נהוג לקצר ולרשום:
חישוב אינטגרל משטח וקטורי
עבור שדה וקטורי
נשים לב כי המכפלה הסקלרית באינטגרנד נותן לנו פונקציה סקלרית, שעבורה אנו כבר יודעים לחשב אינטגרל משטחי סקלרי:
ולכן, כמו בחישוב אינטגרל קווי וקטורי:
משפט:
יהי
שדה וקטורי רציף המכיל את המשטח החלק למקוטעין: אזי:
הערות:
- לא תלוי בפרמטריזציה, אבל כן תלוי בכיוון הנורמל:
מבחינה אינטואיבית, כן משנה לנו באיזה כיוון אנו מודדים את שטף המים דרך המשטח. באינטגרל קווי וקטורי, קראנו לכיוון זה [[CAL2_012 אינטגרלים קוויים ומשפט גרין#|מגמת עקומה]]. באינטגרלים קוויים וקטורים קוראים לזה גם מגמה, או אפילו יותר מקובל לקרוא לזה כבר בשם הלועזי למגמה - אוריינטאציה.
2. הרבה פעמים מחשבים את, ורק אז מציבים ב- .
תרגילים:
- נתונה
המקבילית שקודקודיה בנקודות: וכך שוקטור הנורמל ל- יוצר זווית קהה עם ציר החיובי. חשבו את שטף השדה דרך .
פתרון:
נמצא פשוט את ע”י מציאת הנורמל למישור. נבדוק אם הנורמל יוצר זווית קהה עם ציר ה- החיובי: לכן הנורמל שמצאנו יוצר זווית חדה. נהפוך אותו כדי לקבל זווית קהה: וכעת נוכל לחשב: כאשר הוא שטח המקבילית. - חשבו שטף דרך הצד החיצוני של החרוט הסגור:
של השדה: פתרון:
פרמטריזציה של חרוט: נחשב את : זהו בעל כיוון לא מתאים, מאחר והכיוון החוצה של החרוט הוא בכיוון שלילי של ציר ה- , וקיבלנו כי הכיוון חיובי. לכן נבחר את: לכן (כאן אנחנו לא חייבים לנרמל!): ואת זה לא נחשב כי לרבקה נמאס.
נותר לנו גם לחשב את המכסה! זהו מעגל, שנבחר עבורו את הפרמטריזציה: לכן, מאחר והנורמל שלו ברור: כאשר הוא שטח המעגל.
משפט גאוס
לפני שנעסוק במשפט עצמו, נגדיר קודם את הדיבגרנץ.
דיבגרנץ היא פעולה על שדה וקטורי שנותנת לנו סקלר המתאר כיצד השדה מתנהג ככל שמתקרבים או מתרחקים מנקודה.
מקומית, הדיבגרנץ של שדה וקטורי
אם
שני שדות בעלות דיבגרנץ אפסי.
שדה בעל דיבגרנץ שלילי.
דיבגרנץ
הגדרה:
יהי
שדה וקטורי ב- , כאשר הנגזרות החלקיות קיימות. אז הדיבגרנץ של מוגדר באופן הבא:
הערות:
- הדיבגרנץ של שדה וקטורי הוא פונקציה סקלרית.
- נוכל לרשום את הדיבגרנץ כמכפלה סקלרית של פעולת הגרדיאנט:
והשדה:
זהו פשוט סימון נוח, מאחר והמכפלה הוקטורית של פעולת הגרדיאנט בוקטור לא מוגדרת באמת.
עבור:
- ישנה הגדרה יותר כללית לדיבגרנץ - אחת שתקפה גם כאשר השדה לא גזיר בנקודה מסוימת. עבור שדה וקטורי
, בנקודה , הדיבגרנץ מוגדר כהגבול של היחס בין השטף של דרך משטח סגור בעל נפח הסוגר את , ככל שהנפח שואף לאפס. כאשר
הוא הנפח של ו- הוא שפת .
כמו הגדרת הנגזרת, לרוב לא נשתמש בהגדרה זו של הדיבגרנץ, אלא אם כן מדובר בנקודהלא גזירה.
כדי להמחיש את ההגדרה, נביט בשני שדות וקטורים שהומחשו כבר למעלה:
עבור השדה הוקטורי
מתקיים:
עבור השדה הוקטורי
מתקיים:
לעומת זאת, נביט בשדה הוקטורי:
מתקיים:
משפט גאוס
משפט:
יהי
משטח חלק למקוטעין וסגור (עם נורמל כלפי חוץ) התוחם גוף , ויהי כך ש- בתחום שמכיל את . אזי:
הוכחה?
הערות:
- למשפט גרין ישנו נוסח נוסף שלא עסקנו בו, שנקרא משפט גרין בנוסח שטף (לעומת נוסח סירקולציה שעבדנו איתו). משפט זה טוען כי:
משפט גאוס הוא למעשה הרחבה של משפט גרין לאינטגרליים משטחיים וקטוריים ואינטגרלים משולשים.
2. משפט זה נקרא גם משפט הדיבגרנץ.
דוגמה:
חשבו את האינטגרל המשטחי:
כאשר
הוא הגליל , כולל החלק המעגלי התחתון והעליון, והשדה הוקטורי הוא: פתרון:
אנו יכולים לחשב את אינטגרל זה בלי משפט גאוס, אבל אז נצטרך לפרק את המשטח לשלושה: הגליל, החלק העליון, החלק התחתון. בנוסף, כל אחד מהם יצטרך פרמטריזציה.
לעומת זאת, בעזרת משפט גאוס, נוכל פשוט לבצע את החישוב הבא:
תרגילים:
- חשבו שטף של השדה:
דרך המשטח הסגור כלפי חוץ: פתרון:
נפתור ראשית באופן ישיר. שטף דרך גליל: לכן: הוא בכיוון הנכון, מספיק להציב כלשהו ואכן לראות שהוא פונה החוצה מהגליל.
נחשב: שטף דרך מכסים:
עוד חישובים שמהם נסיק כי: לעומת זאת, אם נשתמש בגאוס:
משפט סטוקס
הפעולה השנייה שנגדיר על שדות וקטוריים היא פעולת הרוטור, שמודדת את רמת הסיבוב של שדה מסביב לנקודה. נניח כי
גודל הוקטור ב-
במילים אחרות, הרוטור בנקודה הוא מדד ל”סיבוב” של שדה וקטורי בנקודה.
רוטור
הגדרה:
יהי שדה וקטורי
בעל נגזרות חלקיות. אז הרוטור ב- מוגדר כ:
הערות:
דוגמה:
מצאו את הרוטור של
.
פתרון:
נשים לב ששדה וקטורי זה בנוי מוקטורים שכולם מקבילים. למעשה, כל וקטור בשדה זה מקביל לציר ה-. עובדה זו יכולה להוביל אותנו למסקנה שהרוטור הוא אפס. נחשב: קיבלנו כי לשדה הוקטורי כן יש סיבוב. כדי להבין מדוע, נדמיין משוטה (הגלגל הזה באיור הקודם) בכל נקודה בשדה.
גדלי הוקטורים בחלקו העליון של הגלגל גדולים יותר מאשר בחלקו התחתון, מה שגורם לו להסתובב. בנוסף, הוא מסתובב עם כיוון השעון - כיוון שלילי, ולכן סימן הרוטור גם כן שלילי.
דיבגרנץ של רוטור מתאפס
משפט:
יהי
שדה וקטורי ב- , בעל נגזרות רציפות מסדר שני (כלומר, ). אזי:
מבחן הנגזרות המוצלבות לשדה משמר במרחב
משפט:
יהי
שדה וקטורי במרחב על תחום פשוט קשר. אזי אמ”ם שדה משמר.
משפט סטוקס
משפט סטוקס אומר כי אנו יכולים לחשב את השטף של רוטור של
במילים אחרות, אנו יכולים לחשב את האינטגרל הקווי הוקטורי של
פרט אחד חשוב: בהנחה וגבול המשטח
דרך יותר פשוטה ניעזרת בכלל יד ימין. כאשר האגודל בכיוון הנורמל, אם עקומת הגבול מסתובבת לפי עיקול האצבעות שלנו, אז נאמר כי
משפט:
יהי
משטח חלק למקוטעין בעל אוריינטציה, וגבול סגור ופשוט בעל מגמה חיובית. אם הוא שדה וקטורי גזיר ברציפות מסדר ראשון ( ) בתחום פתוח הכולל את , אזי:
הערות:
- אם
הוא משטח אופקי במישור עם נורמל בכיוון החיובי של ציר , אז האינטגרל המשטחי: הוא למעשה האינטגרל הכפול:
קיבלנו את משפט גאוס:
כלומר, משפט גאוס הוא מקרה פרטי של משפט סטוקס, למשטחים אופקיים.
דוגמה:
וודאו שאכן משפט סטוקס עובד עבור שדה וקטורי
ומשטח , כאשר הוא חצי כדור בעל אוריינטציה כלפי חוץ, עם הפרמטריזציה .
פתרון:
תהיעקומת הגבול . נשים לב כי הוא פשוט מעגל בעל רדיוס , כאשר מרכזו בראשית, והוא על המישור . למעגל פרמטריזציה . הנוסחה לאינטגרל משטחי: לפי סטוקס: