DEQ1_009 טרנספורמציית לפלס

→ קודם: DEQ1_008הבא: DEQ1_010 ←

טרנספורמציית לפלס

טרנספורמציית לפלס היא טרנספורמציה המאפשרת פתרון של מד”ר כללית עם מקדמים קבועים (גם לא הומוגנית) בתנאי שתנאי ההתחלה נתונים עבור .

יתרונות פתרון בעזרת התמרת לפלס:

• הפתרון מתקבל בצורה מלאה ישירות - אין צורך להציב את ת”ה למציאת הקבועים.
• פותרים משוואה אלגברית ולא דיפרנציאלית.

הגדרה:

תהי פונקציה המוגדרת עבור , ותהי . אזי הטרנספורמציית לפלס של היא הפונקציה :

עבור ערכי בהם האינטגרל המוכלל מתכנס.
את הטרנספורמציה נהוג לסמן:

דוגמה:

נמצא את ההתמרת לפלס ל- :

אם , אז:

ולכן:

מאחר ו- לא מוגדר, ומצאנו ש:

תוצאה זו ניתנת לכתיבה כ:

מאחר ואין לנו כוח לחשב אינטגרלים מוכללים שאף אחד לא זוכר איך לחשב, ניעזר בטבלה:

טבלת טרנספורמציית לפלס

לינאריות לפלס

משפט:

תהי ו-. אזי:

לכל קבוע .

תרגילים:

1. המד”ר: פתרון:
   נפעיל התמרת לפלס על המשוואה: נקבל: נבצע פירוק לשברים חלקיים: ונקבל: נבצע התמרה הפוכה כדי לקבל:
2. המד”ר: פתרון: התמרה הפוכה:
3. המד”ר: פתרון: ביטוי זה לא פריק. אז נבצע השלמה לריבוע במכנה: התמרה הפוכה:

פונקציות מדרגה

הגדרה:

פונקציית מדרגה (Heaviside) היא פונקציה מהצורה הבאה:

הזזה של מדרגה:

תרגילים:

1. המד”ר: ותנאי ההתחלה: פתרון:
   נסמן את אגף ימין ב-:
   נקבל כי וכעת נוכל לרשום את אגף ימין בעזרת ביטוי יחיד: נבצע התמרת לפלס: מפירוק לשברים חלקיים: התמרה הפוכה:
2. המד”ר: כאשר: פתרון:
   נרשום כפונקציית מדרגה: כדי שיהיה נוח לבצע התמרה: נבצע התמרה: התמרה הפוכה:
3. המד”ר: כאשר: תנאי ההתחלה: פתרון:
   נשים לב כי: התמרה: ע”י פירוק לשברים חלקיים, נשים לב כי: התמרה הפוכה: נרשום פתרון כללי למד”ר:
   נוסיף פתרון של החלק ההומוגני.
   פ”א: ולכן הפתרון ההומוגני: ואז:

→ קודם: DEQ1_008הבא: DEQ1_010 ←