DYN1_E2023SA 2023 אביב מועד א'

חלק א’

הגדרת מערכת צירים .

מהגדרת מערכת הצירים:

סעיף 1

מהגדרת מקדם התקומה:

במקרה שלנו, . בנוסף, אנו יודעים ש- , חלקיק מתחיל ממנוחה, והמהירות של היא :

מאחר ומסות נעות רק במסלול מעגלי, נסיק שגם המהירויות שלהן רק בכיוון :

לפי מאזן מתקפים קווי לפני ואחרי ההתנגשות (אין כוחות חיצוניים כי הקפיץ רפוי):

נציב את שמצאנו:

ולכן:

סעיף 2

לפי מאזן תנע זוויתי סביב המרכז, עבור חלקיקים לאחר ההתנגשות:

כלומר, מתקיים שימור תנע זוויתי לאחר ההתנגשות (שנסמן כרגע ):

מהגדרת התנע הזוויתי, בזמן כללי :

אנו יודעים ש:

נציב בשימור תנע זוויתי:

סעיף 3

מאחרו יש שימור אנרגיה (פועלים רק כוחות משמרים במערכת ), נסיק כי (נסמן ב- את הרגע לאחר ההתנגשות):

אנו יודעים ש- , ולכן:

אנו יודעים ש- . נציב:

סעיף 4

לפי שימור תנע זוויתי כללי:

לפי שימור אנרגיה:

נגזור בזמן:

נקבל התארכות מקסימלית כאשר :

אנו יודעים ש- :

נתון כי , ולכן נוכל לחלק:

נציב בחזרה בשימור אנרגיה:

חלק ב’

נגדיר את ראשית מערכת הצירים באמצע הזרוע העליונה.
מהאיור ניתן לראות כי:

סעיף 5

מיקום הנקודה :

אבל, נשים לב ש- ב- , כך שלפי כלל האופרטור:

נתון כי . נציב ונקבל שהגודל הוא:

סעיף 6

שוב, לפי כלל האופרטור (כאשר נשים לב ש- , וגם ש- .

ולכן:

לא רשמתי דרך כי עשיתי לא טוב, ולא היה לי כוח לרשום הכל מחדש.

סעיף 7

לא נראה לי שזה בחומר.

סעיף 8

לפי ציר בורגי רגעי, אם היא נקודה בה עובר הציר הבורגי הרגעי:

אכפת לנו רק מהמרחק של מנקודה זו, אז נתייחס לנקודה בה :

מיקום הוא פשוט:

ולכן לפי כלל האופרטור, נקבל:

בנוסף, המהירות הזוויתית של מוט הוא , ולכן הגודל והכיוון שלו:

ב- :

נציב ב-:

ולכן מרחק הציר הבורגי הרגעי הוא:

סעיף 9

דג”ח על ברגע . כוח הריאקציה משורטט בכיוון כללי.

ממאזן תנע קווי בכיוון :

נזכור ש- . נציב:

נציב , ונסיק כי גודל הריאקציה בכיוון :

סעיף 10

לפי תנע זוויתי של מערכת גופים קשיחים:

מהנתונים, , וגם:

את נמצא ממשוואות גוף קשיח:

נציב בחזרה בתנע הזוויתי:

אנו גם יודעים ש- , ולכן:

סעיף 11

דג”ח על . כוח הריאקציה משורטט בכיוון כללי.

ממאזן תנע זוויתי סביב נקודה :

נחשב כל רכיב בנפרד.
תנע זוויתי:
מבחינת נגזרת התנע הזוויתי, ראינו בסעיף קודם ש:

נגזור לפי כלל האופרטור ונקבל:

מומנט סביב :
מבחינת סכום המומנטים סביב , כוח הריאקציה ב- לא רלוונטי (תאכלס יש גם מומנטי ריאקציה ב-, אבל הם מתאפסים כי בשאר המשוואה אין גדלים בכיוונם). נישאר עם המומנט כתוצאה מהכבידה של הגופים:

מיקום מרכז הכובד של המערכת:

תאוצת נקודה :
מיקום נקודה הוא פשוט . נגזור לפי כלל האופרטור פעמיים ונקבל:

הצבה בחזרה במאזן תנע זוויתי:

חלק ג’

סעיף 12

נרצה לדעת עבור איזה , מתקיים , כאשר . נסמן ב- את נקודת המגע, כך ש- היא נקודה על הדסקה ו- היא נקודה על הרצפה. לפי משוואות גוף קשיח:

מאחר ו- , וגם , נקבל:

מאחר והקרקע לא זזה, נסיק כי:

כך שכוח החיכוך פועל בכיוון .

דג”ח על הדסקה.

ממאזן תנע קווי בגק”ש:

מאחר ויש החלקה בתחילת התהליך, נסיק כי , ולכן במשוואה הראשונה:

מאחר והתנועה היא רק בכיוון , נוכל להסיק כי:

ולכן המהירות:

ממאזן תנע זוויתי בגק”ש מרחבי:

נציב :

ולכן המהירות הזוויתית:

משוואות (1) ו-(2) נכונות כל עוד הדג”ח שלנו נכון. הוא מפסיק להיות נכון כאשר הדסקה עוברת לאי-החלקה, ואז פועל חיכוך סטטי . במקרה זה (), אנו יודעים ש:

נציב במשוואה (1):

נציב את משוואה (2):

נציב בחזרה ב-(1):

נדרוש :

סעיף 13

ממאזן אנרגיה בגק”ש:

הכוח הפוטנציאלי לא מבצע עבודה, ולכן נישאר רק עם:

מאחר וכוח החיכוך הוא הכוח הלא משמר היחיד שפועל במערכת, ולכן העבודה המכנית שהוא מבצע מיוצגת ע”י . לכן, נרצה למצוא את:

מאנרגיה קינטית של גק”ש מישורי:

נרצה למצוא את . מאחר והדסקה מתגלגלת שמאלה, נסיק שהדסקה הפכה את תנועתה, כך שב- היא כבר באי-החלקה. מסעיף קודם, הקשר בין מהירות מרכז המסה למהירות הזוויתית היא:

ולכן במקרה שלנו:

נציב בביטוי ל-:

או, כמו שכתוב בפתרון:

סעיף 14

נרצה למצוא את גודל המהירות הזוויתית של הדסקה לאחר ההתנגשות.
נשים לב שברגע ההתנגשות ישנה החלקה בין הקיר לדסקה:

ולכן כוח החיכוך הקינטי יפעל בכיוון ברגע ההתנגשות.

דג”ח על הדסקה ברגע ההתנגשות. הוא מתקף מהתנגשות בקיר, משורטט בכיוון כללי.

הנורמל להתנגשות הוא בכיוון . נסמן את הנקודה הרלוונטית על הקיר ב-, כך שלפי מקדם התקומה:

אנו יודעים שלפני ההתנגשות, המהירות של נקודה נתונה פשוט לפי קשרי גוף קשיח:

מצאנו בסעיף קודם שהמהירות לפני ההתנגשות היא , ולכן:

נציב בחזרה במקדם תקומה:

גם נתון ש- , כך ש:

לפי משוואות גוף קשיח:

ממאזן מתקפים קווי בגק”ש (רגעי, המתקף של הכוחות החסומים ו- מתאפס):

נציב את הערכים ל- ו- שקיבלנו:

ממאזן מתקפים זוויתי סביב מרכז המסה, בכיוון :

סעיף 15

ראינו כי:

לאחר ההתנגשות, הכוח היחיד שפועל על הדסקה הוא הכוח הכבידה, כך שממאזן תנע קווי זריז:

ולכן המהירות (כאשר מוגדר כהרגע לאחר ההתנגשות):

ולכן הגובה של מרכז המסה ():

הדסקה תגיע לגובה המרבי שלה כאשר :

נציב בחזרה בגובה:

ולכן הפרש הגבהים המקסימלי הוא: