DYN1_HW009 תרגיל בית 9

	סטודנט א’	סטודנט ב’
שם	עידו פנג בנטוב	ניר קרל
ת”ז	CLASSIFIED	CLASSIFIED
דואר אלקטרוני	CLASSIFIED	CLASSIFIED

תרגיל 1

סכמת הבעיה.

סעיף א’

לפני ההתנגשות ואחרי ההתנגשות בקרקע ישנו שימור אנרגיה (רק כוח משמר מבצע עבודה במערכת). לכן, מרגע השחרור עד לרגע לפני ההתנגשות בקרקע:

אנו רוצים שלאחר ההתנגשות הכדור יגיע לגובה שהוא יותר מ- המוגדר. נוכל שוב לבצע שימור אנרגיה על רגע אחרי ההתנגשות עד שהכדור מגיע לגובה מקסימלי זה:

לפי הגדרת מקדם התקומה של חלקיק:

מאחר ורגע לפני ורגע ההתנגשות, מהירות הכדור היא רק בכיוון האנכי, וגם הנורמל לרצפה הוא בכיוון האנכי:

נציב נתונים ונקבל:

סעיף ב’

מבחינת האנרגיה של הכדור לפני ואחרי ההתנגשות:

לכן, היחס בין אנרגיות אלו:

נציב נתונים ונקבל כי:

כלומר, הפסד האנרגיה המקסימלי של הכדור הוא .

תרגיל 2

סכמת החלקיקים

הערה:

את הרגע לפני ההתנגשות נסמן ב-, את הרגע אחרי ההתנגשות נסמן ב-, הרגע שבו המרחק הוא מירבי ב- (כי אז ישנה רק מהירות משיקית), ואת המרחק המקסימלי של מ- ב-.

סעיף א’

נניח ולאחר ההתנגשות יש ל- מהירות . ברגע בו נמצא במרחק המקסימלי מהנקודה , אין לו מהירות בכיוון הרדיאלי מ-, אבל כן עשוי להיות לו מהירות משיקית. נסמן את גודל מהירות זו ב-. לפי שימור אנרגיה (הכוחות היחידים שמבצעים עבודה הם כוחות משמרים):

נותר לנו למצוא את שנוכל למצוא ממקדם התקומה, ואת שנוכל למצוא למצוא משימור תנע זוויתי.

מציאת :
לפי מקדם תקומה עבור מערכת חלקיקים:

במקרה שלנו, . בנוסף, חלקיק נמצא בהתחלה במנוחה, וחלקיק נע כבר בכיוון במהירות :

בנוסף, עד רגע אחרי ההתנגשות, לא פועלים על מערכת החלקיקים כוחות חיצוניים בכיוון . לכן, נוכל לומר כי מתקיים שימור תנע קווי במערכת חלקיקים:

משתי המשוואות (2) ו-(3) נוכל להסיק כי:

מציאת :
בכיוון החוצה מהמסך, רגע לאחר ההתנגשות, סך המומנטים על מסה סביב מתאפסים. לכן, נוכל לומר כי מתקיים עבורו שימור תנ”ז מוחלט:

נציב את הביטויים ל- ו- בחזרה בשימור אנרגיה (1):

סעיף ב’

הביטוי שקיבלנו בסעיף קודם עבור נכון לכל , גם . לכן:

נציב את הנתון (לא יודע למה לא הציבו אותו בפתרון הרשמי לסעיף א’) בביטוי שקיבלנו עבור :

תרגיל 3

סכמת המסה.

מאזן מתקף על מסה :
נבצע מאזן מתקף קווי עבור מסה , על פרק זמן ההתנגשות:

נמצא את הכוחות:

דג”ח על מסה

לכן המתקף בפרק זמן ההתנגשות:

הגודל הוא קבוע, ולכן הוא ייתאפס בגבול. לעומת זאת, אנו לא יודעים את גודל המתקף של , ולכן פשוט נסמנו :

לפי מאזן מתקף קווי:

נפרק לכיוונים:

אילוץ קינמטי על שני החלקיקים לאחר ההתנגשות:
כיוון ששני החוטים נשארים מתוחים לאחר ההתנגשות, ניתן לומר ש- - המרחק בין שני החלקיקים נשאר קבוע. זהו בדיוק הקשר שמגדיר גוף קשיח. לכן, נוכל לומר כי לאחר המתקף:

מהגדרת הזווית , נסיק כי רגע לאחר ההתנגשות:

נציב בתנאי שמצאנו:

מאחר ושני החוטים מתוחים גם לאחר המתקף, המהירות של מסה תהיה רק בכיוון המשיקי (תנועה מעגלית רגעית) ביחס לתקרה, :

מהירות המסה לפני ההתנגשות - :
הכוחות היחידים שמבצעים עבודה מרגע השחרור עד לפני ההתנגשות הם כוחות משמרים (כוח הכבידה), ולכן נוכל להשתמש בשימור אנרגיה. נשים לב שבהתחלה, שוחרר ממנוחה ולכן מהירותו אפס. בנוסף, הפרש הגבהים בין זמני הקצה הוא :

נתון כי , ולכן:

מאחר והכדור שוחרר ממנוחה, ופעל עליו כוח רק בכיוון , נסיק כי:

שימור תנע קווי למערכת:
נשים לב שלא פועלים על המערכת כוחות חיצוניים בכיוון , ולכן ישנו שימור תנע קווי. מאחר ובהתחלה אף אחד מהמסות היה בתנועה:

שילוב המשוואות:
נציב את (3) ב-(1):

נחלק את שתי המשוואות אחת בשנייה:

נציב את (2):

נציב את (4):

נציב בחזרה ב-(4) כדי למצוא את :

נציב הכל ב-(2):

נסכם:

הגדלים בכיוון יצאו הפוכים כי הוא נבחר בכיוון הפוך.

תרגיל 4

סכמת שלושת החלקיקים.

סעיף א’

הגדרת מערכת הצירים.

שימור תנע קווי:
נשים לב כי לא פועלים על מערכת החלקיקים כוחות חיצוניים בכיוונים . לכן, לפי שימור תנע קווי:

מקדם תקומה :
לפי הגדרת מקדם תקומה:

מהנתונים, באותו הכיוון, אבל הפוך מכיוון מהירות . בנוסף, היה במנוחה לפני ההתנגשות:

נציב את (1):

נציב ב-(2):

נניח ש- ו- התנגשו בדיוק בניצב ל-, כך שהתנע של כל אחד מהם לא השתנה בכיוון . מאחר ושניהם לא נעו בכיוון זה מלחתחילה, נוכל להסיק כי:

גוף בכלל לא מושפע עד רגע לאחר ההתנגשות, ולכן מהירותו נשארת אפסית:

סעיף ב’

נגדיר מערכת צירים סובבת :

מערכת צירים סובבת, כך ש- מוגדר בכיוון .

נרצה למצוא את , כאשר נשים לב ש- .

לאחר ההתנגשות, נוכל לומר שלמערכת החלקיקים שכוללת את ו- יש שימור תנע זוויתי סביב מרכז הכובד בכיוון (לא פועלים מומנטים חיצוניים סביב מרכז הכובד). לכן:

כלומר, התנע הזוויתי לאחר ההתנגשות (כאשר המרחק בין המסות הוא ) שווה לתנע הזוויתי בכל רגע לאחר מכן, בו המרחק בין המסות הוא כללי.

כיוון ש- כבד פי מ-, נסיק שמרכז הכובד נמצא תמיד במרחק מ-, וכך נוכל להגדיר את מיקומי המסות ביחס למרכז המסה:

לאחר גזירה לפי כלל האופרטור:

נשים לב שלאחר ההתנגשות, התנע הזוויתי של מערכת ו- היא פשוט:

נציב הכל בשימור תנע זוויתי:

סעיף ג’

מיד לאחר ההתנגשות, הכוחות היחידים שמבצעים עבודה הם כוחות משמרים (כוח הקפיץ). לכן נוכל לבצע שימור אנרגיה במערכת החלקיקים ו-:

מבחינת אנרגיה אלסטית, במקרה הכללי:

ולכן בהתחלה, .

מבחינת אנרגיה קינטית, היא בכללי נתונה ע”י:

לאחר ההתנגשות, אין כוחות חיצוניים הפועלים על המערכת, כך שמתקיים שימור תנע קווי:

כאשר הוא התנע של מערכת החלקיקים, ברגע כללי, ו- הוא התנע של המערכת חלקיקים, ברגע בו (רגע לאחר ההתנגשות). רגע לאחר ההתנגשות:

נציב בחזרה בשימור תנע קווי:

או, אם אנחנו עצלנים כמו בפתרון הרשמי:

נציב בחזרה בביטוי לאנרגיה הקינטית הכללית:

רגע לאחר ההתנגשות, רק ל- יש מהירות, ולכן האנרגיה הקינטית של המערכת ברגע זה:

נציב הכל בשימור אנרגיה:

תרגיל 5

סכמת החלקיקים.

סעיף א’

הגדרת מערכת צירים.

שימור תנע זוויתי:
על מערכת החלקיקים ו- לא פועלים מומנטים סביב בכיוון , ולכן נוכל לומר כי מתקיים שימור תנע זוויתי יחסי לנקודה :

מהנתונים:

נניח ש- ו- התנגשו בדיוק בניצב ל-, כך שהתנע של כל אחד מהם לא השתנה בכיוון . מאחר ושניהם לא נעו בכיוון זה מלחתחילה, נוכל להסיק כי:

נציב הכל בשימור תנע זוויתי יחסי:

מקדם תקומה :
לפי הגדרת מקדם התקומה:

הכיוון הנורמלי להתנגשות החלקיקים הוא , ולכן:

ממשוואות (1) ו-(2) נקבל:

ולכן גודל המהירויות:

נציב את הנתון ונקבל:

סעיף ב’

שימור אנרגיה:
מרגע לאחר ההתנגשות, הכוחות היחידים שמבצעים עבודה הם כוחות משמרים (כוח הקפיץ), ולכן נוכל להשתמש בשימור אנרגיה במערכת :

כאשר הוא משתנה המייצג את המרחק בין ו- (אורך הקפיץ).
מבחינת אנרגיה אלסטית, במקרה הכללי:

ולכן בהתחלה, .

מבחינת אנרגיה קינטית, היא בכללי נתונה ע”י:

ברגע ההתחלה לעומת זאת:

נציב הכל בשימור אנרגיה:

מאחר ו- ו- מוגבלים בתנועתם על המסילות המעגליות, נסיק כי:

ולכן:

שימור תנע זוויתי:
בדומה לסעיף קודם, לאחר ההתנגשות ישנו שימור תנע זוויתי סביב בכיוון :

במקרה הכללי:

ובהתחלה אנו יודעים ש:

נציב בשימור תנע זוויתי:

נציב בחזרה בשימור אנרגיה:

נגזור בזמן:

המהירות תהיה מקסימלית כאשר :

• אם , זהו המצב לאחר ההתנגשות, שאנו כבר יודעים בו:
• אם , ???

נסיק כי גודל המהירות המקסימלית הוא:

סעיף ג’

נחזור לנגזרת של משוואת האנרגיה בזמן:

הפעם, נדרוש כדי למצוא את ה- המקסימלי:

אם :

נציב בחזרה בשימור אנרגיה: