IRB1_E2017WA 2017 חורף מועד א

שאלה 1

סעיף א’

הגדרת מערכות הצירים לפי D–H.

סעיף ב’

כאשר .

סעיף ג’

אין לי כוח.

שאלה 2

סעיף א’

נשים לב שיש לנו מפרקים ולכן נעלמים. בנוסף, יש לנו משוואות. אבל, מיקום התפסנית:

כלומר, התפסנית תלויה רק בשלושת המפרקים הראשונים, ולפיכך לכל אחד מהם יש מספר פתרונות סופי. ל- יש אינסוף פתרונות, וכדי לקבוע את ערכו נצטרך לדעת את אוריינטציית התפסנית סביב צירו.

סעיף ב’

שלושת המשוואות הן:

מהמשוואה השלישית:

מאחר ו- , נוכל לרשום:

נעלה את שתי המשוואות הראשונות בריבוע ונחבר אותן (לשם הקיצור, נסמן ):

לאחר חיבור:

נרשום את שתי המשוואות הראשונות באופן מטריצי:

נסמן:

ולכן הפתרון:

ונוכל לרשום:

סעיף ג’

יש ארבעה פתרונות. אין לי כוח לצייר.

שאלה 3

נתון:

סעיף א’

נשים לב ש:

ולכן:

\begin{aligned} ^{0}\mathbf{T}_{3} & =\begin{pmatrix} {c}_{1} & -{s}_{1} & {c}_{1}{s}_{2} & 0 \\ {s}_{1}{c}_{2} & {c}_{1} & {s}_{1}{s}_{2} & 0 \\ {s}_{2} & 0 & -{c}_{2} & {\ell}_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {c}_{3} & {s}_{3} & 0 & 0 \\ {s}_{3} & -{c}_{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & {\ell}_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1ex] & =\begin{pmatrix} - & - & - & {c}_{1}{s}_{2}{\ell}_{3} \\ - & - & - & {s}_{1}{s}_{2}{\ell}_{3} \\ - & - & - & -{c}_{2}{\ell}_{3}+{\ell}_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} $$ לפיכך: $$ \mathbf{p}_{3}=\begin{pmatrix} {c}_{1}{s}_{2}{\ell}_{3} \\ {s}_{1}{s}_{2}{\ell}_{3} \\ -{c}_{2}{\ell}_{3}+{\ell}_{1} \end{pmatrix} $$ נחשב את היעקוביאן הלינארי ע"י [[IRB1_004 Velocity Kinematics and Statics#linear-jacobian-computation---shortcut|גזירה]]: $$ \mathbf{J}_{L}=\begin{pmatrix} -{s}_{1}{s}_{2}{\ell}_{3} & {c}_{1}{c}_{2}{\ell}_{3} & 0 \\ {c}_{1}{s}_{2}{\ell}_{3} & {s}_{1}{c}_{2}{\ell}_{3} & 0 \\ 0 & {s}_{2}{\ell}_{3} & 0 \end{pmatrix} $$ נשים לב גם ש: $$ \begin{aligned} \mathbf{J}_{A} & =\begin{pmatrix} \mathbf{z}_{0} & \mathbf{z}_{1} & \mathbf{z}_{2} \end{pmatrix} \\[1ex] & =\begin{pmatrix} 0 & -{s}_{1} & {c}_{1}{s}_{2} \\ 0 & {c}_{1} & {s}_{1}{s}_{2}\\ 1 & 0 & -{c}_{2} \end{pmatrix} \end{aligned} $$ נסכם:

\boxed{\mathbf{J} =\begin{pmatrix}
-{s}{1}{s}{2}{\ell}{3} & {c}{1}{c}{2}{\ell}{3} & 0 \
{c}{1}{s}{2}{\ell}{3} & {s}{1}{c}{2}{\ell}{3} & 0 \
0 & {s}{2}{\ell}{3} & 0 \
0 & -{s}{1} & {c}{1}{s}{2} \
0 & {c}{1} & {s}{1}{s}{2}\
1 & 0 & -{c}_{2}
\end{pmatrix}}

### סעיף ב' נחשב את הדטרמיננטה של היעקוביאן הלינארי:

\begin{aligned}
\det(\mathbf{J}{L}) & =\begin{vmatrix}
-{s}{1}{s}{2}{\ell}{3} & {c}{1}{c}{2}{\ell}{3} & 0 \
{c}{1}{s}{2}{\ell}{3} & {s}{1}{c}{2}{\ell}{3} & 0 \
0 & {s}{2}{\ell}_{3} & 0
\end{vmatrix}
\end{aligned}

אנומקבליםשהרובוטסינגולריבכלקונפיגורציהבכיווןבסעיףמבקשיםלהתייחסלנקודותסינגולריותבתוךהקליפהביחסלמהירותהקוויתשלראשיתמערכתהתפסניתלכןנמצאמתיכלהמינוריםשלהיעקוביאןמתאפסים

\begin{aligned}
& \begin{vmatrix}
-{s}{1}{s}{2}{\ell}{3} & {c}{1}{c}{2}{\ell}{3} \
{c}{1}{s}{2}{\ell}{3} & {s}{1}{c}{2}{\ell}{3}
\end{vmatrix}=-{{{s}{1}}}^{2}{s}{2}{c}{2}{{{\ell}{3}}}^{2}-{{{c}{1}}}^{2}{c}{2}{s}{2}{{{\ell}{3}}}^{2}=-{s}{2}{c}{2}{{{\ell}{3}}}^{2}=0 \[3ex]
& \begin{vmatrix}
-{s}{1}{s}{2}{\ell}{3} & {c}{1}{c}{2}{\ell}{3} \
0 & {s}{2}{\ell}{3}
\end{vmatrix}=-{s}{1}{{{s}{2}}}^{2}{{{\ell}{3}}}^{2}=0 \[3ex]
& \begin{vmatrix}
{c}{1}{s}{2}{\ell}{3} & {s}{1}{c}{2}{\ell}{3} \
0 & {s}{2}{\ell}{3}
\end{vmatrix}={c}{1}{{{s}{2}}}^{2}{\ell}_{3}=0
\end{aligned}

כלהביטוייםלעילאכןמתאפסיםכאשר

\boxed {
{\theta}_{2}=0,\pi
}

אין לי כוח לצייר. ### סעיף ג' כוח הפועל בכיוון $\hat{\mathbf{z}}_{3}$ לא מייצר מומנטים במפרקים - ניתן לראות שהעמודה השלישית ביעקוביאן אפסית. ## שאלה 4 ![[IRB1_E2017WA 2017 חורף מועד א 2025-07-19 15.34.32.excalidraw.svg]] >מרחב העבודה של הרובוט. מרחב העבודה המיומן של הרובוט הוא עיגול בקוטר ${\ell}_{1}+{\ell}_{2}-{\ell}_{3}$.