השוואה בין מהירות ממוצעת נמדדת למהירות תאורטית של עגלה במסילה משופעת

מספר קורס	01140032
מספר קבוצה	54
עמדת עבודה	23
שם מדריך	רז עמר
מגישים	עידו פנג בנטוב CLASSIFIED CLASSIFIED
תאריך	14/05/2025
דוח מסכם לניסוי	מהירות ממוצעת

---

---

תקציר

בניסוי זה חישבנו את המהירות הממוצעת של עגלה המשוחררת ממנוחה, על גבי מסילת אוויר משופעת. מהירות זו מחושבת על פי פרק הזמן שלוקח לה לעבור מרחק מסוים קבוע. חישוב המהירות הממוצעת בוצע בשתי שיטות: באופן ישיר, לפי מדידת זמנים וחישובי סטיית תקן, ובאופן עקיף לפי נוסחה פיזיקלית. מתוצאות המדידה הישירה בנינו היסטוגרמה של הזמנים המדודים, השוונו לגרף ההתפלגות הנורמלית (פעמון גאוס), ומצאנו כי קיימת התאמה טובה בין המדידות לגרף המצופה. לבסוף, הישוונו את המהירות הממוצעת שהתקבלה באופן הישיר לזו שהתקבלה מהאופן העקיף, ומצאנו כי הערכים אינם תואמים בטווח השגיאה הסטטיסטית, כאשר הפער העיקרי מיוחס לגורמים כגון חיכוך שלא נלקחו בחשבון במודל התיאורטי.

מבוא

המערכת הניסויית כללה מסילת אוויר ישרה באורך עם שיפוע קבוע כך שצד אחד שלה בגובה הניתן לכוונון, ועגלה באורך ומחשב לאיסוף נתונים.

איור 1: תרשים מערכת הניסוי.

הנחות המודל:

• החיכוך בין העגלה למסילה זניח
• השפעת החיכוך עם האוויר קטנה

מהירות ממוצעת מוגדרת כיחס בין המרחק הכולל שהגוף עובר לבין פרק הזמן שלוקח לעבור מרחק זה:

כאשר:

• הוא המרחק שהגוף עובר ב-.
• הוא פרק הזמן שלוקח לו לעבור מרחק זה ב-.

במדידה הישירה, בוצעו מדידות, וחושב ממוצע זמנים . סטיית התקן של המדידות היא:

וטעות הממוצע:

במדידה העקיפה, הסתמכנו על חוקי ניוטון לחישוב פרק הזמן. מפיתוח המופיע בנספחים קיבלנו:

תוצאות הניסוי

כיול והגדרת המערכת

בתחילת הניסוי כיילנו את מסילת האוויר על ידי הנחת העגלה במרכז המסילה ושחרורה, כדי לוודא שהיא נמצאת בשיווי משקל ואינה מחליקה לכיוון מסוים. לאחר כיול זה, הגבהנו צד אחד של המסילה באמצעות משקולת מתכתית, ומדדנו את הפרמטרים הגיאומטריים של המערכת:

למדידת הגדלים הפיזיקליים השתמשנו בקליבר, סרגל, שער פוטואלקטרי ומחשב לאיסוף נתונים. שגיאת השער הפוטואלקטרי עומדת על .

מדידה ישירה

הפעלנו את מסילת האוויר, שחררנו את העגלה מראש המסילה, ומדדנו את הזמן בו העגלה חוסמת את השער הפוטואלקטרי. חזרנו על המדידה פעמים. ובנינו היסטוגרמה של ערכי הזמן שנמדדו, וחילקנו את התוצאות ל- עמודות (bins) ברוחב . על גבי ההיסטוגרמה הותאם גרף של התפלגות נורמלית (פעמון גאוס) לפי ממוצע וסטיית התקן שמדדנו.

מספר העמודות בהיסטוגרמה ( במקרה זה) נבחר כדי לספק איזון טוב בין הצגת פירוט מספק של התפלגות הנתונים לבין שמירה על צורה כללית חלקה של ההתפלגות.

איור 2: היסטוגרמה של ערכי הזמן שנמדדו (עמודות כחולות) עם עקומת ההתפלגות הנורמלית (קו כתום).

ההתפלגות הנמדדת תואמת היטב את ההתפלגות הנורמלית, מה שמאשש את קיום השגיאות האקראיות במדידה.

בעזרת ו- חושבו ממוצע הזמנים, סטיית התקן ושגיאת הממוצע:

ולכן, זמן המעבר הממוצע שנמדד הוא .

מכאן, לפי וחישובי שגיאות נגררות בנספחים, המהירות הממוצעת מהמדידה הישירה:

מדידה עקיפה

הערך של תאוצת הכובד בו נעשה שימוש בחישובים הוא עם שגיאה .
באמצעות משוואה , חושב הזמן בו העגלה צפויה לעבור את השער:

מכאן, לפי וחישובי שגיאות נגררות בנספחים, המהירות הממוצעת התיאורטית:

דיון בתוצאות והשוואה לתיאוריה

בניסוי זה נמדדה המהירות הממוצעת של עגלה במסילה משופעת בשתי דרכים: מדידה ישירה של זמן המעבר דרך שער פוטואלקטרי, וממנה חישוב ; ומדידה עקיפה המבוססת על חישוב תיאורטי של זמן המעבר לפי חוקי ניוטון, וממנו חישוב .

מהשוואת טווחי השגיאה, ניתן לראות כי הערכים הנמדדים (הן לזמן והן למהירות) אינם חופפים עם הערכים התיאורטיים. הזמן הנמדד ארוך משמעותית מהזמן התיאורטי, וכתוצאה מכך, המהירות הנמדדת נמוכה משמעותית מהמהירות התיאורטית. הפער היחסי עבור הזמן הוא כ- (כאשר הוא הייחוס), ועבור המהירות כ- .

ניתוח שגיאות וסיבות אפשריות לפער

הפער המשמעותי בין התוצאות המדודות לתיאורטיות מצביע על גורמים שלא נלקחו בחשבון במודל התיאורטי האידיאלי, או על שגיאות מערכתיות.

1. חיכוך: המודל התיאורטי מניח היעדר חיכוך. בפועל, קיים חיכוך בין העגלה למסילת האוויר (שאינו אפס לחלוטין) וכן חיכוך עם האוויר (התנגדות אוויר). כוחות חיכוך אלו פועלים בניגוד לתנועה, מקטינים את תאוצת העגלה, ולכן מאריכים את זמן המעבר שלה דרך השער הפוטואלקטרי. זוהי הסיבה הסבירה ביותר לפער הנצפה, שכן היא מסבירה מדוע .
2. מדידת פרמטרים גיאומטריים: שגיאות במדידת משפיעות על החישוב התיאורטי. שגיאות אלו נלקחו בחשבון בחישוב שגיאת , אך ייתכן שהערכת השגיאות עצמן אינה מדויקת או שקיימת שגיאה שיטתית באחד המכשירים.
3. כיול המסילה: ייתכן שמסילת האוויר לא הייתה מאוזנת באופן מושלם לפני קביעת השיפוע.
4. הנחות המודל: המודל מניח תאוצה קבועה הנובעת מכוח הכובד בלבד. גורמים כמו רעידות קלות במסילה, או אי-אחידות בזרימת האוויר ממסילת האוויר, יכולים להשפיע על תנועת העגלה.

מסקנות

במסגרת ניסוי זה, כפי שצוין בתקציר, השוואת הערכים המדודים והתיאורטיים, יחד עם טווחי השגיאה שלהם, מראה כי הם אינם חופפים. הפער היחסי עבור הזמן הוא כ- (כאשר הוא הייחוס), ועבור המהירות כ- .

מסקנה עיקרית מהניסוי היא שהמודל הפיזיקלי הפשוט, המתעלם מחיכוך, אינו מתאר במדויק את המערכת הניסויית. הזמן הנמדד ארוך יותר מהתיאורטי, והמהירות הנמדדת נמוכה יותר, ממצא התומך בהשערה כי כוחות חיכוך (הן ממסילת האוויר והן מהתנגדות האוויר) הם הגורם המרכזי לפער בין התוצאות. אף על פי שההיסטוגרמה של המדידות הישירות הראתה התאמה טובה להתפלגות נורמלית, דבר המעיד על אופי אקראי של שגיאות המדידה הישירה, הפער השיטתי מול התיאוריה מצביע על מגבלות המודל.

נספחים

חישוב פרק זמן מחוקי ניוטון

בהזנחת החיכוך בין המסילה לעגלה.

דג”ח על העגלה.

בציר המקביל לשיפוע, פועל על העגלה רק היטל של כוח הכבידה:

מאחר ואנו משחררים את העגלה ממנוחה, ובהנחה ו- נמצא בנקודת השחרור, לאחר אינטגרציה פעמיים לפי הזמן נקבל את פונקציית המיקום של העגלה:

נרצה למצוא את פרק הזמן בו העגלה נמצאת תחת השער הפוטואלקטרי. נמצא את הרגע בו היא הגיעה לשער והרגע בו היא עזבה את השער:

נשים לב ש- ונקבל:

חישובי שגיאות נגררות

שגיאה נגררת של מהירות ממוצעת:

ביבליוגרפיה

1. “תדריך למהירות ממוצעת של עגלה במישור משופע”, אתר מודל טכניון.
2. “הנחיות לכתיבת דוח מעבדה” אתר מודל טכניון.