NUM1_E2020WA 2020 חורף מועד א

חורף מועד א’

תרגיל 1

סעיף א’

נגדיר פונקציה שנרצה למצוא את השורש שלה:

נשים לב שבמקרה זה הסימונים ו- התהפכו.
השורש של , שנסמנו ב-, יהווה פתרון למשוואה זו, ולכן יתקיים . לפיכך, ה- שמצאנו הוא הפתרון לבעיה המקורית.

סעיף ב’

לפי שיטת ניוטון, הנוסחה האיטרטיבית היא:

במקרה שלנו, הנגזרת:

נציב את זה ואת בנוסחה ונקבל:

לסיכום:

סעיף ג’

נציב ונתחיל עם :

איטרציה שנייה:

נסכים:

סעיף ד’

שיטת החצייה אכן מתאימה לבעיה זו כי הפונקציה רציפה ויש בה תחומים שליליים וחיוביים. נדגים צעד אחד עבור .
נשים לב ש- ו- ולכן נתחיל מהתחום .
החציון שלנו באיטרציה הראשונה יהיה . מתקיים:

מאחר ו- , את האיטרציה הבאה נבצע בתחום , שזה בעצם .

תרגיל 2

מוגדרת השיטה האיטרטיבית:

סעיף א’

נכתוב את השיטה האיטרטיבית בהצגה שונה כדי למצוא את מטריצת האיטרציה .

מהגדרת מטריצת האיטרציה:

תנאי התכנסות מספיק הוא ש- , אז:

נורמות של מטריצות מקיימות . לכן, אם , אז גם בוודאות . נפעיל את ההיגיון על הביטוי שקיבלנו:

כלומר, אם האי שוויון הנ”ל מתקיים, השיטה מתכנסת.

סעיף ב’

נציב באי שוויון שקיבלנו בסעיף הקודם, כאשר נשים ל ש- :

נחשב כל נורמה בנפרד (נורמה-):

נציב בחזרה באי שוויון:

קיבלנו שאכן יש התכנסות עבור ה- וה- הנתונים.

סעיף ג’

נבצע איטרציה אחת עם :

לסיכום:

סעיף ד’

קצב ההתכנסות נתון ע”י הנורמה הספקטרלית של . כלומר:

נשים לב ש- היא:

נמצא את הע”ע:

נסיק מהגדרת הרדיוס הספקטרלי ש:

ולכן קצב ההתכנסות נתון ע”י:

או, אם אתם מעצבנים ומגדירים את קצב ההתכנסות כ-, אז:

תרגיל 3

סעיף א’

לפי שיטת הטרפזים, בקטע :

נקבל:

הערכה לשגיאה עבור שיטת הטרפזים נתונה ע”י:

כאשר . עבור הפונקציה הנתונה:

הנגזרת השנייה היא פונקציה עולה בקטע ולכן מקבלת מינמום ומקסימום בקצוות:

נציב בהערכה לשגיאה כדי להסיק כי החסמים לשגיאה הם:

סעיף ב’

הנוסחה תהיה מהצורה הכללית:

נמצא את לפי שיטת המקדמים החופשיים, כאשר ניעזר באינטגרציה על בסיס הפולינומים :

נסיק ש:

מהמשוואה הראשונה, . נציב במשוואה השנייה:

נציב בחזרה ב-:

ולכן:

סעיף ג’

נפרק את האינטגרל לשניים:

נדרוש עבור האינטגרל השני שערכו יהיה קטן יותר מ-, כאשר במקרה שלנו, . בעזרת דרישה זו, נמצא את :

נמצא כי:

קיבלנו כי עבור , ערך האינטגרל השני קטן מ-. לשם נוחיות, נבחר .

כעת, נבצע את שיטת הטרפז המרוכבת על הקטע , ונדרוש שהשגיאה תהיה קטנה יותר מ-. בכך, אנו נקבל קירוב ל- עם שגיאה שהיא לכל היותר .

אזי, נבצע את דרישה זו, כאשר נזכור שגיאת שיטת הטרפז המרוכבת נתונה ע”י:

כאשר . מצאנו כי הנגזרת השנייה:

המינימום והמקסימום בקטע זה:

בערך מוחלט הדומיננטי יותר מביניהם הוא המינימום. נציב בהערכה לשגיאה:

נציב :

בעזרת נוכל להסיק את מספר נקודות הדגימה שלנו:

ולכן מספר נקודות הדגימה (כולל הקצוות) יהיה:

לסיכום, נידרש לפחות נקודות דגימה.

תרגיל 4

סעיף א’

נשים לב כי במקרה שלנו:

עבור השיטה הראשונה (שיטת אויילר המתוקנת):

ולכן:

עבור השיטה השנייה (שיטת הטרפזים הסתומה):

נעביר אגפים:

סעיף ב’

לא בחומר אח.

סעיף ג’

מקומית עבור שיטה במד”ר נתונה ע”י:

נפתח לטור טיילור את :

נסדר טיפה את השיטה הראשונה, כאשר נניח ש-, כי אנו בודקים את השגיאה רק בצעד אחד. כלומר, אנו מניחים שהצעד מתחיל בנקודה מדויקת:

נציב את פיתוח זה ואת השיטה הראשונה בביטוי עבור השגיאה:

ולכן:

לא כל כך מבין מה הם חיפשו בשאלה הזאת. לפי הקישור, השגיאה של השיטה הסתומה היא:

השגיאה הנתונה כאן יותר מאותו סדר של השיטה הקודמת, ולכן אין העדפה מבחינת דיוק לאחת מהשיטות. בכל זאת נעדיף את שיטת אויילר המדויקת כי יותר נוח לעבוד איתה.