PDE1_003 משוואות לינאריות מסדר שני

→ קודם: PDE1_002הבא: PDE1_004 ←

משוואות מסדר שני בשני משתנים

נביט בצורה כללית למד”ח לינארית מסדר שני בשתי משתנים:

כאשר הן פונקציות של .
נשים לב כי אם קיים פתרון אמיתי, אז גזירה פעמיים ברציפות ולכן:

הגדרה:

הדיסקרימיננטה של המשוואה מוגדרת כ:

החלק העיקרי של המשוואה מוגדר כ:

מיון משוואות מסדר שני בשני משתנים

הגדרה:

נאמר כי המשוואה:

• היפרבולית בנקודה אם .
• פרבולית בנקודה אם .
• אליפטית בנקודה אם .

דוגמה:

• משוואת הגלים היא היפרבולית:

• משוואת החום היא פרבולית:

• משוואת לפלס היא אליפטית:

אלגוריתם: החלפת משתנים

• ניזכר בהחלפת משתנים מחדו”א 2.

בהינתן מד”ח וחילוף משתנים עבור הפונקציה :

נמצא את הקשר בין הנגזרות החלקיות של ו- באמצעות כלל השרשרת בכמה משתנים, ואז נוכל לרשום את המשוואה החדשה באמצעות ולפתור עבורה. משוואה זו שקולה למשוואה המקורית, כלומר, הוא פתרון למשוואה המקורית אם ורק אם היא פתרון למשוואה החדשה.

הערה:

נזכור שהחלפת משתנים מוגדרת רק אם היעקוביאן לא אפס:

דוגמה:

ניקח את המשוואה עם חילוף המשתנים:

נגדיר פונקציה חדשה ע”י:

מתקיים גם הקשר ההפוך:

לפי כלל השרשרת מתקיים:

נציב משוואה ונקבל:

קיבלנו מד”ח חדשה:

הערה:

סוג המשוואה אינו משתנה כתוצאה מחילוף המשתנים.

כל משוואה מהצורה שרשמנו ניתן להפוך בעזרת חילוף משתנים לאחת משלוש צורות קנוניות.
הצורה הקנונית עבור משוואה:

1. היפרבולית:
2. פרבולית:
3. אליפטית:

---

תרגיל:
נתונה המשוואה:

כאשר:

1. מצא תחום במישור בו המשוואה היפרבולית / פרבולית / אלפיטית.
   פתרון:

   אז הדטרמיננטה:

   לכן המשוואה:

   • היפרבולית בתחום (כי אז ).
   • פרבולית בתחום .
   • אליפטית בתחום .
     

2. בתחום שבו המשוואה אליפטית מצא צורה קנונית ע”י החלפת משתנים:

   פתרון:
   המשוואה אליפטית ולכן:

   נרצה להגיע לצורה הקנונית:

   אז נבצע את ההחלפת המשתנים הנתונה:

   הנגזרות:

   היעקוביאן:

   אז נוכל להמשיך:

   נציב במשוואה:

---

תרגיל:
נתונה המשוואה:

1. מצא צורה קנונית ע”י: פתרון: לכן הדיסקרימיננטה: נסיק כי לכל המשוואה היפרבולית. נעביר לצורה קנונית: נגזרות: יעקוביאן: נוכל להמשיך: נציב במשוואות ונפשט:
2. מצא פתרון כללי.
   פתרון:
   נבצע אינטגרציה פעמיים: נחזור ל-:
3. מצא פתרון פרטי המקיים: פתרון:
   נציב את הפתרון הפרטי: קיבלנו שני תנאים. נפשט את התנאי השני: נציב בתנאי הראשון: אם נציב: אז: ולכן: זוהי פונקציה מיוחדת שתלויה בעצמה. נוודא שאין סתירה בהגדרה זו: נמשיך: ולכן הפתרון הפרטי שלנו:

הערה:

באופן כללי, כשאנחנו מקבלים פונקציה כזאת ישנם 3 אפשרויות:

1. זהות - קיים פתרון, למשל:

2. תנאי - למשל:

ואז קיבלנו את התנאי:

ורק אז קיים פתרון.

3. סתירה - למשל:

ונקבל את הסתירה:

→ קודם: PDE1_002הבא: PDE1_004 ←