DYN1_E2015WA 2015 חורף מועד א'

חלק א’

הגדרת מערכת הצירים.

מהגדרת מערכת הצירים:

סעיף 1

מיקום החרוז (ביחס לנקודה נייחת ):

נגזור לפי כלל האופרטור:

בהתחלה נתון כי , וגם ולכן:

ולכן הגודל:

סעיף 2

שוב, לפי כלל האופרטור, כאשר נשים לב כי :

נציב את הנתונים על ונסיק כי:

ולכן הגודל:

סעיף 3

לא נראה לי שזה בחומר.

סעיף 4

דג”ח על החלקיק. מעצם הגאומטרייה, כוח המתיחה יכל לפעול רק בכיוון .

ממאזן תנע קווי בחלקיק:

נתון כי בהתחלה , וגם , ולכן:

ולכן:

סעיף 5

נשים לב שעל החרוז פועל כוח רק בכיוון , ולכן התאוצה שלו בכיוון היא . נחשב את התאוצה לפי כלל האופרטור:

לכן בכיוון :

מאחר והיא אפס:

אם נשווה לצורה הנתונה, נסיק כי .

סעיף 6

עם כמה שיזהר אוהב מערכות לינאריות, לא חושב שזה בחומר.

חלק ב’

סעיף 7

לפי תנע זוויתי של מערכת גק”ש:

כאשר מייצג את החלקיק.
עבור המסגרת, נתון כי:

עבור החלקיק, אם נסמן את הגובה עד הפיצול במסגרת ב-:

כאשר הוא כיוון . ניתן לראות ש- , ולכן:

נגזור לפי כלל האופרטור ():

ולכן:

נציב הכל בתנע הזוויתי:

סעיף 8

עבור האנרגיה הפוטנציאלית (הכבידתית) נבחר נקודת ייחוס בצומת המסגרת. לכן:

לפי אנרגיה קינטית של גק”ש מרחבי:

נציב באנרגיה המכנית הכוללת:

סעיף 9

נשים לב שלא פועלים מומנטים בכיוון , ולכן בכיוון מתקיים שימור תנע זוויתי:

מסעיף 7:

בהתחלה ובסוף:

נציב:

סעיף 10

מאחר והמהירות היחסית בין החלקיק והמסגרת בכיוון הכוחות הלא משמרים (הכוחות הנורמליים) היא אפס, נסיק כי יש שימור אנרגיה, כך ש:

בהתחלה ובסוף:

נציב את ערכים אלו בשימור אנרגיה (ניעזר גם בפתרון של סעיף 8):

חלק ג’

סכמת הבעיה. הוא מהירות המסועה.

סעיף 11

הסימונים הנ”ל מיוחסים לנקודה למסה .
מאחר ומסה לא מחליקה, נסיק כי עבור נקודת המגע שלה עם המסועה :

ולכן ממשוואות גוף קשיח:

דג”ח על מסה . כיוון החיכוך הוחלט באופן שרירותי.

ממאזן תנע קווי בגק”ש (בכיוון ):

ממאזן תנע זוויתי בגק”ש מישורי:

נציב את שקיבלנו מהמאזן תנע קווי:

כיוון ש- , כאשר נבצע אינטגרציה נקבל:

כאשר קבוע אינטגרציה. נשים לב שהוא למעשה כי הכדור התחיל ממנוחה. נשים לב מהנתונים ש- , ולכן:

נציב בחזרה בביטוי שקיבלנו עבור :

נשים לב מהנתונים שמהירות המסועה היא פשוט . נציב:

ולכן ב- :

סעיף 12

הסימונים הנ”ל מיוחסים לנקודה למסה .

דג”ח על מסה . כיוון החיכוך הוחלט באופן שרירותי.

ממאזן תנע קווי בגק”ש (בכיוון ):

מאחר ומדובר בהחלקה, נסיק כי כך שלמעשה:

לכן מהירות מרכז המסה ב- היא:

נציב נתונים ונקבל כי הגודל:

חלק ד’

סעיף 13

טנזור האינרציה של כל אחד מהמסות סביב מרכזן הוא . נזיז כל אחד ביחס לנקודה לפי משפט ההזזה המקבילה:

נסכום את כולם כדי לקבל את טנזור האינרציה של המסגרת:

ולכן:

סעיף 14

דג”ח על המסגרת ברגע ההתנגשות. הוא המתקף מההתנגשות.

מיקום מרכז המסה ביחס לנקודה :

ממאזן מתקפים זוויתי רגעי סביב :

מאחר ואין מתקפי מומנטים רלוונטיים סביב (המומנט מכוח הכבידה חסום), נסיק כי:

סעיף 15

מתנע זוויתי של גק”ש מרחבי:

ולכן:

סעיף 16

דג”ח על המערכת. כוח הריאקציה מסומן בכיוון כללי.

ממאזן תנע זוויתי בגק”ש מרחבי:

מאחר ו- נקודה נייחת, , כך שנישאר בצד ימין רק עם המומנט סביב :

אנו מעוניינים רק ב-, אז נכפיל הכל ב-: