FEM1_E2020SA 2020 אביב מועד א

שאלה 1

נתון:

סעיף א’

נבצע אינטגרציה:

נכפיל בפונקציית בוחן ממרחב הפונקציות הקבילות קינמטית:

נבצע אינטגרציה בחלקים על הביטוי השלישי בצד שמאל ונישאר עם:

נשים לב שיש לנו תנאי שפה דיריכלה בצד שמאל וימין. לפיכך, .

סעיף ב’

נבצע את הקירובים:

לפיכך, נוכל לרשום:

כאשר:

עבור שלושה אלמנטים לינאריים באורך שווה, כל אלמנט הוא באורך . נבחר את פונקציות הבסיס באלמנט המאסטר כ:

כך שהמיפוי הוא:

נסמן ונשים לב ש:

לפי פיתוחים שנראו בהרצאה, בעזרת אינטגרציית גאוס בנקודה אחת נוכל לרשום:

ולכן המטריצה הגלובלית:

באותו אופן עבור שאר המטריצות:

ולכן הגלובלית:

כך ש:

וגם:

מאחר ויש לנו תנאי שפה דיריכלה הומוגניים, המערכת המשוואות שלנו מצטמצמת לשתי משוואות (שורה שתיים ושלוש):

סעיף ג’

נתון:

נמצא את . לאחר הצבת תנאי השפה, היא מטריצה הפיכה, כך שנוכל לרשום:

לכן נוכל לרשום:

נציב ב-(E1.1) ו-(E1.2):

סעיף ד’

נשים לב שאנו כבר יודעים מתנאי ההתחלה ש:

כלומר:

כעת לפי (E1.3):

לפיכך:

נזכור כי הקרוב שלנו היה . לפיכך:

אין לי כוח לחשב את .

סעיף ה’

לא אם רוצים להבטיח יציבות בזמן.

סעיף ו’

כן כי שיטות סתומות יציבות בזמן ללא תנאי.

שאלה 2

נתון:

כאשר הוא טנזור אלכסוני המייצג את מוליכות החום.

הערה:

איור E2020.1: אני משתמש כאן בסימונים אחרים כי הסימונים שהם נותנים תמיד מבלבלים רצח ולא עקביים בכלל עם הסימונים שאנחנו מכירים ממעבר חום.

סכמת הבעיה ותחום הרישות.

סעיף א’

נבצע אינטגרציה על התחום:

נכפיל בפונקציית בוחן קבילה קינמטית:

נשתמש בזהות . או לאחר העברת אגפים:

נבחר ו-. נציב במאזן לעיל:

בעזרת משפט הדיברגנץ על הביטוי הראשון באגף שמאל:

מאחר ו- קבילה קינמטית, היא מתאפסת בקצוות בהם יש תנאי שפה דיריכלה . בנוסף, מתאפס בקצוות בהן יש תנאי שפה נוימן הומוגני . לפיכך, נישאר רק עם :

אנחנו יודעים שעל שפה זו:

ולכן:

לאחר טיפה העברת אגפים:

סעיף ב’

לפי השרטוט:

מיקום כל הצמתים:

תנאי שפה דיריכלה:

תנאי שפה נוימן:

סעיף ג’

דרגות החופש שאלמנט זה משפיע עליהן הן .
עבור המקרה של אלמנט משולש, אנו בוחרים את פונקציות הבסיס:

ואז מטריצת הקשיחות האלמנטרית היא:

כאשר:

כדי לחשב את נשים לב ש:

כך ש:

לכן:

נוכל כבר לחשב את:

נציב ב-(E2.1) ונבחר נקודת אינטגרציה אחת כך ש:

נקבל:

נחשב כעת את וקטור העומס. נתחיל ממטריצת המסה:

ולכן:

כאשר הם ערכי בצמתים המתאימים. לסיכום:

סעיף ד’

לפי הטבלה מסעיף ב’:

שאלה 3

סעיף א’

פשוט חישוב גודל רשת אופטימלי.

סעיף ב’

מתואר באינטגרציית גאוס.

סעיף ג’

בשלב הזה אני כבר מעתיק את הפתרון הרשמי כי למה לא:

עבור אלמנטים חד-ממדיים, תמיד יש צומת משותף אחד בין האלמנטים, ללא תלות בסדר האלמנט. רוחב פס המטריצה הינו הצר ביותר האפשרי (מטריצה תלת-אלכסונית עבור אלמנט ליניארי, מטריצה -אלכסונית עבור קוודרטי, וכן הלאה). עבור אלמנטים דו-ממדיים מרובעים, קיימות שתי אפשרויות: אם האלמנטים חולקים פינה ואינם חולקים צלע – במקרה כזה יהיה צומת משותף אחד ללא תלות בסדר האלמנט. אם האלמנטים חולקים צלע, אז עבור מרובע בי-ליניארי ( צמתים) נקבל צמתים משותפים, ועבור מרובע בי-קוודרטי או מרובע “סרנדיפיטי” נקבל צמתים משותפים. מבחינת רוחב הפס, לא ניתן להגיד ד בר בצורה חד משמעית, מפני שהדבר תלוי חזק במספור הגלובלי של הצמתים.

סעיף ד’

פתרון רשמי:

טטרהדר הינו פירמידה בעלת בסיסים משולשים, כלומר פאות, צלעות, ו- קודקודים. בטטרהדר ליניארי יהיה צומת בכל קודקוד, צמתים בסה”כ. עבור בעיה סקלרית (דרגת חופש אחת בכל צומת( האלמנט יקבל מטריצה ועבור בעיה וקוטרית ( דרגות חופש בכל צומת(. בטטרהדר קוודרטי יהיה צומת בכל אחד מהקודקודים, וצומת במרכז כל אחת מהצלעות, צמתים בסה”כ. לכן עבור בעיה סקלרית תתקבל מטריצה ועבור בעיה וקוטרית .