FEM1_005 בעיות תלויות בזמן

מבוא

כעת נעסוק בבעיות תלויות בזמן דרך משוואות האלסטודינמיקה עבור עיוותים אינפיניטסימליים:

צעידה בזמן כללית

כדי להמחיש את תהליך הצעידה בזמן, נתחיל עם הדינמיקה של מסה נקודתית בודדת תחת השפעת כוח . משוואת התנועה נתונה על ידי חוק שני של ניוטון:

כאשר הוא הכוח הכולל המופעל על החלקיק. נפתח את המהירות בטור טיילור סביב , כאשר , עבור , ונקבל:

ועבור , נקבל:

חיסור שני הביטויים נותן:

כאשר כאשר , אחרת . לכן, הצבה לתוך משוואה נותנת:

נשים לב שסכום משוקלל של משוואות ו- נותן:

ביטוי זה יהיה שימושי בהמשך. כעת נפתח את מיקום המסה בטור טיילור סביב :

ו-

חיסור שני הביטויים נותן:

הצבת משוואה נותנת:

ושימוש במשוואה נותן:

הביטוי ניתן לטיפול בדרך הבאה:

הערות:

• כאשר , זוהי שיטת אויילר לאחור (Backward Euler) הסתומה, שהיא מאוד יציבה ו- באופן מקומי בזמן.
• כאשר , זוהי שיטת שיטת אויילר לפנים (Forward Euler) המפורשת, שהיא יציבה בתנאים מסוימים ו- באופן מקומי בזמן.
• כאשר , זוהי שיטת “נקודת האמצע” (Midpoint) הסתומה, שהיא יציבה ו- באופן מקומי בזמן.

לסיכום, קיבלנו עבור המהירות¹:

ועבור המיקום:

או במונחים של :

יישום לניסוח הרציף

כעת נתבונן באנלוגיה הרציפה ל-"". הקירוב עבור ההעתקה הדיסקרטית הוא:

כאשר הסימון העליון העליון על למשל, מסמל על בזמן .

בהנחה ואנו מקרבים את הפתרון ע”י , לאחר בניית הצורה החלשה, נישאר עם:

לאחר העברת אגפים:

נרשום את אותה המשוואה לאחר צעד זמן :

נכפיל את במטריצת המסה מצד שמאל:

נציב ב- את ו-:

לאחר העברת אגפים:

נסמן:

ונסכם:

בעיות הולכה בזמן

נפתח כעת הצורה החלשה של בעיות הולכה בזמן. במקרה החד-ממדי, לפי משוואת החום החד-ממדית:

בקורס אנו נכתוב את משוואה זו בצורה טיפה שונה. במידה ושטח החתך או הקבוע הולכה לא אחידים, אז יש לנו:

לאחר טיפה העברת אגפים:

נסמן , ונקבל את הבעיה בצורתה החזקה:

כאשר יכול להיות תלוי ב- כי אולי שטח החתך או הייצור חום הפנימי משתנה.

נקרב את לפי , כאשר נשים לב שהפעם הנעלמים שלנו הם פונקציות תלויות בזמן , לעומת קבועים כמו שהיה לנו בבעיות סטטיקה. בנוסף, גם את נקרב לפי אותם הפונקציות בסיס, .

לפי שיטת גלרקין, ולאחר אינטגרציה בחלקים:

נוכל לרשום באופן מטריצי:

כאשר:

תרגילים

שאלה 1

בהינתן הבעיה התלויה בזמן הבאה (בעיית חום):

פתרו את הבעיה עבור הפרש סופי יחיד באורך ,

• עבור , , .
• עבור , , .
• עבור , .

פתרון עבור :
לפי בעיות הולכה בזמן, הצורה החלשה של הבעיה:

עם אלמנטים, כך ש- , וקירוב לינארי, נקבל:

לפי , כאשר נשים לב ש- ו- :

נחשב כל אחד מהמטריצות:

נשים לב ש- ו- לא תלויים באלמנט. המטריצות הגלובליות יהיו (לאחר הרכבה מהמטריצות המקומיות):

עבור (שיטת נקודת האמצע) ו- , נקבל שהמטריצות ו- הן:

נפעיל את תנאי השפה , כלומר לכל זמן. לכן נישאר רק עם כנעלם, ומערכת המשוואות הופכת להיות:

במצב התחלתי, לפי תנאי ההתחלה:

נחשב את הערך של באמצעות מיפוי לפונקציות הבסיס. במיקום , מתקיים , ולכן .

לאחר צעד אחד של , הפתרון יהיה:

כלומר:

פתרון פילוג הטמפרטורה עבור קפיצות זמן די גסות.

פתרון עבור :
עבור ו- , נחשב מחדש את המטריצות ו-:

בהתחשב בתנאי השפה, נקבל:

ולכן:

לאחר צעד אחד של , הפתרון יהיה:

כלומר:

פתרון פילוג הטמפרטורה עבור קפיצות זמן עדינות.

פתרון עבור :
עבור (שיטת אוילר לפנים) ו- , נקבל שהמטריצות ו- הן:

בהתחשב בתנאי השפה ועבור , נקבל:

ולכן:

לאחר צעד אחד של , הפתרון יהיה:

כלומר:

פתרון פילוג הטמפרטורה עבור שיטת אוילר לאחור. כפי שניתן לראות, היא לא בהכרח יציבה.

TODO: להתייחס לגבול היציבות

הערות שוליים

1. לצורך פישוט הסימון, אנו משמיטים את הביטויים . ↩