FEM1_005 בעיות תלויות בזמן

→ קודם: FEM1_004הבא: FEM1_006 ←

מבוא

כעת נעסוק בבעיות תלויות בזמן דרך משוואות האלסטודינמיקה עבור עיוותים אינפיניטסימליים:

צעידה בזמן כללית

כדי להמחיש את תהליך הצעידה בזמן, נתחיל עם הדינמיקה של מסה נקודתית בודדת תחת השפעת כוח . משוואת התנועה נתונה על ידי חוק שני של ניוטון:

כאשר הוא הכוח הכולל המופעל על החלקיק. נפתח את המהירות בטור טיילור סביב , כאשר , עבור , ונקבל:

ועבור , נקבל:

חיסור שני הביטויים נותן:

כאשר כאשר , אחרת . לכן, הצבה לתוך משוואה (9.2) נותנת:

נשים לב שסכום משוקלל של משוואות (ZT9.3) ו-(ZT9.4) נותן:

ביטוי זה יהיה שימושי בהמשך. כעת נפתח את מיקום המסה בטור טיילור סביב :

ו-

חיסור שני הביטויים נותן:

הצבת משוואה (ZT9.7) נותנת:

ושימוש במשוואה (ZT9.6) נותן:

הביטוי ניתן לטיפול בדרך הבאה:

הערות:

• כאשר , זוהי שיטת אויילר לאחור (Backward Euler) הסתומה, שהיא מאוד יציבה ו- באופן מקומי בזמן.
• כאשר , זוהי שיטת שיטת אויילר לפנים (Forward Euler) המפורשת, שהיא יציבה בתנאים מסוימים ו- באופן מקומי בזמן.
• כאשר , זוהי שיטת “נקודת האמצע” (Midpoint) הסתומה, שהיא יציבה ו- באופן מקומי בזמן.

לסיכום, קיבלנו עבור המהירות¹:

ועבור המיקום:

או במונחים של :

יישום לנוסח הרציף

כעת נתבונן באנלוגיה הרציפה ל-"". הקירוב עבור ההעתקה הדיסקרטית הוא:

כאשר הסימון העליון העליון על למשל, מסמל על בזמן .

בהנחה ואנו מקרבים את הפתרון ע”י , לאחר בניית הצורה החלשה, נישאר עם:

לאחר העברת אגפים:

נרשום את אותה המשוואה לאחר צעד זמן :

נכפיל את (ZT9.24) במטריצת המסה מצד שמאל:

נציב ב-(5.3) את (5.1) ו-(5.2):

לאחר העברת אגפים:

נסמן:

ונסכם:

יציבות בזמן

כפי שהוצג בקטע הקודם, שיטת אוילר לפנים לא תמיד יציבה. כלומר, אם נבחר גדול מדי, בכל צעד אנו עלולים לצבור עוד ועוד שגיאה. לא ניכנס לפיתוח הקריטריון ליציבות, אבל בקורס הוא מוצג בצורה הפשוטה של הדרישה:

כאשר הם הע”ע של .

דרך יותר שיטתית המפורטת ב-(Surana & Reddy, n.d.) שיותר נוח לממש אותה ב-MATLAB היא לחשב את הע”ע המקסימלי של , שנסמנו , ואז ה- הקריטי הוא:

בעיות הולכה בזמן

נפתח כעת הצורה החלשה של בעיות הולכה בזמן. במקרה החד-ממדי, לפי משוואת החום החד-ממדית:

בקורס אנו נכתוב את משוואה זו בצורה טיפה שונה. במידה ושטח החתך או הקבוע הולכה לא אחידים, אז יש לנו את הגרסא היותר כללית:

לאחר טיפה העברת אגפים:

נסמן , ונקבל את הבעיה בצורתה החזקה:

כאשר יכול להיות תלוי ב- כי אולי שטח החתך או הייצור חום הפנימי משתנה.

נקרב את לפי , כאשר נשים לב שהפעם הנעלמים שלנו הם פונקציות תלויות בזמן , לעומת קבועים כמו שהיה לנו בבעיות סטטיקה. בנוסף, גם את נקרב לפי אותם הפונקציות בסיס, .

לפי שיטת גלרקין, ולאחר אינטגרציה בחלקים:

נוכל לרשום באופן מטריצי:

כאשר:

תרגילים

שאלה 1

בהינתן הבעיה התלויה בזמן הבאה (בעיית חום):

פתרו את הבעיה עבור הפרש סופי יחיד באורך ,

• עבור , , .
• עבור , , .
• עבור , .

פתרון עבור :
לפי בעיות הולכה בזמן, הצורה החלשה של הבעיה:

עם אלמנטים, כך ש- , וקירוב לינארי, נקבל:

לפי (5.8), כאשר נשים לב ש- ו- :

נחשב כל אחד מהמטריצות:

נשים לב ש- ו- לא תלויים באלמנט. המטריצות הגלובליות יהיו (לאחר הרכבה מהמטריצות המקומיות):

עבור (שיטת נקודת האמצע) ו- , נקבל שהמטריצות ו- הן:

נפעיל את תנאי השפה , כלומר לכל זמן. לכן נישאר רק עם כנעלם, ומערכת המשוואות (E5.1) הופכת להיות:

במצב התחלתי, לפי תנאי ההתחלה:

נחשב את הערך של באמצעות מיפוי לפונקציות הבסיס. במיקום , מתקיים , ולכן .

לאחר צעד אחד של , הפתרון יהיה:

כלומר:

פתרון פילוג הטמפרטורה עבור קפיצות זמן די גסות.

פתרון עבור :
עבור ו- , נחשב מחדש את המטריצות ו-:

בהתחשב בתנאי השפה, נקבל:

ולכן:

לאחר צעד אחד של , הפתרון יהיה:

כלומר:

פתרון פילוג הטמפרטורה עבור קפיצות זמן עדינות.

פתרון עבור :
עבור (שיטת אוילר לפנים) ו- , נקבל שהמטריצות ו- הן:

בהתחשב בתנאי השפה ועבור , נקבל:

ולכן:

לאחר צעד אחד של , הפתרון יהיה:

כלומר:

פתרון פילוג הטמפרטורה עבור שיטת אוילר לאחור. כפי שניתן לראות, היא לא בהכרח יציבה.

נוכל למצוא קריטריון ליציבות בזמן של הפתרון בעזרת המטריצה - נדרוש שכל הערכים העצמיים שלה מבטיחים התכנסות של הפתרון. בגדול, מה שזה אומר, זה שגודל כל ע”ע (שיכול להיות מרוכב) מקיים .

עבור המקרה של עם שני אלמנטים, לאחר התחשבות בשני תנאי שפה, אנו מקבלים:

כלומר, יש לנו מקרה פשוט שהמטריצה שלנו היא ערך יחיד. הע”ע שלנו הוא פשוט . נבדוק מתי הוא קטן מיחידה:

כך שעבור שני אלמנטים, . עבור אלמנטים, נקבל

כלומר, ככל שיש יותר אלמנטים (דיסקרטיזציה עדינה יותר במרחב), קריטריון היציבות נעשה מחמיר יותר, ונדרש לבחור קטן יותר בהתאם. זהו ביטוי לתופעה כללית - כאשר מדייקים יותר במרחב, נדרש לדייק יותר גם בזמן כדי לשמור על יציבות נומרית של הפתרון.

השוואה בין צעידה זמן גדולה מהערך הקריטי ליציבות לצעידת זמן קטנה יותר מהערך הקריטי ליציבות.

הערות שוליים

1. לצורך פישוט הסימון, אנו משמיטים את הביטויים . ↩

→ קודם: FEM1_004הבא: FEM1_006 ←