תרגיל בית 1

קורס	אלמנטים סופיים לאנליזה הנדסית
מספר קורס	00350022

	סטודנט א’
שם	עידו פנג בנטוב
ת”ז	CLASSIFIED
דואר אלקטרוני	CLASSIFIED

---

---

שאלה 1

נביט בפונקציה:

סעיף א’

אנו יודעים שסביב , הטור טיילור של הפונקציות הבסיסיות הוא:

לכן נוכל לרשום:

אם ניקח רק את שלושת הביטויים הראשונים:

סעיף ב’

נדרש למצוא קירוב אינטרפולציה של בקטע בצורה:

כאשר הוא וקטור שורה של פולינומי לגראנז’, הוא וקטור עמודה עם ערכי הפונקציה בנקודות מרוחקות באופן שווה, ו- הוא אורך הקטע.

כדי להגיע לשגיאת חיתוך מסדר , נדרש לקבוע כמה נקודות אינטרפולציה דרושות.

באופן כללי, עבור אינטרפולציית לגראנז’ עם נקודות, השגיאה היא מסדר , כאשר הוא המרחק בין הנקודות. מכיוון שאנו רוצים , אנו צריכים לפחות נקודות אינטרפולציה.

לכן, האורך של הווקטורים ו- צריך להיות . נשתמש בנקודות מרוחקות באופן שווה בקטע :

---

---

פולינומי לגראנז’ מוגדרים כך:

כאשר ו- הן הנקודות שהגדרנו לעיל. נחשב כל אחד מהפולינומים:

אם נפתח כל אחד מהפולינומים, נקבל:

לפי הגדרת הקרוב, , הם ערכי הפונקציה בנקודות הדגימה:

סעיף ג’

כתבנו קוד MATLAB שמחשב את האינטרפולציה ומשווה אותה לפונקציה המקורית. הקוד נמצא ב-GitHub.

השוואת הפונקציה המקורית והקרוב שלה.

הקוד מחשב את ערכי הפונקציה בנקודות האינטרפולציה, ואז משתמש בפולינומי לגראנז’ כדי לחשב את הקירוב בכל נקודה ב- ולהשוות אותו לפונקציה המקורית.

התוצאות מראות שאינטרפולציה עם נקודות אכן נותנת קירוב טוב מאוד לפונקציה המקורית, עם שגיאה מקסימלית בסדר גודל שמתאים ל-, כפי שצפינו מהתאוריה.

Maximum interpolation error: 1.80e-04
Expected error order: O(h^4) = 7.72e-04

---

---

שאלה 2

הפונקציה המשלימה לפונקציית השגיאה מוגדרת באופן הבא:

נדרש לכתוב פונקציה שמקבלת ומחזירה , ולהשתמש בה כדי לצייר גרף של בקטע . נשתמש בשיטת אינטגרציית גאוס כדי לחשב את האינטגרל.

התמרת האינטגרל מקטע אינסופי לקטע סופי:
האינטגרל שאנו מחשבים הוא מ- עד אינסוף:

כדי לחשב אותו עם שיטת גאוס-לז’נדר, צריך להמיר אותו לאינטגרל על קטע סופי. נשתמש בהחלפת המשתנים:

שממפה את התחום לתחום . הנגזרת של ההחלפה היא:

ולכן האינטגרל הופך להיות:

---

---

שיטת אינטגרציית גאוס:
באינטגרציית גאוס, האינטגרל מקורב כסכום משוקלל של ערכי הפונקציה בנקודות מסוימות:

עבור (נקודת אינטגרציה אחת), יש לנו משקל ונקודה על הקטע :

• נקודה:
• משקל:

עבור (שתי נקודות אינטגרציה) על הקטע :

• נקודות:
• משקלים:

פונקציית השגיאה לעומת קרובים שלה לפי אינטגרציית גאוס.

קוד לחישוב פונקציית השגיאה המשלימה נמצא ב-GitHub.