תרגיל בית 3

קורס	אלמנטים סופיים לאנליזה הנדסית
מספר קורס	00350022

	סטודנט א’
שם	עידו פנג בנטוב
ת”ז	CLASSIFIED
דואר אלקטרוני	CLASSIFIED

---

---

בעיה 1

שאלה 1

נתונה הבעיה:

כאשר:

לפי בעיות הולכה בזמן, לאחר טיפה העברת אגפים של (HW3.1):

נכפיל בפונקציית בוחן :

נבצע אינטגרציה על כל התחום:

מאחר ויש לנו תנאי שפה מסוג דיריכלה בשתי הקצוות, מתקיים , כך ש:

נקרב את לפי , כאשר נשים לב שהנעלמים שלנו הם פונקציות תלויות בזמן , לעומת קבועים כמו שהיה לנו בבעיות סטטיקה. גם את נקרב לפי אותם פונקציות בסיס . לכן:

הפרמטר נבחר שרירותית, ולכן נוכל לקבוע:

נוכל לרשום באופן מטריצי:

כאשר:

נקרב את האינטגרציה ע”י פונקציות בסיס לינאריות, כאשר המיפוי שלנו לתחום האינטגרציה של אינטגרציית גאוס יהיה:

נרצה למצוא את , כלומר, את עבור אלמנט מסוים. לפי משוואה (ZT3.26):

כאשר . נפרק את התחום לארבעה אלמנטים שגבולותיהם נקבעים לפי . כלומר:

לחישובים בהמשך, נצטרך לחשב עוד ערכים; היעקוביאן:

הנגזרת לפי :

נשים לב ש:

לפי (HW3.4):

נקבל, באופן מטריצי:

באותו אופן על מטריצת המסה, מ- (HW3.3):

נבצע אינטגרציית גאוס בשתי נקודות. עבור התחום , נקודות הגאוס והמשקלים הם:

לאחר הצבה נקבל:

שאלה 2

כמו ביישום לנוסח הרציף:
הקירוב עבור ההעתקה הדיסקרטית הוא:

כאשר .

בסעיף קודם קיבלנו מערכת משוואות מהצורה:

לאחר העברת אגפים:

נרשום את אותה המשוואה לאחר צעד זמן :

נכפיל את (HW3.5) במטריצת המסה מצד שמאל:

נציב ב-(HW3.8) את (HW3.6) ו-(HW3.7):

לאחר העברת אגפים:

נסמן:

ונסכם:

שאלה 3

ראינו כבר כי:

עבור כל אלמנט (נזכור כי ו- תלויים באלמנט), אנו מקבלים:

לכן המטריצות הגלובליות:

מאחר ויש לנו שני תנאי דיריכלה בשפות, אנחנו כבר יודעים ש- וגם . לפיכך, אכפת לנו רק מהמטריצות הפנימיות:

פתרון עבור ו- (Backward Euler):
נחשב את המטריצות ו-:

התנאי התחלה:

פתרון ב- :

נקבל:

פתרון ב- :

נקבל:

פתרון עבור ו- (Crank-Nicolson):
נחשב את המטריצות ו-:

פתרון ב- :

נקבל:

פתרון ב- :

נקבל:

פתרון עבור ו- (Forward Euler):

עבור 4 אלמנטים, צעד הזמן הקריטי הוא (חושב נומרית) נבחר כדי להבטיח יציבות.

נחשב את המטריצות ו-:

פתרון ב- :

פתרון ב- :

שאלה 4 ו-5

איור HW3.1: פתרון מצב מתמיד של בעיה (HW3.1) בארבעה אלמנטים.

שאלה 6

איור HW3.2: התפתחות בזמן של הפתרון עבור שיטות שונות עם אלמנטים.

שאלה 7

נמצא כי צעד הזמן הקריטי הוא:

איור HW3.3: ניתוח יציבות עבור Forward Euler במקרה יציב ולא יציב.