SLD2_E2015SA 2015 אביב מועד א

שאלה 1

סעיף 1

לפי מיכל לחץ גלילי, המאמץ האופקי בגליל נתון ע”י:

בנקודה , מאמץ זה הוא למעשה , ונתון כי . נציב גם שאר הנתונים ונקבל:

סעיף 2

באותו אופן כמו בסעיף קודם, מאמץ הגזירה בגליל נתון ע”י

במקרה שלנו, , החתך דק דופן כך ש- , ונתון גם כי ב- מתקיים , שזה אותו הדבר כמו בנקודה זו. לכן:

ולכן הגודל:

סעיף 3

בגליל דק דופן תחת המאמצים הנתונים לא מתפתח מאמץ , ולכן ב- לא מתפתח מאמץ .

סעיף 4

מסעיפים קודמים נסיק שטנזור המאמצים שלנו הוא מהצורה:

קיבלנו למעשה טנזור דו ממדי. לפי נוסחאות דו-ממד למציאת מאמץ מקסימלי:

לכן:

סעיף 5

לפי מאמץ גזירה מקסימלי בתלת ממד (לא נשכח שהבעיה לא באמת מישורית!)

כאשר , ו- . נקבל:

סעיף 6

לפי קריטריון טרסקה:

בנוסף, ניתן לראות שנקבל מאמץ גזירה מקסימלי עבור עובי דופן מינימלי. במקרה שלנו, עם העומסים הנתונים, טנזור המאמצים ייראה מהצורה:

נרצה למצוא את המאמצים המקסימליים כמו בסעיפים קודמים:

נציב את הנתונים (חוץ מהנתון עבור ):

כאשר תתרחש כניעה, נקבל את הגבול שלנו לעובי הדופן המינימלי. לכן נניח שהתרחשה כניעה, עם מקדם ביטחון :

סעיף 7

נרצה למצוא את העיבור של סיב חומרי שהיה בכיוון המשיקי. כלומר, נרצה למצוא את . לפי חוק הוק המוכלל:

נציב את כל הנתונים ונקבל שהעיבור:

כלומר, כל קשת באורך התארכה לאורך . לכן, ההיקף החדש הוא:

כאשר הוא ההיקף הקודם, והוא (מהיקף מעגל) פשוט . אנו רוצים למצוא את ההפרש, ולכן:

סעיף 8

הזווית בין מד העיבור ו- שקולה במערכת הצירים שלנו לזווית בין סיבים שהיו בכיוונים ו-. כלומר, עלינו למצוא את , וממנו לחלץ את זווית הגזירה שהיא בעצמה היא הקטנת הזווית. לפי חוק הוק הכללי:

ולכן הגדלת הזווית (שהיא הנגדית להקטנת הזווית):

סעיף 9

הכיוון של מד העיבור הוא:

ולכן קריאת מד העיבור בכיוונו תהיה:

כמו בסעיף קודם, במערכת צירים הגלילית, בנקודה :

לפי חוק הוק המוכלל:

ולכן:

סעיף 10

השינוי שטח היחסי נתון ע”י:

נציב נתונים ונקבל:

שאלה 2

סעיף 11

ראשית נשים לב שאין ציר סימטריה שמתלכד עם אחד מהצירים שלנו ולכן . נחשב את של כל משולש בנפרד, כאשר נשים לב שהדופן לא תורמת ל- כי לה כן יש ציר סימטריה שמתלכד עם אחד מהצירים שלנו, ומרכז הכובד שלו כבר במרכז הכובד של החתך.

משולש ימין, ומרכזי הכובד של כל אחד מחלקיו.

עבור חלק מתקיים:

לאחר שטיינר:

עבור חלק , במערכת הראשית שלו:

נסובב ב- עם כיוון השעון (לפי סיבוב טנזור בדו-ממד:

נזיז לפי שטיינר למרכז הכובד של החתך:

נסכום לפי סופרפוזיציה, כאשר נשים לב שגם המשולש השמאלי בעל אותו ה-:

סעיף 12

נרצה למצוא את מצב העומסים סמוך לריתום.

דג”ח חיצוני למציאת הריאקציות.

ממבט זריז ושקול כוחות:

נעבור כעת לעומסים הפנימיים.

חתך חיובי סמוך לריתום.

משקול כוחות ומומנטים:

המאמץ נורמלי בכפיפה משופעת (אנחנו לא במערכת ראשית!):

נציב את ה- הנתון, ואת המיקום של , שהוא ונקבל כי:

ולכן:

סעיף 13

המאמץ גזירה (שוב, אנחנו לא במערכת ראשית):

נמצא את ה--ים:

התת חתך ומרכז הכובד שלו.

נציב הכל בביטוי ל- ונקבל:

ולכן:

סעיף 14

מהדג”ח בסעיף הקודם, והעובדה שיצא לנו שלילי, נסיק כי כיוון מאמץ הגזירה הוא מ- ל-.

סעיף 15

נקבל את גודל מאמץ הגזירה המקסימלי בנקודה - כאשר מתקדמים לאורך , קצב גדילת השטח של התת-חתך יותר משמעותי מאשר קיצור המרחק של מרכז הכובד של התת-חתך ממרכז הכובד של החתך.

סעיף 16

נמצא את המערכת הראשית של טנזור האינרציה:

נתון כי פועל כך שהשקיעה המתקבלת היא מינימלית. לכן, הוא יפעל בכיוון הראשי , בו הקורה, לפי הגאומטרייה שלה, תתנגד הכי הרבה.
מומנט הכפיפה הפנימי בכיוון הניצב ל- ו-, במרחק מהריתום:

לפי משפט השני של קסטיליאנו:

ולכן:

סעיף 17

אם נסובב את ב-, הוא עדיין יפעל באחד מהצירים של המערכת הראשית. כלומר, , כך שהפעלת הכוח תגרום לשקיעה אך ורק בכיווונו. בנוסף, נקבל את השקיעה המקסימאלית, כי רכיב טנזור האינרציה המתאים לכוח החדש הוא , שהוא הרכיב המינימלי.

סעיף 18

בין שני צידי הסמך מופעל הכוח שמפעיל הסמך עצמו. כוח זה לא אפסי, ולכן תורם לכוח הגזירה הפנימי בקורה. לפיכך, הוא גורם לאי רציפות בפונקציה , שהיא פרופורציונלית ל- לפי קשרים דיפרנציאליים לשקיעה.

שאלה 3

סעיף 19

המשמעות של הוא היחס בין הכוח לתזוזה ב-, או ההפך. בנוסף, היחס בין הכוח לתזוזה הוא לינארי, כך שאם הופכים את כיוון הכוח, נקבל תזוזה בכיוון ההפוך. לכן:

סעיף 20

נרצה לדעת את היחס בין התזוזה בכיוון לכוח (כאשר ).
נמצא את המומנט הפנימי בקורה:

חתך שלילי בזווית מ-.

לפי שקול מומנטים סביב החתך:

לפי המשפט השני של קסטיליאנו:

לכן:

ולכן:

סעיף 21

נרצה למצוא את העומס שמופעל על הציר . נשים לב שהצירים ב- ו- יכולים להפעיל רק כוחות במישור .

דג”ח על הגלגל הקשיח.

כיוון שהגלגל קשיח, נסיק כי הציר יכל לזוז רק על שפת הגלגל, ולכן לא יכל לעלות למעלה. לכן, לא יפעל בכיוון החיובי של ציר . כלומר, .

בנוסף, בהנחת זוויות קטנות, שוב כיוון שהגלגל קשיח, בנקודה התזוזה תהיה אופקית בלבד כי עבור זווית קטנה התזוזה האנכית היא אפסית - למעשה התזוזה היא פשוט אופקית לנקודה .

סעיף 22

האנרגיה האלסטית בקורה העליונה נתונה ע”י:

אנו יודעים שהתזוזה אופקית בלבד, ולכן לפי המשפט השני של קסטיליאנו:

ולכן:

סעיף 23

משקול מומנטים סביב מרכז הגלגל:

בנוסף, משקול כוחות בכיוון אנו יודעים ש- ולכן:

לכן:

מסעיף קודם:

נתונה לנו כבר האנרגיה האלסטית האגורה בשתי הקורות:

לפי המשפט השני של קסטיליאנו:

ולכן:

נציב ונקבל:

נציב שוב ונקבל:

סעיף 24

לא בחומר.