SLD2_E2016WB 2016 חורף מועד ב

שאלה 1

סעיף 1

נציב את הנקודות בביטוי הנתון:

באותו אופן עבור שאר הנקודות נקבל:

לפיכך, לא סימטרית.

סעיף 2

הביטוי מסעיף קודם תקף לכל נקודה בגוף:

נחסר בין שתי המשוואות כדי לקבל:

ולכן .

סעיף 3

שדה ההזזה שלנו:

ולכן טנזור גרדיאנט ההזזה:

לפי הגדרת טנזור העיבור נקבל:

ולכן:

סעיף 4

הרכיב מתאר את הסיבוב של סיב חומרי שהיה בכיוון ל-, ולכן:

סעיף 5

נרצה למצוא את הכיוון של :

לאחר נורמליזציה:

לכן רכיב העיבור בכיוון זה:

ולכן:

סעיף 6

הרכיב הוא מחצית הקטנת הזווית בין ו-. לכן, שינוי הגודל בזווית נתון ע”י:

סעיף 7

נתון כי ו- ניצבים אחד לשני. לכן, לפי שינוי הזווית בין שני סיבים ניצבים, מחצית הקטנת הזווית נתונה ע”י:

לכן הזווית קטנה ב:

סעיף 8

שינוי שטח יחסי נתון ע”י:

סעיף 9

נתון:

לפי חוק הוק המוכלל:

נציב נתונים ונקבל:

שאלה 2

סעיף 10

מבחינת דג”ח חיצוני, לא פועלים שום כוחות חיצוניים על המבנה, ולכן לא פועלים ריאקציות בריתום.

סעיף 11

נביט בכוחות הפנימיים המתפתחים בקורה לאורכה:

חתכים שליליים לאורך הקורה .

ניתן לראות מהדג”חים שכוח הגזירה לא רציף לאורך הקורה, אבל מומנט הכפיפה יישאר רציף כי אין אף מומנט טהור שפועל על . לפיכך, לפי קשרים דיפרנציאליים לשקיעה, רציף, ו- לא רציף.

סעיף 12

הגזירה לפי תניב לנו (לפי המשפט השני של קסטיליאנו) את התזוזה של ועוד התזוזה של . במילים אחרות, את התקצרות . נשים לב שנקבל את התזוזה, ולא את גודל התזוזה, כך שהתזוזה של או עדיין יכולה להיות שלילית.

סעיף 13

חתך חיובי סמוך לנקודה .

לא פועלים ריאקציות בריתום, ולכן בקטע לא מתפתחים עומסים פנימיים. לפיכך, אין שקיעה בנקודה .

סעיף 14

חתך שלילי ב- וחתך חיובי ב- .

מהדג”ח הזריז, מהעובדה ש- חיובי בכיוון המשורטט, נסיק לפי שיקולי שיווי משקל וחוק יד ימין ש- שלילי ב- וחיובי ב- :

המאמץ נורמלי בכפיפה משופעת נתון ע”י:

אנו יודעים שהרכיב תמיד חיובי, ו- שלילי כי אנו על הפאה העליונה. לפיכך:

סעיף 15

נפעל בשיטות אנרגיה. לפי משפט השני של קסטיליאנו, עבור כוח מדומה הפועל ב- (כלפי מטה, בכיוון ) מתקיים:

כאשר הוא האנרגיה האלסטית האגורה בקורה.

הוספת כוח מדומה ב-.

העומס הדומיננטי היחיד שמתפתח לאורך הקורה הוא מומנט הכפיפה . נשים לב שבקטע לא מתפתח מומנט, ובקטעים ו- המומנט לא תלוי בכוח המדומה .

נחשב את המומנט ב- :

חתך חיובי ב- .

ב- :

נציב בביטוי עבור :

במקרה שלנו, , ולכן:

ידוע כי החתך מלבני, ולפי המידות הנתונות בשרטוט, נוכל להסיק כי:

כלומר:

בנוסף, ניתן לראות ש:

נתיב בביטוי עבור :

ולכן גודל השקיעה:

סעיף 16

רק כאשר גמיש ישנה הזזה אופקית ב-.

חתך שלילי ב-, סמוך ל-.

מטבלת שקיעות מקרה :

נציב נתונים ונקבל:

סעיף 17

מסעיפים קודמים, מומנט הכפיפה ב-:

בנוסף, הכוח הנורמלי (מדג”ח פשוט):

לפי מאמץ נורמלי בכפיפה משופעת:

נציב נתונים, ונשים לב כי הציר הניטראלי הוא כאשר :

סעיף 18

אמנם נדמה כאילו אנו יכולים פשוט לבצע את הדג”ח הבא

דג”ח בו אנו מניחים ש- פועל בכיוון הכבל.

ואז פשוט משקול כוחות להסיק ש:

אבל זה לא נכון! לא מדובר כאן ב-TFM! דג”ח יותר מדויק הוא מהצורה:

דג”ח יותר מדויק.

וכעת יותר מסובך למצוא את . נשתמש באילוצי תזוזות. מאחר ורק - גמישים, והם מחוברים בינהם ע”י כבל קשיח לחלוטין, נוכל להסיק ש- .

מבחינת כוחות שפועלים בנקודות אלו, ניתן לראות ש:

לפי טבלת שקיעות מקרה :

נשווה:

סעיף 19

כעת, כאשר ו- והכבלים קשיחים לחלוטין, העומסים עליהם לא משפיעים על ההזזות במבנה.
נמצא את העומסים הפועלים ב-:

חתך שלילי סמוך לנקודה , משמאל.

משקול כוחות זריז:

ולכן הדג”ח הנגדי:

חתך חיובי סמוך לנקודה , משמאל.

לפי טבלת שקיעות מקרה ו-:

ולכן:

סעיף 20

מטבלת שקיעות מקרה :

ולכן:

שאלה 3

סעיף 21

במערכת צירים זו ציר מתלכד עם ציר סימטריה במשולש התחתון (כאשר אנו במרכז הכובד שלו). לכן, נהיה במערכת ראשית שלו, ויתקיים:

סעיף 22

נזיז לפי שטיינר ממרכז הכובד של המשולש התחתון למרכז הכובד של כלל החתך.

שטיינר למשולש התחתון.

באותו אופן עבור המשולש העליון, ונקבל:

סעיף 23

ניתן לראות מגאומטריית החתך שנקבל מערכת ראשית של טנזור האינרציה כאשר נסובב למערכת צירים:

מערכת ראשית של החתך.

נחשב את טנזור האינרציה של כל אחד מהחלקים במערכת הראשית שלו, נסובב למערכת הראשית, ונסכום לפי סופרפוזיציה.

עבור חלק , נחשב עבור המשולש העליון:

אין צורך בסיבוב כי אנו כבר במערכת הראשית הרצויה. לפי שטיינר (גובה המשולש הוא ):

כיוון שהחלק חוזר על עצמו פעמיים, למעשה יש לנו:

עבור חלק :

לאחר סיבוב ב- נגד כיוון השעון:

עבור חלק :

לאחר סיבוב ב- עם כיוון השעון:

נסכום את כולם לפי עיקרון הסופרפוזיציה:

ולכן:

סעיף 24

מאמץ הגזירה נתון ע”י (במערכת ראשית):

נשים שכיוון ששינינו את מערכת הצירים שלנו, עלינו גם לשנות את בהתאם. כלומר, כעת:

נחשב את :

תת חתך עד לנקודה הרצויה, והמרחק למרכז הכובד שלו.

בנוסף, במקרה שלנו . לכן:

ולכן הגודל:

סעיף 25

באותו אופן כמו סעיף קודם:

תת חתך עד לנקודה הרצויה, והמרחק למרכז הכובד שלו.

ולכן :

לפיכך:

ולכן:

סעיף 26

בכתיב וקטורי:

בכתיב אינדקסי, כל צד מקיים:

שני הביטויים שקיבלנו שקולים מבחינת הסכימה, ולכן הטענה תמיד נכונה.