פנגייה

SLD2_004 טנזור העיבור

• זמן קריאה: 9 דק'

טנזור העיבור

כמו שאת המונח של מאמץ הרחבנו לטנזור מאמצים, נעשה את אותו הדבר עם העיבור.

נביט בנקודה כללית אינפיטסימלית בחומר כללי, לפני ואחרי דפורמציה:

את ההזזה של נקודה מסוימת נסמן ב-. נשים לב כי בדפורמציה כללית, ישנו המון מידע, כי לא כל נקודה בגוף זזה באותו מרחק וכיוון. את כל האינפורמציה הזאת אנו נוהגים לשים במה שנקרא שדה ההזזה .

הגדרה:

שדה ההזזה (שהוא שדה וקטורי) מתאר את ווקטור ההזזה של נקודה שמיקומה לפני הדפורמציה הוא .

נניח ש- ידוע. נרצה לחשב את העיבור של סיב חומרי מסוים בכיוון מסוים:

כלומר, אנחנו רוצים למצוא את שינוי האורך היחסי בנקודה מסויימת בכיוון מסוים.

הערה:

נביט בפונקציה הבאה:

את הדיפרנציאל שלה אנו נרשום כך:

שדה ההזזה שלנו מורכב משלושה רכיבים, שכל אחד מהם תלוי בשלושה משתנים:

אז הדיפרנציאל של כל אחד משלושת הרכיבים נרשום כך:

הזזות מאוד קטנות

כמו במוצקים 1, נביט בהזזה מאוד קטנה של מוט, כאשר נקודה אחת שלו נמצאת ב-, והצד השני שלו נמצא במרחק ממנו:

אז העיבור שלו:

וקיבלנו לבסוף:

העיבור שקיבלנו הוא שינוי האורך היחסי של סיב (מוט) חומרי שכוונו לפני הדפורמציה . נשים לב שזה מאוד דומה לטנזור המאמץ:

נפתח טיפה יותר את הביטוי שקיבלנו, כאשר נשים לב כי הוא טנזור (מטריצה). לטנזור הזה אנו קוראים טנזור גרדאינט ההזזה:

הגדרה:

טנזור גרדיאנט ההזזה מוגדר כהגרדיאנט של שדה ההזזה :

כל מטריצה (ריבועית) ניתן לפרק למטריצה סימטרית ואנטי סימטרית:

ולכן:

סימנו את שני הביטיים בסוגריים (שהם מטריצות) ב- ו-, אחת סימטרית והשנייה אנטי-סימטרית, ולכן:

נציב בחזרה ב-(1):

נוכיח ש-:

קיבלנו ש:

נציב ב-(2), ונקבל:

מאחר והעיבור הזה תלוי במיקום , נכתוב:

לביטוי אנו קוראים טנזור העיבור.

הגדרה:

טנזור העיבור מוגדר כהמטריצה הסימטרית שמתקבלת מפירוק טנזור גרדיאנט ההזזה:

דוגמה:

עבור שדה ההזזות הבא:

מהו העיבור הקווי (שינוי אורך יחסי) של סיב חומרי שכיוונו ביחס ל- שנמצא בנקודה .
פתרון:

נחשב את גרדיאנט ההזזה:

נציב את הנתונים:

נוכל לחשב את (הפירוק למטריצה סימטרית ואנטי-סימטרית):

ולכן העיבור הוא:

המשמעות הפיזיקלית של רכיבי טנזור העיבור

כדי להבין את המשמעות הפיזיקלית של רכיבי נביט בעיבור עבור . נשים לב שיתקיים:

נסיק כי הוא ההתארכות היחסית של סיב חומרי שכיוונו .
מבחינה גאומטרית:

ניתן לראות כי:

המשמעות של היא:

כלומר, מתאר את הסיבוב של סיב חומרי שכיוונו (המקורי) , לכיוון .
באותו אופן, הוא הסיבוב של סיב חומרי שכיוונו , לכיוון .
לסיכום:

  • כאשר , הוא ההתארכות היחסית של סיב חומרי שכיוונו .
  • כאשר , הוא הסיבוב של סיב חומרי שכיוונו לכיוון .

הערה:

נביט שוב בשני הטנזורים שפיתחנו עד כה:

נשים לב כי ערכי מתארים שינוי אורך יחסי, בעוד מתארים את ההתארכות עצמה. בנוסף, הטנזור סימטרי, והטנזור לא בהכרח סימטרי.

נעבור כעת לערכים מחוץ לאלכסון של טנזור העיבור:

זווית הגזירה

לרוב בדפורמציה, הזווית בין שני סיבים חומריים שהיו ניצבים קטנה. אנו יכולים לחלץ את הזווית הזאת:

לזווית הזאת אנו קוראים זווית הגזירה:

הגדרה:

זווית הגזירה היא הקטנת הזווית בין 2 הסיבים (שהיו ניצבים במקור) שכיוונם (לפני הדפורמציה) היו ו-:

לכן, המשמעות הפיזיקלית של הערכים מחוץ לאלכסון של () היא מחצית הקטנת הזווית בין הסיבים המקבילים ל- ו- לפני הדפורמציה.

המשמעות הפיזיקלית של

נביט בטנזור הגרדיאנט:

לעומת שדה ההזזה (), ב- כבר אין את המידע לגבי ההזזה כגודל קשיח. כלומר, אם רק מזיזים גוף קשיח כלשהו, בלי דפורמציה או סיבוב שלו, נקבל כי .

כאשר מתרחש רק סיבוב כגוף קשיח, ולא שום דפורמציה, אז אף סיב בחומר בכל כיוון לא מתארך. לכן:

אז לפי הגדרת טנזור העיבור:

נציב בהגדרה ל-:

נסיק כי:

  • משמעות הוא סיבוב כגוף קשיח סביב ציר .
  • משמעות הוא סיבוב כגוף קשיח סביב ציר .

טרנספורמציה של טנזור העיבור

כמו בטנזור המאמץ, נוכל לחשב את במערכת , בהינתן במערכת .

שינוי הזווית בין שני סיבים ניצבים

בהינתן שני סיבים חומריים ו- שניצבים אחד לשני, נרצה למצוא מהו שינוי הזווית בין שני הסיבים כתוצאה מהדפורמציה.

נוכל לעשות זאת אם נגדיר מערכת כך ש:

לכן, לפי הגדרת טנזור הטרנספורמציה:

אם נציב ב-(1), נקבל:

קיבלנו נוסחה מהירה למציאת כאשר ו- נתונים וניצבים אחד לשני:

שינוי נפח יחסי

נביט בנקודה חומרית מסוימת לפני ואחרי דפורמציה.

נרצה למצוא את כתוצאה מהדפורמציה.

את השינויים באורכי הצלעות נוכל לרשום כעיבורים:

מחישובים של נפח מקבילון מול נפח תיבה נקבל ש:

אנחנו מקבלים ביטויים של בריבוע, שאותם אנחנו נזניח כי בנקודה אינפטיסימליים הערכים האלו זניחים, ולכן:

תרגיל:
נתון שדה הזזות:

מיקום הנקודה נתון ע”י .

  1. מהו שינוי הנפח היחסי בסביבת הנקודה ?
    פתרון:
    נחשב את טנזור גרדיאנט ההזזה: נחלץ ממנו את : אז בנקודה : נוכל להציב בנוסחה לשינוי נפח יחסי:
  2. מהי ההתארכות היחסית של סיב חומרי שכיוונו הנמצא בסביבת ?
    פתרון:
    נציב בנוסחה לחישוב שמאוד דומה לחישוב :
  3. באיזה שיעור הסתובב סיב המקביל ל- לכיוון בסביבת ?
    פתרון:
    נצטרך לחשב את בנקודה : כאשר נשים לב שתשובה זו היא ברדיאנים.
  4. באיזה שיעור הסתובב סיב המקביל ל- לכיוון בסביבת ?
    פתרון:
    כאן כבר נצטרך לבצע טרנספורמציית סיבוב. טנזור הטרנספורמציה, כאשר נגדיר מערכת חדשה כך ש- : טנזור גרדיאנט ההזזה החדש: נשים לב שמבקשים מאיתנו את הסיבוב של שהוא בעצם במערכת החדשה שלנו. ניתן לראות כי הוא מסתובב רק סביב ציר . לכן שיעור ההזזה שלנו הוא פשוט רכיב : מאחר והסימון הוא במינוס, אז הסיב התרחק מ-.
  5. נתונים הסיבים ו-. כמה משתנה הזווית בינהם עקב הדפורמציה?
    פתרון:
    נשים לב כי שני הוקטורים הנתונים ניצבים אחד לשני: ניצור מערכת חדשה , כאשר ו- ( לא משתנה).
    מאחר ואנחנו לא צריכים את כל הערכים של טנזור הטרנספורמציה, נחשב בעזרת כתיב אינדקסי. בנוסף, הסיבוב שלנו הוא בדו-ממד, ולכן נוכל להיעזר בנוסחאות: קיבלנו כי הזווית גדלה ב- רדיאנים (כי מתאר את מחצית הקטנת הזווית).
  6. מהו העיבור הקווי המקסימלי של סיב כלשהו?
    פתרון:
    מאחר ואנחנו נמצאים בעיבור דו-ממדי, נוכל להיעזר בנוסחאות לערכים מקסימליים בדו ממד: ולכן:

תרגיל:
בהינתן טנזור העיבורים , מהו שינוי השטח היחסי של ?

פתרון:
לפני הדפורמציה:

נסמן לאחר הדפורמציה:

נשים לב כי לפי הגדרת העיבור:

אז נחשב:

נזניח את מאחר והם זעירים לעומת . לכן:

עמודים המציינים את העמוד הזה