משוואות לינאריות מסדר ראשון
אלגוריתם: שיטת גורם האינטגרציה
שיטה לפתרון משוואה דיפרנציאלית נקראת שיטת גורם האינטגרציה, שבה נוכל להשתמש כאשר המשוואה מסדר ראשון, לינארית ומנורמלת.
משוואה לינארית מסדר ראשון:
כעת נכפיל את המד”ר בגורם אינטגרציה
נכפול את המשוואה:
כעת, מחוקי נגזרות נוכל לרשום:
ועכשיו כל מה שנותר לעשות הוא לבצע אינטגרציה על שני האגפים:
תרגילים:
- המשוואה:
נכפיל בגורם האינטגרציה:
נכפיל: - המשוואה:
- המשוואה:
- המשוואה:
נגדיר - המשוואה:
אלגוריתם: שיטת וריאציית הפרמטר
- שלב ראשון:
פתרון המשוואה ההומוגנית המתאימה. - שלב שני:
מציאת פתרון פרטי למד”ר הלא הומוגנית ע”י החלפת קבוע האינטגרציה מהשלב הקודם לפונקציה. - שלב שלישי:
סכום הפתרונות של השלבים הקודמים הוא הפתרון הכללי לבעיה. כלומר, הפתרון הכללי הוא:
תרגילים:
- המשוואה:
פתרון:
ננרמל את המד”ר:
החלק ההומוגני:
נשים לב כי כאשר חילקנו ב-
כעת, נציב במד”ר המקורית (הלא הומוגנית):
משוואות פרידות
הגדרה:
משוואה שניתן להפריד בין משתני ה-
וה- שלה בצורה הבאה: נקראת משוואה פרידה.
פתרונה:
הערות:
- לא נשכח לבדוק האם
הוא גם פתרון של המד”ר. - מהעובדה ש-
היא גם פונקציה שתלויה ב- , לפעמים נוח להסתכל על משוואה פרידה כך:
תרגילים:
- המשוואה:
- המשוואה:
- המשוואה:
נתחיל מהתחום
אלגוריתם: החלפת משתנים
- המשוואה:
נסמן - המשוואה:
**פתרון**: נסמן $v=2x+3y$: $$ v'=2+3y'\implies y'=\frac{v'-2}{3} $$ נציב במשוואה: $$ \begin{gather} \frac{v'}{3}-\frac{2}{3}=\frac{1}{\sin v}-\frac{2}{3} \\ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=\frac{3}{\sin v} \\ \sin v\mathrm{d}v=3\mathrm{d}x \end{gather} $$ במקרה זה אין פתרון סינגולרי. $$ \begin{gather} -\cos v=3x+c \\ \cos v=-3x-c \\ v=\arccos (-3x-c) \\ 2x+3y=\arccos (-3x-c) \\ y=\frac{\arccos (-3x-c)-2x}{3} \end{gather} $$