DVI1_E2017SA 2017 אביב מועד א'

שאלה 1

נתון:

סעיף א’

נניח:

נישאר עם המערכת:

נניח פתרון מהצורה:

נשים לב שהמקדם של הוא ולכן :

נניח שמעטפת התנודות קטנה בקצב איטי, כך ש:

נשים לב שכוח הריסון הוא:

לפי שיטת האיזון האנרגטי, העבודה שלו במחזור אחד:

נציב את ו-, ולפי אינטגרלים נפוצים נקבל:

מבחינת האנרגיה הפוטנציאלית, מאחר והאמפליטודה דועכת בקצב איטי, נסיק כי:

משימור אנרגיה מתקיים ולכן:

זוהי משוואה פרידה:

סעיף ב’

נניח כעת:

נישאר כעת עם:

נרשום כעת מערכת עם ריסון שקול לינארי:

העבודה של ריסון שקול זה תהיה (לפי [[DVI1_004 ריסון וקשיחות לא לינארית#תרגיל 1#סעיף ג’|ריסון לא לינארי]]):

נשווה בין עבודה זו לביטוי שקיבלנו ב-, רק שהפעם נצטרך להתייחס לתדירות הכניסה , ולא נוכל להניח פשוט שהוא יתנוד ב- :

נניח כעת פתרון מהצורה:

הערה:

בתרגול הצענו פתרון מהצורה . שתי הצורות זהות.

נציב ב-:

נעלה בריבוע:

סעיף ג’

נניח כעת:

ולכן נישאר עם:

כדי שיהיה מחזורי גבולות מלכתחילה, אנו צריכים שיהיו לנו שני ריסונים שדומיננטיים בסדרי גודל שונים של אמפליטודות. נסדר טיפה את המשוואה כדי להבליט זאת:

לפי , רק הפעם נוסיף גם את העבודה מ-:

כדי שניצור את הבדלי דומיננטיות, נצטרך שהמקדמים יהיו בסימנים הפוכים. מאחר ו- תמיד חיובי, נסיק כי:

סעיף ד’

נדרוש ש- תתאפס:

סעיף ה’

אם , המחזור גבול יציב, כי הריסון שמוציא אנרגיה מהמערכת יהיה ה- , והוא יותר דומיננטי באמפליטודות גבוהות. במקרה של , זה יהיה הפוך.

שאלה 2

סעיף א’

מיקומים:

לכן הנגזרות:

לפי אנרגיה קינטית של חלקיק:

מבחינת אנרגיה פוטנציאלית:

נחשב לגראנז’יאן ונציב במשוואות לגראנז’:

נחשב:

טוב חאלס מפה אני מעתיק מהפתרון של שניר.

נשים לב שאין כוחות הפועלים על מסה ולכן . מבחינת , יש את הכוח החיצוני שפועל ב- ולכן הכוח המוכלל שלו (נשים לב שנתון שהוא ניצב ל-):

נקבל בסוף:

סעיף ב’

נגדיר תדירות טבעית כמקדם של חלקי האורך:

נגדיר גם נרמול בזמן . לכן וגם . נחלק ב-, ב- , וב-:

ניתן למקדמים שמות:

נקבל:

סעיף ג’

ניתן לראות שהנקודת שיווי משקל היא ב- . לכן, לפי הנחת זוויות קטנות:

בלינאריזציה הביטויים מסדר גבוה גם נעלמים, כך שלמשל הביטוי מתאפס. נקבל:

סעיף ד’

נתון כעת ש:

נציב:

בהנחה ו-

הוא גודל מנורמל.

נוכל לרשום את מטריצת המסה והקשיחות:

ווקטור הכוח:

נפתור בעיית ערכים עצמיים כמו ברטט חופשי של מערכות בשתי דרגות חופש. נדרוש פתרון לא טריוויאלי:

עבור כל אחד מהתדירויות נחשב את הוקטור העצמי. כלומר, נפתור את:

עבור כל אחד מהתדירויות זה ייראה מהצורה:

כאשר . מאחר וזה וקטורים עצמיים, נוכל למשל להניח ש- , ואז פשוט להשתמש רק בשורה הראשונה של המערכת משוואות לעיל. נקבל לפי שניר:

סעיף ה’

אפשר לפתור כמו ב[[DVI1_006 מערכות מרובות דרגות חופש#תרגיל 2#סעיף ה’|תרגול עם סכום מודאלי]], או פשוט להציב פתרון כללי עם :

נציב ב-:

נביט במשוואה השנייה ונחלק ב-:

נזכור ש- :

שאלה 3

כמעט זהה לתרגיל מתרגול.