שאלה 1
נתון:
סעיף א’
נניח:
נישאר עם המערכת:
נניח פתרון מהצורה:
נשים לב שהמקדם של
נניח שמעטפת התנודות קטנה בקצב איטי, כך ש:
נשים לב שכוח הריסון הוא:
לפי שיטת האיזון האנרגטי, העבודה שלו במחזור אחד:
נציב את
מבחינת האנרגיה הפוטנציאלית, מאחר והאמפליטודה דועכת בקצב איטי, נסיק כי:
משימור אנרגיה מתקיים
זוהי משוואה פרידה:
סעיף ב’
נניח כעת:
נישאר כעת עם:
נרשום כעת מערכת עם ריסון שקול לינארי:
העבודה של ריסון שקול זה תהיה (לפי ריסון לא לינארי):
נשווה בין עבודה זו לביטוי שקיבלנו ב-(1.2), רק שהפעם נצטרך להתייחס לתדירות הכניסה
נניח כעת פתרון מהצורה:
הערה:
בתרגול הצענו פתרון מהצורה
. שתי הצורות זהות.
נציב ב-(1.4):
נעלה בריבוע:
סעיף ג’
נניח כעת:
ולכן נישאר עם:
כדי שיהיה מחזורי גבולות מלכתחילה, אנו צריכים שיהיו לנו שני ריסונים שדומיננטיים בסדרי גודל שונים של אמפליטודות. נסדר טיפה את המשוואה כדי להבליט זאת:
לפי (1.2), רק הפעם נוסיף גם את העבודה מ-
כדי שניצור את הבדלי דומיננטיות, נצטרך שהמקדמים יהיו בסימנים הפוכים. מאחר ו-
סעיף ד’
נדרוש ש- (1.7) תתאפס:
סעיף ה’
אם
שאלה 2
סעיף א’
מיקומים:
לכן הנגזרות:
מבחינת אנרגיה פוטנציאלית:
נחשב לגראנז’יאן ונציב במשוואות לגראנז’:
נחשב:
הערה:
יש פה טעות, חסר ביטוי בשורה השנייה של
, וזה טעות נגררת ואין לי כוח לתקן.
טוב חאלס מפה אני מעתיק מהפתרון של שניר.
נשים לב שאין כוחות הפועלים על מסה
נקבל בסוף:
סעיף ב’
נגדיר תדירות טבעית כמקדם של
נגדיר גם נרמול בזמן
ניתן למקדמים שמות:
נקבל:
סעיף ג’
ניתן לראות שהנקודת שיווי משקל היא ב-
בלינאריזציה הביטויים מסדר גבוה גם נעלמים, כך שלמשל הביטוי
סעיף ד’
נתון כעת ש:
נציב:
בהנחה ו-
הוא גודל מנורמל.
נוכל לרשום את מטריצת המסה והקשיחות:
ווקטור הכוח:
נפתור בעיית ערכים עצמיים כמו ברטט חופשי של מערכות בשתי דרגות חופש. נדרוש פתרון לא טריוויאלי:
עבור כל אחד מהתדירויות נחשב את הוקטור העצמי. כלומר, נפתור את:
עבור כל אחד מהתדירויות זה ייראה מהצורה:
כאשר
סעיף ה’
אפשר לפתור כמו בתרגול עם סכום מודאלי, או פשוט להציב פתרון כללי עם
נציב ב-(2.2):
נביט במשוואה השנייה ונחלק ב-
נזכור ש-
שאלה 3
כמעט זהה לתרגיל מתרגול.