מבוא

עד כה עסקנו במערכות בדרגת חופש יחידה, המוגדרות כמערכות שהתנהגותן ניתנות לתיאור ע”י קואורדינטה יחידה. בעוד ישנן מערכות המתאימות לתיאור זה, ועוד הרבה ניתנות לקירוב למערכות כאלו, רוב המערכות צריכות מודל יותר מדויק - מערכות מרובות דרגות חופש.
מערכת לא מרוסנת מסדר ראשון הנתונה לרטט חופשי מגיבה ברטט טבעי, כלומר היא תונדת בתדירות הטבעית שלה. לעומת זאת, במערכות מרובות דרגות חופש, הקיום של רטט חופשי לא רק מעיד על תדירות טבעית מסוימת, אלא גם על תצורת תזוזות טבעית (natural displacement configuration) מסוים של מסות המערכת בזמן תנועה. נרחיב עוד בהמשך.
בנוסף, למערכת מרובת דרגות חופש אין רק תדירות טבעית אחת, אלא מספר סופי שלהם. למעשה, למערכת יש מספר תדירויות עצמיות ותצורות טבעיות, מה שנקרא האופני תנועה (natural modes) של מערכת, כמספר הדרגות חופש שלה. כתלות בעירור ההתחלתי, המערכת יכולה לרטוט בכל אחד מהאופנים האלו עצמאית, בגלל תכונה מיוחדת הנקראת אורתוגונליות.

תצורת המערכת

התנהגות מערכת מרובת דרגות חופש הרבה יותר מסובכת מהתנהגות מערכת בדרגת חופש אחת. כדי לנתח את התנהגותה עלינו להציג עקרונות חדשים. אחת מהשאלות היא איך להציג את תגובת המערכת. במקרה של מערכת בדרגת חופש אחת, הצגנו פשוט את כתלות ב-, או את תגובת התדירות שלו בתצורת גרפי בודה. נוכל לפעול באותו אופן עבור מערכות בשתי דרגות חופש, אבל המצב נהיה יותר מסובך כאשר מגדילים את מספר הדרגות חופש.
לכן, עבור מערכות ב- דרגות חופש מייצגים את התגובה ע”י וקטור ממדי:

וקטור זה נקרא הוקטור מצב של המערכת, כאשר בדרך כלל יתאר את המיקום של המסה . כעת, התנועה של מערכת ניתנת לתיאור גאומטרי כעקומה העוקבת אחרי הראש של הוקטור במרחב ממדי, כפי שמוצג באיור הבא:
bookhue

הצגה גאומטרית של התנועה במישור המצב. (Meirovitch, 2001).

הבעיה בייצוג זה שבעוד והיא מעניינת עבור ייצוג כללי של אופן פעולת המערכת, הוא לא מניב שום ערך פרקטי לאפיון המערכת. עוד דרך לייצג את המערכת מובאת לידי ביטוי כאשר נביט למשל במודל של מכונית:
bookhue

מודל של מכונית. (Meirovitch, 2001).

עבור מערכת זו, נוכל לייצג את וקטור המצב שלנו בעזרת איור מהצורה הבאה:
bookhue

תצורת תזוזות של מערכת ב- דרגות חופש בזמן כלשהו. (Meirovitch, 2001).

איור זה מתאר דרך הרבה יותר פרקטית לתיאור וקטור המצב מהאיור הוקטורי הקודם. התבנית הגאומטרית באיור לעיל מתארת את תצורה המערכת בזמן מסוים . תאכלס, אנו יכולים גם לשרטט את ממד הזמן כממד שלישי כדי לקבל איור תלת ממדי, כפי שמוצג באיור הבא, אבל זוהי לא באמת דרך פרקטית כי לרוב תמונות דו ממדיות המייצגות גופים תלת ממדיים יותר מבלבלות מאשר עוזרות:

bookhue

אופן שינוי התצורת תזוזות עם הזמן. (Meirovitch, 2001).

משוואות התנועה של מערכת בשתי דרגות חופש

נציג כעת מספר מערכות בשתי דרגות חופש שונות, נבנה (לא באמת, אין לי כוח להראות את הדרך) את המשוואות תנועה שלהן, ונרשום צורה כללית שלהן שנוכל לאחר מכן לנתח עבור מקרים שונים.

נתחיל ממערכת הכוללת שתי מסות ו- העומדות על חוט במתיחות ונתונות לכוחות חיצוניים ו-:
bookhue

שתי מסות על חוט. (Meirovitch, 2001).

אנו מודדים את התזוזות ו- של ו- בהתאמה מהשיווי משקל ומניחים שהם קטנים, כך שכוח המתיחה לא משנה את התנועה. בספר מראים איך לפתח את משוואות התנועה ניוטונית, ומקבלים:

עוד מערכת מעניינת היא מערכת של לוח הנתמך ע”י שני קפיצים:
bookhue

מודל מפושט של מכונית. (Meirovitch, 2001).

משוואות התנועה של מערכת זו:

עבור מערכת המכילה שתי מסות הנתמכות ע”י קפיצים ומרסנים:
bookhue

מערכת מרוסנת בשתי דרגות חופש עם ריסון אופקי. (Meirovitch, 2001).

משוואות התנועה:

בפתרון בעיות רטט, חייבים בשלב מסוים לעבור לייצוג מטריצי, ולחזור לאלגברה לינארית, כי אי אפשר בלי. את כל המערכות לעיל ניתן לרשום בכללי בצורה:

למשל עבור (ME5.8), מתקיים:

הנקראים מטריצת הריסון ומטריצת הקשיחות בהתאמה. איכשהו תמיד חוזרים למוצקים 1. המטריצה היא:

והיא נקראת מטריצת המסה, לא יודע למה. הוקטור הוא והוא נקרא וקטור הכוח.

רטט חופשי של מערכות לא מרוסנות

בפרק זה אנחנו בעצם מסבירים את ההיגיון מאחורי ניתוח מודלי של מערכת פיזיקליות.

בחקר רטט, יש עניין עצום ב-מערכות משמרות - מערכות שלא פולטות אנרגיה ולא קולטות אנרגיה. המסקנה היא שמערכות משמרות לא נתונות לכוחות מרסנים או כוחות חיצוניים. תחת תנאים אלו, משוואות התנועה של מערכות בשתי דרגות חופש הן:

כאשר הוא וקטור המצב, ו:

משוואה (ME5.21) מייצגת שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות הומוגניות מסדר שני והפתרון שלהן נתון לארבעה תנאי התחלה, .
בחקר הרטט מעניינים אותנו פתרונות מיוחדים בהם כל המערכת נעה באותה התנועה בזמן. אנו קוראים לתנועות כאלו תנועות סינכרוניות. המשמעות של תנועה סינכרונית במקרה של מערכות בשתי דרגות חופש לעיל היא שהקואורדינטות ו- גדלות וקטנות באותה הפרופורציה בזמן, כך שהיחס נשאר קבוע. עוד משמעות היא שבתנועה סינכרונית של שתי מסות, ישנה איזושהי תצורת תזוזות למסות, שתבנית זו לא משתנה בזמן; רק האמפליטודה של התזוזות עלולה להשתנות. תנועה כזאת ניתנת לביטוי כ:

כאשר הוא אמפליטודה תלויה בזמן ו- הוא וקטור קבוע המתאר את תצורת התזוזות של המסות.
מהצבה של (ME5.23) ל-(ME5.21) נקבל:

נכפיל משמאל ב-:

כאשר נשים לב ש- ו- הם סקלרים. נציג את הסימון:

ונקבל:

כאשר נציב את משוואה זו לתוך (ME5.24) נקבל בסוף:

לכן, האמפליטודה התלויה בזמן של תנועה סינכרונית חייבת לקיים את (ME5.27), והתבנית מיקום שלה חייבת לקיים את (ME5.28).

ישנן מספר שאלות הנוגעות לטבע וחשיבות התנועות הסינכרוניות. ראשית, קיימת השאלה לגבי סוג התנועות שהמערכת מבצעת בזמן. שנית, כמה תצורות תזוזה יש למערכת?

התשובה לשאלה הראשונה חבויה במשוואה (ME5.27), שהיא משוואת דיפרנציאלית הומוגנית לינארית. לפי משוואה (ME5.26), הוא היחס בין שני ערכים ממשיים, כך ש- הוא ממשי. נסיק שטבע הפתרון תלוי ב-סימן של . כדי למצוא את הסימן הזה, נשים לב שהמונה במשוואה (ME5.26) פרופורציונלי לאנרגיה הפוטנציאלית, שבשלושת המערכות שהוצגו לעיל, תמיד חיובי. בנוסף, המכנה באותה המשוואה פרופורציונלי לאנרגיה הקינטית, שגם היא תמיד חיובית. לכן, במקרים שהוצגו לעיל, היא חיובית, ואם נציג את הסימון:

כך שנוכל לרשום את (ME5.27) באופן הבא:

נשים לב ש- הוא גם מספר ממשי, שניתן להניח שהוא חיובי. הפתרון של מד”ר זו הוא:

כאשר הוא אמפליטודה קבועה, הוא התדירות של התנועה ההרמונית, ו- הוא הפאזה. כל שלושת גדלים אלו זהים עבור ו-.
הקבועים ו- שונים בטבעם מהקבוע . בעוד ו- תלויים בגורמים חיצוניים, כמו עירור התחלתי, תלוי רק בגורמים פנימיים. נרצה לדעת האם התנועה הסינכרונית יכולה להתרחש בתדירות אחת , או בכמה תדירויות שונות. התשובה לכך טמונה במשוואה (ME5.28), שידועה גם כבעיית ערכים עצמיים אלגברית, או בעיית ערכים אופייניים. הבעיה כוללת מציאת ערכי עבורם למערכת משוואות ההומוגנית, (ME5.28), יש פתרונות לא טריוויאליים.
בכללי, בעיית הערכים העצמיים האלגברית ניתנת לפתירה אך ורק נומרית. היוצא דופן היחיד הוא במקרה של מערכת בשתי דרגות חופש, שבו אנו עוסקים. במקרה זה, המטריצות ו- הן מטריצות , ולבעיית הערכים העצמיים יש פתרון סגור. בסימון לתוך משוואה (ME5.28) נקבל:

משוואות אלו מתארות שתי משוואות הומוגניות עבור ערכים לא ידועים ו-, עם בתפקיד פרמטר. למערכת משוואות (ME5.32) יש פתרון לא טריוויאלי רק אם הדטרמיננטה של המקדמים של ו- היא אפס:

כאשר נקרא הדטרמיננטה האופיינית, או פשוט הפולינום האופייני. נמשיך לפתח:

הפתרונות:

שהם למעשה הערכים העצמיים. ו- הם התדרים העצמיים של המערכת. לכן, תנועה הרמונית סינכרונית יכולה להתרחש בשתי דרכים - אחת בתדירות והשנייה בתדירות .

נציב את התדירויות במשוואה (ME5.31) ונקבל ש:

כעת כשמצאנו שישנם שתי תנועות הרמוניות סינכרוניות, אחת בתדירות והשנייה ב-, נרצה לדעת מהי התצורת תזוזה של המערכת. נסמן:

נציב במשוואה (ME5.32) כדי לקבל:

משוואות (ME5.37) מתארות שתי מערכות משוואות אלגבריות הומוגניות, אחת ל- והשנייה ל- . כיוון ששתי המשוואות הומוגניות, לא נוכל לפתור עבור ו- באופן יחיד, אבל כן נוכל עבור היחס . נקבל:

היחסים ו- קובעים באופן ייחודי את צורת הפרופיל תזוזות שהמערכת נעה בו כאשר היא תונדת בתדרים ו-, בהתאמה. אם ביטוי אחד בכל יחס נקבע לאיזשהו ערך שרירותי, אז הערך של הביטוי השני נקבע אוטומטית. הזוגות שהתקבלו, ו- מצד אחד, ו- ו- מצד שני, ניתנים להצגה כוקטורים:

כאשר ו- נקראים וקטורי מודל, או וקטורים עצמיים.

הערה:

בהמשך נסמן את וקטורים אלו עם () למעלה, כלומר, נסמן אותם כדי להעיד על כך שהם לא מנורמלים לפי מה שנקרא מסה מודלית, שזהו גם כן מושג שנבקר בהמשך. על כן, בעתיד נקרא לוקטורים אלו וקטורי מודל לא מנורמלים , בעוד לאלה שכן ננרמל נקרא פשוט וקטורי מודל .

התדירות הטבעית והוקטור המודלי נחשבים כמה שנקרא אופן ראשון של רטט, ו- ו- נקראים אופן שני של רטט.

נקבל את התנועות הסינכרוניות כאשר נציב לתוך (ME5.23) את (ME5.36) ו- בהתאמה:

שזה תאכלס מה שקיבלנו בניתוח מודלי.
אנו קוראים ל- ו- תנועות טבעיות כי הן מתארות תנודות הרמוניות בתדירויות טבעיות של המערכת, בתצורות מערכת בצורת הוקטורים המודליים. יע-נו הם מתארים את הרטט באופנים הטבעיים. כל אחד מהתנועות הטבעיות ניתנות לעירור עצמאית, כך שבמצב הכללי, הרטט החופשי של מערכת משמרת היא סופרפוזיציה של התנועות הטבעיות:

כאשר האמפליטודות ו- והפאזות ו- מחושבות לפי התזוזות ההתחלתיות ו-, והמהירויות ההתחלתיות .

תגובה לעירורים התחלתיים

משוואה (ME5.41) מתארת את התגובה החופשית למערכות משמרות בשתי דרגות חופש כקומבינציה לינארית של תנועות טבעיות, המוגדרות כמכפלה של וקטורי המודל ו- והפונקציות ההרמוניות ו-, כאשר לפונקציות ההרמוניות תדירויות השוות לתדירויות הטבעיות. בנוסף, הן כוללות את הקבועים ו-, כאשר ו- הן האמפליטודות ו- ו- הן הפאזות. לעומת התדירויות הטבעיות והאופנים הטבעיים, שניתן להתייחס אליהם כגדלים התלויים במאפיינים פנימיים של המערכת, הקבועים ו- תלויים במאפיינים חיצוניים, כמו תנאי התחלה.

כדי לחשב את התגובה לתנאי התחלה, נצטרך למצוא את ערכי הקבועים . כדי לעשות זאת אנו מציגים את הסימון:

כעת כאשר נציב את תנאים אלו במשוואה (ME5.41), נקבל מערכת משוואות אלגבריות, שנוכל לפתור ואז להציב בחזרה ב-(ME5.41). לטובת תהליך זה, נוח לנו להגדיר את המטריצה המודלית :

טרנספורמציית קואורדינטות

משוואות התנועה של מערכת בשתי דרגות חופש משמרת הנתונה ע”י משוואות (ME5.21) מאופיינות בעובדה שמטריצת המסה שלהן אלכסונית, שזה די נפוץ למערכות דינמיות שהקואורדינטות שלהן מתארות את התזוזות של המסות. לעומת זאת, מטריצת הקשיחות לא אלכסונית. אם היא הייתה אלכסונית, שתי משוואות התנועה היו בלתי תלויות, שזהו מקרה אידיאלי כי אז קל יותר לפתור ולהבין אותן. כאשר מטריצת הקשיחות לא אלכסונית, נאמר ששתי המשוואות מצומדות - שינוי בתזוזה של אחת משפיעה על השנייה.

נביט למשל במערכת הבאה:

bookhue

מערכת בשתי דרגות חופש תת-מרוסנת. (Meirovitch, 2001).

משוואות התנועה שלה:

כאשר ו:

כעת נשאלת השאלה האם אנו יכולים ללכסן את כך שנקבל מערכת משוואות לא מצומדת? כלומר, אנו מחפשים טרנספורמציה למערכת, כמו שעשינו במציאת מאמצים ראשיים במוצקים 2. אם למשל נבחר לעבוד עם קואורדינטות ו- המתארות את התארכות הקפיצים ו- בהתאמה, נצטרך לעשות את הטרנספורמציה:

או, בצורה מטריצית:

כאשר:

נפעיל את הטרנספורמציה הזאת על משוואות התנועה:

כאשר:

למקרה זה בו מטריצת המסה לא מלוכסנת ומטריצת הקשיחות כן, אנו קוראים צימוד אינרציאלי, בעוד למקרה ההפוך שהיה לנו בהתחלה אנו קוראים צימוד אלסטי. בשתי מערכות הקואורדינטות לא פשוט לפתור את משוואות התנועה, אבל הראנו עיקרון חשוב - צימוד הוא לא מאפיין של המערכת, אלא של הקואורדינטות בהן השתמשנו כדי לתאר את המערכת. כדי שטרנספורמציית קואורדינטות תעזור לנו לפתור את מערכת המשוואות, עליה להוריד גם את הצימוד האלסטי וגם את הצימוד האינרציאלי. בחלק הבא נדון בטרנספורמציה זו.

אורתוגונליות של מודים

חשיבות וקטורי המודים שהצגנו במשוואות התנועה של מערכת בשתי דרגות חופש, מודגשת כאשר אנו רוצים לפתור משוואות תנועה של מערכות מרובות דרגות חופש. הסיבה לכך היא שלוקטורים המודלים יש תכונה חשובה הנקראת אורתוגונליות. ישנם קבוצות של וקטורים אורתוגונליים, אבל רק רק הוקטורים המודלים אורתוגונליים גם ביחס למטריצת המסה וגם ביחס למטריצת הקשיחות, מה שנקרא בי-אורתוגונליות. כתוצאה מכך, טרנספורמציית קואורדינטות ע”י הוקטורים המודליים יכולה ללכסן את שתי המטריצות.

ממשוואות (ME5.38) ו-(ME5.39), וקטורי המודל של מערכות בשתי דרגות חופש המוגדרת ע”י משוואה (ME5.21) ניתנים לביטוי כ:

כאשר ו- נתונים ע”י (ME5.35). כעת בעזרת (ME5.22) אנו יכולים לחשב את המכפלה:

שהיא סקלר.
אבל, ממשוואה (ME5.35) אנו יכולים גם לרשום:

נציב את (ME5.62) לתוך (ME5.61) ונסיק כי:

משוואה זו קובעת שוקטורי המודלים ו- הם אורתוגונליים ביחס למטריצת המסה , וניתן להראות זאת גם עבור מטריצת הקשיחות , וגם עבור מערכת מרובת דרגות חופש.

כעת, נציב את משוואה (5.29) לתוך-(ME5.28) ונרשום את הפתרונות לבעיית הערכים העצמיים בצורה:

נכפול את שתי המשוואות משמאל ב- ו- בהתאמה. נקבל:

נהוג להציג את הסימונים:

כאשר נשים לב שנוכל עכשיו לרשום:

נרצה גם לעבוד עם וקטורים מודליים מנורמלי מסה כי זה יותר כללי. כלומר, נרצה לעבוד עם:

כאשר נבחר כך ש:

הערה:

הסימון מעיד על כך שמדובר בוקטור/גודל ש-לא מנורמל מסה. ככה שתאכלס עד עכשיו הייתי צריך לרשום על כל .

מה שאומר ש:

כלומר, כל מוד מחלקים ב- כך שמקבלים מוד מנורמל מסה. כעת נוכל להרכיב את המטריצה המודלית:

נשים לב ש:

וגם:

לכן נוכל לרשום בכללי, בעזרת הדלתא של קרונקר:

כעת, בעזרת המטריצה המודלית הטבעית אנו יכולים לבצע מעבר בסיס למשוואות התנועה כדי לקבל משוואות תנועה שהן לא מצומדות. אנו עושים זאת בעזרת קואורדינטות מודליות שמוגדרות ע”י:

כלומר, אנו מתארים את הקואורדינטות המוכללות כקומבינציה לינארית של עמודות . במילים אחרות, מתארים את מיקומי המערכת, , כקומבינציה לינארית של המודים. נציב את מערכת הקואורדינטות במשוואות התנועה:

נכפיל ב- משמאל:

נישאר עם:

קיבלנו 2 משוואות לא מצומדות:

ניסוח יותר כללי של משוואות התנועה

הגדרה יותר כללית למטריצת המסה והקשיחות היא (בהנחה והמערכת לינארית):

כאשר ו- הם האנרגיה הקינטית והפנימית של המערכת בהתאמה.
המטריצה היא מטריצה מטריצה מוגדרת חיובית - כל הערכים העצמיים שלה חיוביים. לגבי המטריצה , היא מטריצה מוגדרת חצי-חיובית - כל הערכים העצמיים שלה אי-שליליים. כלומר, יכול להיות לה ערכים עצמיים שהם אפס.

כעת נוכל לרשום את משוואות התנועה באופן:

כאשר הוא וקטור הכוחות.

תופעת הפעימות

כאשר שתי מערכות בדרגת חופש אחת מחוברות ע”י קפיץ חלש, המערכת בשתי דרגות חופש המתקבלת מאופיינת בתדירויות טבעיות שמאוד קרובות אחת לשנייה. התגובה של מערכת בשתי דרגות חופש לעירור התחלתי מסוים חווה תופעה מוכרת הידועה בשם תופעת הפעימות (beat phenomenon).

כאשר לתאר את תופעה זו, נביט במערכת המכילה שתי מטוטלות המחוברות בקפיץ, כפי שמוצג באיור הבא:
bookhue

שתי מטוטלות זהות המחוברות בקפיץ. (Meirovitch, 2001).

ללא שום הנחות על קבוע הקפיץ, משוואות התנועה של המערכת הן:

שניתן לסדר בצורה המטריצית:

נשים לב שככל ש- יותר קטן, המערכת הופכת יותר ויותר לשתי מערכות בלתי תלויות עם תדירויות טבעיות השוות ל-.
כעת, נזכור שעבור עירור חופשי תגובת המערכת הרמונית, ולכן נוכל להניח פתרון מהצורה:

כאשר ו- הם האמפליטודות, הוא התדירות התנודות ההרמוניות ו- הוא הפאזה. בהצבת (ME5.78) לתוך (ME5.77) וחילוק ב- נקבל את בעיית הערכים העצמיים:

מה שמוביל למשוואה האופיינית:

ולכן התדירויות הטבעיות הן:

נקבל את המודים הטבעיים ע”י הצבת ו- (בנפרד) ב-(ME5.79), ונקבל כי:

כך שבמוד הטבעי הראשון שתי המטוטלות נעות כמטוטלת אחת עם קבוע לא מתוח, שזה עקבי עם העובדה שהתדירות שלו היא . לעומת זאת, עבור המוד השני, המטוטלות נמצאות בהפרש פאזה של .

bookhue

שני המודים הטבעיים של המערכת. (Meirovitch, 2001).

כפי שהוצג באורתוגונליות של מודים, הרטט החופשי של מערכת משמרת בשתי דרגות חופש היא סופרפוזיציה של שני מודים טבעיים המוכפלים בקואורדינטות הטבעיות, או פשוט:

נוכל שרירותית לבחור , ובעזרת משוואות (ME5.85) ו-(ME5.84) המודים הם:

אם ניקח למשל את תנאי ההתחלה:

בעזרת זהויות טריגונומטריות נקבל:

בהנחה וקבוע הקפיץ מקיים , כלומר, הוא מאוד חלש, אז בעזרת (ME5.82) נוכל לרשום את הקירובים:

נציב ב-(ME5.88):

לכן, במקרה הספציפי הזה, עם תנאי ההתחלה האלו, וקבוע קפיץ חלש זה, נוכל להתייחס לפונקציות ו- כפונקציות הרמוניות עם תדירות ואמפליטודות המשתנות באופן איטי לפי ו- , בהתאמה.
bookhue

תגובה של המטוטלות - תופעת הפעימות. (Meirovitch, 2001).

עירורים הרמוניים

משוואות התנועה של מערכת בשתי דרגות חופש הן מהצורה:

כאשר:

אנו מעוניינים במקרה שהעירור החיצוני הוא הרמוני. נוכל לרשום את העירור בצורה:

כאשר הוא וקטור האמפליטודות (וקטור קבועים).
כעת, כמו במערכת בדרגת חופש אחת, תגובת המצב מתמיד היא:

בו הוא לרוב וקטור מרוכב התלוי בתדירות כניסה ופרמטרי המערכת. נציב את (ME5.94) ו-(ME5.95) לתוך (ME5.92), נחלק ב-, ונקבל:

כאשר:

היא מטריצת האימפידנס עם הערכים:

הפתרון של (5.96) הוא פשוט העברת אגף של :

למטריצה יש גם שם - מטריצת תגובת התדירות , שבמקרה של שתי דרגות חופש, היא מהצורה:

בהצבת ביטוי זה ל-(ME5.99) נקבל:

במקרה של מערכות לא מרוסנות, פונקציות האימפידנס הן ממשיות:

כאשר נציב אותם לתוך (ME5.101), נקבל:

bookhue

תגובת תדירות למערכת לא מרוסנת בשתי דרגות חופש. (Meirovitch, 2001).

סופגי רטט לא מרוסנים

כאשר מכונה סובבת פועלת בתדירות הקרובה לרזוננס של הרכיבים המרכיבים אותה, אנו מקבלים רטט עצום כתוצאה מאותו הרזוננס. בהנחה ונוכל לתאר את המערכת בעזרת דרגת חופש אחת הנתונה לעירור הרמוני, נוכל להנמיך את רטט המערכת ע”י שינוי המסה או קבוע הקפיץ. אבל, ישנם מצבים בהם זה לא אפשרי. במקרים אלו, ניתן להוסיף עוד מסה וקפיץ למערכת, כאשר המסה הנוספת והקפיץ מתוכננים כך שהם יוצרים מערכת בשתי דרגות חופש שתגובת התדירות שלה היא אפס בתדירות העירור. נשים לב בגרף לעיל שתגובת תדירות שההגבר שלה הוא אפס באמת קיים. למערכת בשתי דרגות חופש החדשה יש שתי תדירויות רזוננס, אבל תדירויות אלו לא מהוות בעיה כי הן יהיו מספיק רחוקות מתדירות העירור.

נתאר את המערכת החדשה בעזרת שתי מסות וקפיצים, כפי שמוצג באיור הבא:
bookhue

סופג רטט. (Meirovitch, 2001).

כאשר היא המסה ו- הוא הקפיץ של המערכת ראשית (main system), ו- ו- הם המסה והקפיץ של סופג הרטט (vibration absorber).

משוואות התנועה של המערכת לעיל הן:

נשים לב שמכיוון שהמערכת לא מרוסנת, לא נצטרך להשתמש בסימונים מרוכבים, והפתרון יהיה פשוט:

בעזרת החלק הקודם, נוכל למצוא את ו-:

בעוד סופג רטט מתוכנן לספוג תדירות מסוימת של המערכת, הוא עובד די טוב גם על תדרים קרובים ל-. במקרים אלו התנועה של המסה אמנם לא תהיה אפסית, אבל האמפליטודה שלה תהיה קטנה. השרטוט הבא מראה את הגבר המערכת הראשית:
bookhue

תגובת תדירות למסה הראשית. הוא תדירות המערכת המקורית (בלי הסופג רטט), ו- הוא - התזוזה/אמפליטודה של המערכת המקורית. (Meirovitch, 2001).

האזור המוצלל בגרף נחשב כהאזור בו תפקוד הסופג רטט נחשב מספיק טוב. נשים לב שאחת מהבעיות בסופג רטט, כפי שמוצג בגרף, הוא שהוא מוסיף עוד תדירות רזוננס.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה המערכת הבאה:

סכמת המערכת.

המערכת מורכבת מקפיצי פיתול ומסות בדידות המרוחקות כל אחת מרחק מציר הסיבוב. המסות מחוברות ע”י זרועה קשיחה וחסרת מסה. המערכת סימטרית גאומטרית סביב .

הערה:

העובדה שהמערכת סימטרית גאומטרית לא אומר שהיא תהיה סימטרית קינמטית!

נתון:

סעיף א’

נסחו את משוואת התנועה של המערכת.

פתרון:
מספר דרגות החופש בשאלה הוא 5:

ולכן יש 5 דרגות חופש.
מבחינת האנרגיה הקינטית, עבור מסה בודדת יש:

על כל מוט יש שתי מסות ולכן נקבל שסך האנרגיה הקינטית:

או בקיצור:

נגזור לקבלת מטריצת המסה:

מבחינת האנרגיה הפוטנציאלית:

נגזור לקבלת מטריצת הקשיחות:

מבחינת כוחות, במקרה הכללי, פועל מומנט כלשהו על כל חלקיק (נתייחס למומנט זה רק בתרגיל הבא, אנו רק רושמים את משוואת התנועה באופן כללי):

כך שמשוואת התנועה שלנו היא מהצורה:

נשים לב שמאחר ו- הוא מטריצה לא סימטרית, יש צימוד בין הקואורדינטות השונות. כלומר, שינוי באחת מהקואורדינטות יביא לשינוי בקואורדינטות אחרות, וקשה לנו מאוד לפתור משוואות תנועה כאלה.

סעיף ב’

חשבו את קשיחות הקפיצים ו- כך שהתדרים הטבעיים יהיו כפולות שלמות של תדר בסיס - .

פתרון:
על מנת למצוא תדרים עצמיים נפתור בעיית ערכים עצמיים מוכללת של הצמד ו-:

ונדרוש פתרון לא טריוויאלי. נדרוש גם, לפי השאלה, שהתדרים העצמיים יהיו מהצורה כאשר . נציב זאת בדטרמיננטה כך שנקבל ב-MATLAB:

סעיף ג’

חשבו את אופני התנודה ותארו אותם גרפית.

פתרון:
על למצוא את המודים נציב את התדירויות במשוואת הערכים העצמיים המוכללת ונפתור מערכת משוואות. נקבל את הוקטורים העצמיים:

הערה:

הסימון () מעיד על כך שמדובר בוקטור/גודל ש-לא* מנורמל מסה.

קיבלנו 5 מודים (לכל תדירות עצמית). שלושה סימטריים ושניים אנטי-סימטריים. נוכל לנסח את המטריצה המודלית:

סעיף ד’

חשבו את המודים מנורמלי המסה ומשוואות תנועה בקואורדינטות מודליות.

פתרון:
ניעזר בתכונות האורתוגונליות של המודים:

כאשר הוא הדלתא של קרונקר.
נחשב מסה מודלית לכל מוד (נציב כל פעם מוד אחר). נקבל:

וקטור עצמי (מוד עצמי) הוא עד כדי כפל בקבוע, ויהיה לנו נוח לעבור עם מודים מנורמלים:

כאשר נבחר כך ש:

מה שאומר ש:

כלומר, כל מוד מחלקים ב- כך שמקבלים מוד מנורמל מסה. כעת נוכל להרכיב את המטריצה המודלית הטבעית:

נשים לב ש:

וגם:

כעת, בעזרת המטריצה המודלית אנו יכולים לבצע מעבר בסיס למשוואות התנועה כדי לקבל משוואות תנועה שהן לא מצומדות. אנו עושים זאת בעזרת קואורדינטות מודליות טבעיות שמוגדרות ע”י:

כלומר, אנו מתארים את הקואורדינטות המוכללות כקומבינציה לינארית של עמודות . כלומר, מתארים את זוויות המערכת כקומבינציה לינארית של המודים. נציב את מערכת הקואורדינטות במשוואות התנועה:

נכפיל ב- משמאל:

נישאר עם:

קיבלנו 5 משוואות לא מצומדות:

להלן אנימציה של 5 המודים. כלומר, בכל גרף מעורר רק אחד מהמודים. בנוסף, כל האנימציות מנורמלות לקצב של תדירות אחידה כדי שהאנימציה תהיה ברורה. במציאות, האנימציה החמישית למשל תהיה פי 5 יותר מהירה מהאנימציה הראשונה.
bookhue
bookhue
bookhue
bookhue
bookhue

הקוד לאנימציה ב-MATLAB נמצא בGitHub.