DYN1_E2022SB 2022 אביב מועד ב'

שימו לב

לקוח מהפתרון הרשמי של מירון.

שאלה 1

סעיף א’

נרצה למצוא את תנועת הגליל והמשטח.

דג”ח על הגליל ועל המשטח ברגע ההתנגשות. הוא כוח הכבידה על הגליל; הוא כוח הכבידה על המשטח; הוא הכוח הנורמלי בין המשטח לגליל; הוא הכוח הנורמלי בין המשטח לרצפה; הוא מתקף כוח החיכוך בין הגליל למשטח; ו- הוא מתקף הכוח הפועל על הגליל מהקיר.

וקטור המהירות הקווית המוחלטת של מרכז המסה של הגליל:
ממאזן תנע קווי על הגליל בכיוון , מאחר ואין תאוצה בכיוון זה:

לכן, מאחר וכוח החיכוך מקיים , הוא למעשה חסום. כלומר, המתקף הרגעי שלו מתאפס:

לעומת זאת, מתקף הכוח הנורמלי מן הקיר אינו חסום ולכן מתקיימת התנגשות. נשתמש בנתון כי מקדם התקומה הינו (התנגשות אלסטית):

שימו לב

תאלס תאכלס תאכלס, צריך לחשב את המקדם תקומה לפי המהירויות בנקודת המגע . במקרה הפרטי הזה יוצא שזה אותו הדבר עם , אבל בכללי זה לא נכון. לא היה לי כוח לתקן כאן.

נשים לב שאין מהירות לגליל בכיוון , ולכן נוכל לומר כי:

וקטור המהירות הזוויתית המוחלטת של הגליל מיד אחרי ההתנגשות:
אנו יודעים שהגליל התגלגל ללא החלקה לפני ההתנגשות, ולכן מקשרי גוף קשיח:

ולכן המהירות הזוויתית לפני ההתנגשות היא .
כיוון שאין מתקף מומנט הנובע מהמתקף הנורמלי , התנע הזוויתי בכיוון נשמר, כך ש:

וקטור המהירות הקווית המוחלטת של נקודת המגע של הגליל עם המשטח (נקודה חומרית השייכת לגליל):
ממשוואות גוף קשיח נקבל:

וקטור תאוצת מרכז המסה המוחלטת של הגליל:
לפני ואחרי ההתנגשות לא פועל מתקף על המשטח (כי ), אז מהירותו מיד לאחר ההתנגשות היא אפס. כלומר:

לכן המהירות היחסית בין הנקודה החומרית על הגליל לבין המשטח היא

כלומר, לאחר ההתנגשות הגליל מתגלגל עם החלקה, וכיוון כוח החיכוך יהיה הנגדי לכיוון המהירות.

דג”ח על הגליל לאחר ההתנגשות.

ממאזן תנע קווי (כאשר נשים לב שאין תנועה בכיוון ):

נסיק ש- , ולכן כוח החיכוך מקיים . נציב במאזן בכיוון :

מאחר ואין תנועה בכיוון , נסיק כי:

וקטור התאוצה הזוויתית של הגליל:
ממאזן תנע זוויתי על הגליל נקבל:

וקטור התאוצה הקווית של המשטח:

דג”ח על המשטח לאחר ההתנגשות.

ממאזן תנע קווי בכיוון :

אנו יודעים כבר ש- . נציב:

מאחר ואין תנועה בכיוון , נסיק כי:

סעיף ב’

הדג”ח לא משתנה לכל אורך התנועה של הגלילי כל עוד הוא מחליק על המשטח, ולכן נוכל להשתמש פשוט בתאוצות שמצאנו ולהסיק מהם את המהירויות, כאשר נתחשב גם בתנאי התחלה (המהירויות לאחר הההתנגשות):

סעיף ג’

הרגע בו נעבור לאי-החלקה בין המשטח לגליל הינו כאשר:

נסמן רגע זה ב- .
נמצא את מהירות נקודה (נקודת המגע החומרית על הגליל) בזמן, ממשוואות גוף קשיח:

נציב בתנאי ונקבל:

הכוח היחידי שאינו משמר הינו כוח החיכוך בין הגופים ולכן האנרגיה שתאבד לחום תהיה . ממאזן אנרגיה:

נשים לב כי אין כוחות משמרים במערכת המפעילים עבודה, כך ש- , ונישאר עם:

האנרגיה הקינטית בזמן התנועה עם החלקה הינה:

ולכן השינוי באנרגיה הקינטית:

לכן האנרגיה שעוברת לחום עקב החיכוך היא:

שאלה 2

סעיף א’

נגדיר את מערכת הצירים:

הגדרת מערכת הצירים הפולארית, שראשיתה ב-.

כעת, כדי לתאר את תנועת הגופים, נוכל להשתמש במשוואות תנועה פולאריות, כך שבמקרה של החרוז:

בעוד המהירות הזוויתית של הדסקה הינה:

נרצה למצוא ביטוי יותר מפורש ל- ו-.

דג”ח על כלל המערכת (חלקיק+דסקה). כוח הריאקציה מצוייר בכיוון כללי.

לפי מאזן תנע זוויתי במג”ק סביב נקודה -נקודה קבועה במרחב:

כלומר, יש שימור תנע זוויתי סביב נקודה לאורך כל התנועה, ולכן:

נמצא את התנע הזוויתי של המערכת סביב (לפי סכום על תנע זוויתי של גק”ש ותנע זוויתי של חלקיק):

כאשר , מתקיים:

כמו כן, הדיסקה אינה נעה בעת כניסת החלקיק לדסקה ולכן:

בנוסף, ברגע החלקק מגיע למצב אי-החלקה ביחס לדפנות ולכן הוא עוצר ביחס לדסקה, כך שהוא למעשה נע איתה כמקשה אחת, ולכן מתקיים:

מכאן, נציב בחזרה בשימור תנע זוויתי:

ולכן:

כך ש:

סעיף ב’

שלב א’ - מצאו משוואה דיפרנציאלית המתארת את ההשתנות של זווית :

דג”ח על החרוז. הוא הכוח הנורמלי הפועל מדפנות התעלה; הוא כוח החיכוך עם הדפנות.

לפי מאזן תנע קווי בחלקיק:

אנו יודעים שהתאוצה היא מהצורה:

וגם מהעובדה שיש החלקה . נציב במאזן:

נפרק לכיוונים:

נציב את במשוואה השנייה:

שלב ב’ - פתרו את המשוואה:
ניעזר בקשר:

בהקשר של המשוואה שלנו, נחלק אותה ב-:

ונשתמש בקשר כדי לקבל:

אנו יודעים ש- , ולכן:

נציב בחזרה ונסיק כי:

שלב ג’ - מצאו את מקדם החיכוך:
בסעיף הקודם מצאנו ש:

נציב את שקיבלנו:

סעיף ג’

ממאזן תנע זוויתי סביב נקודה של כלל המערכת נקבל כי:

נגזור בזמן ונקבל:

בסעיף הקודם קיבלנו כי: . נציב:

ראינו גם ש:

נציב בביטוי ל-:

סעיף ד’

ממאזן אנרגיה בגק”ש:

אין כוחות משמרים במערכת, ולכן . נישאר עם:

האנרגיה קינטית של גק”שים מרחביים:

ניעזר בתוצאות מסעיף א’:

ולכן העבודה של הכוחות הלא משמרים (כל האנרגיה שמתבזבזת לחום):

סעיף ה’

נגדיר את מערכת הצירים הבאה:

הגדרת מערכת הצירים, שראשיתה ב-.

מהגדרת המערכת מתקיים , ולכן:

ולכן, לפי משוואות תנועה במערכת פולארית, תנועת החלקיק מתוארת ע”י:

דג”ח על החלקיק.

ממאזן תנע קווי בגק”ש נקבל כי:

ולכן:

דג”ח על הדסקה

ממאזן תנע קווי (כאשר נשים לב שאין תנועה בכיוון ):

אנו יודעים שהמצב הקריטי בו מתרחשב החלקה הינו כאשר . כלומר, במצב זה והדסקה עדיין לא החלקה להאיץ - . נסמן את המהירות הזוויתית של החרוז ברגע זה כ- , כך ש:

נפרק לכיוונים:

ולכן:

נותר למצוא את . בעזרת שימור אנרגיה (הכוחות הלא משמרים היחידים שקיימים לא מבצעים עבודה):

הפרש האנרגיה הקינטית הוא:

הפרש האנרגיה הפוטנציאלית יהיה:

נציב בשימור אנרגיה ונקבל:

נציב בביטוי עבור ונקבל:

נציב ונקבל:

שאלה 3

סעיף א’

ממאזן התקפים בהפעלת המתקף הרגעי:

מאחר והגוף לא נע לפני ההתנגשות, מתקיים , כך ש:

ממאזן התקפים זוויתי בהפעלת המתקף הרגעי, סביב מרכז המסה :

אנו יודעים שטנזור האינרציה של כדור הוא הידרוסטטי לחלוטין - . בנוסף, לא הגוף לא הסתובב לפני ההתנגשות:

מכאן נקבל:

מהפירוק לכיוונים, נקבל ש- , והרכיב בכיוון :

ולכן המהירות הזוויתית לאחר ההתנגשות תהיה:

עתה נדרוש שיתקיים תנאי אי-החלקה על נקודה . כלומר חייב להתקיים ( נקודה חומרית על הרצפה):

ממשוואות גוף קשיח:

סעיף ב’

ממאזן תנע זוויתי ההפעלת המתקף הרגעי סביב מרכז המסה :

כעת, בדומה מאוד לסעיף קודם, ה”זרוע” של המומנט שונה:

נשוואה רכיבים ונקבל:

ולכן:

סעיף ג’

ממשוואות גוף קשיח (ברגע ההתחלה) נשים לב ש:

לכן המהירות היחסית בין הנקודה החומרית על הכדור והנקודה החומרית על הרצפה היא:

כך שלמעשה לא הכדור מחליק על הרצפה.

דג”ח על הכדור. כיוון כוח החיכוך נקבע ע”פ כהנגדי לכיוון המהירות ההתחלתית - .

ממאזן תנע קווי נקבל:

מאחר ויש החלקה, נסיק כי . בנוסף, נחשב את :

נציב בחזרה בשתי המשואוות הראשונות של המאזן:

ולכן:

נמצא כעת את התאוצה הזוויתית . ממאזן תנע זוויתי סביב נקבל:

נשווה בין הרכיבים ונקבל:

ולכן התאוצה הזוויתית:

סעיף ד’

לפי משוואות גוף קשיח עבור תאוצה:

נציב ביטויים מסעיפים קודמים: