פנגייה

FEM1_009 אלמנט מוט אלסטי ומסבכים

• זמן קריאה: 6 דק'

מבוא

בפרק זה נציג את הנוהל לניתוח מבנה נושא עומסים. נתייחס למבנים המורכבים ממספר אלמנטים הקשורים זה לזה בנקודות צימוד. המבנה נתמך כראוי וחשוף לעומסים. הנעלמים הם העיוותים של המבנה וכוחות התגובה בתמיכות. בנוסף, התגובות הפנימיות של האלמנט הבודד הן בעלות עניין. יחסי הקשיחות של האלמנטים הבודדים כבר ידועים מהפרקים הקודמים. יחס קשיחות גלובלי נוצר על בסיס יחסי הקשיחות הבודדים הללו. מנקודת מבט מתמטית, הערכת יחס הקשיחות הגלובלי שווה לפתרון מערכת משוואות לינארית.

הרכבת יחס הקשיחות הגלובלי

הקמת יחס הקשיחות הגלובלי מתרחשת במספר שלבים:

  1. מטריצת הקשיחות הבודדת ידועה לכל אלמנט.
  2. ידוע אילו צמתים מחוברים לכל אלמנט. לכן ניתן לנסח את יחס הקשיחות הבודד לכל אלמנט בקואורדינטות מקומיות:
    $$
    [\mathbf{K}^{e}]{ \mathbf{a} }=[\mathbf{R}^{e}] כאשראנומקרביםאתלפי
  3. יחס הקשיחות הבודד, המנוסח בקואורדינטות מקומיות, חייב להיות מנוסח בקואורדינטות גלובליות.
  4. הממד של מטריצת הקשיחות הגלובלית מוגדר דרך סכום דרגות החופש הגלובליות בכל הצמתים.
  5. יש להגדיר מספור של הצמתים ושל דרגות החופש בכל צומת.
  6. הערכים ממטריצת הקשיחות הבודדת צריכים להיות ממוינים במיקומים המתאימים במטריצת הקשיחות הגלובלית.

ניתן להדגים זאת בעזרת דוגמה פשוטה. נתון מבנה דמוי מוט באורך עם חתך קבוע . המבנה מחולק לשני חלקים באורך עם חומר שונה (כלומר מודולי אלסטיות שונים). למבנה יש תמיכה קבועה מצד אחד והוא עמוס בכוח נקודתי בצד השני. לצורך ניתוח נוסף המבנה יחולק לשני חלקים כל אחד באורך . הדוגמה מורכבת לכן משני אלמנטים סופיים ושלושה צמתים, הממוספרים ברצף .

bookhue

איור 9.1: מבנה דמוי מוט באורך . (Öchsner & Merkel, 2018).

bookhue

איור 9.2: מבנה בדיד עם שני אלמנטים סופיים. (Öchsner & Merkel, 2018).

הצמתים ו- מחוברים לאלמנט . יחס הקשיחות הבודד לאלמנט הוא:

כאשר:

הצמתים ו- מחוברים לאלמנט . יחס הקשיחות הבודד לאלמנט הוא:

כאשר:

מאחר שמערכות הקואורדינטות המקומיות והגלובליות זהות לבעיה הנוכחית, טרנספורמציית הקואורדינטות מושמטת. הממד של יחס הקשיחות הגלובלי , מאחר שקיימת דרגת חופש אחת בכל צומת. המספור של דרגות החופש מוגדר ברצף . יחס הקשיחות הגלובלי נוצר על ידי הרכבת כל תת-המטריצות במטריצת הקשיחות הגלובלית:

מבנה מישורי עם שני מוטות

כדוגמה ראשונה ופשוטה ידון במבנה העשוי משני מוטות. שני המוטות בעלי אותו אורך ואותו חתך , מורכבים מאותו חומר (אותו מודול אלסטיות ), כל אחד נתמך פשוט בקצה אחד ומחוברים בציר במיקום . כוח יחיד פועל במיקום .

bookhue

איור 9.3: מבנה מישורי העשוי משני מוטות. (Öchsner & Merkel, 2018).

bookhue

איור 9.4: מבנה מישורי עם שני אלמנטי מוט. (Öchsner & Merkel, 2018).

נתון: , , ו-

לא ידועים:

  • ההזזה במיקום
  • המעוות והמאמץ באלמנטים

פתרון:

הדיסקרטיזציה הפשוטה ביותר של המבנה ברורה. המבנה מחולק לשני אלמנטים. הצמתים עם המספרים , ו- מוכנסים במיקומים , ו-. הצמתים ו- מחוברים לאלמנט I. יחס הקשיחות הבודד לאלמנט I הוא, בקואורדינטות מקומיות:

כאשר:

הצמתים ו- מחוברים לאלמנט . יחס הקשיחות הבודד לאלמנט הוא, בקואורדינטות מקומיות:

כאשר:

אלמנט מסובב ב- יחסית למערכת הקואורדינטות הגלובלית, אלמנט מסובב ב-. עם הביטויים

לאלמנט ו-

לאלמנט , יחסי הקשיחות הבודדים הם, בקואורדינטות גלובליות לאלמנט I:

ולאלמנט :

מקבלים את יחס הקשיחות הגלובלי על ידי הכנסת יחסי הקשיחות הבודדים במיקומים המתאימים:

בשלב הבא, תנאי השפה יוכנסו:

  • ההזזה בצומת ובצומת אפסים בכל מקרה
  • הכוח החיצוני בצומת פועל בכיוון הגלובלי

בכך יחס הקשיחות הגלובלי הוא:

לאחר מחיקת השורות והעמודות , , ו- מערכת מצומצמת

עם השורות והעמודות ו- נשארת. עד כה, הקשיחויות לאלמנטים מסומנות עם האינדקסים I ו-II, למרות שהן זהות. לגישה הנוספת הקשיחויות מכונות באופן עקבי . יחס הקשיחות הגלובלי המפושט הוא:

מכאן ניתן לקבוע את ההזזות הלא ידועות ו-:

דרך טרנספורמציה של ההזזות ו- למערכות הקואורדינטות המקומיות הייחודיות לאלמנט נובע הדבר הבא:

מההזזות המקומיות המעוות:

ניתן לקבוע. לאחר שההזזות המקומיות באלמנטים הפרטיים ידועות, הכוחות המקומיים ניתן לקבוע דרך יחס הקשיחות הבודד:

מוט :

מוט :

מההגדרה של כוח המוט מתברר שגם מוט וגם מוט הם מוטי מתיחה. המאמץ הנורמלי במוט I נובע:

ובמוט :

בכך גם תנאי העמסה באלמנטים הבודדים ידועים.

עמודים המציינים את העמוד הזה