FEM1_E2024SB 2024 אביב מועד ב

שאלה 1

סעיף א’

איור E2024.1: דג”ח על הבעיה הנתונה.

ניתן לראות מהדג”ח לעיל שלמעשה .

נחלק את הבעיה לשני אלמנטים - אלמנט אחד עבור כל קורה. לפיכך, יש לנו שלושה צמתים כפי שמתואר בדג”ח לעיל. עבור הקורה האופקית:

ועבור הקורה האנכית:

סעיף ב’

מאחר ויש לנו צמתים, אבל על שניים מהם (צומת ו-) יש לנו דרגות חופש, מטריצת הקשיחות הגלובלית תהיה מסדר . נרכיב אותה משני האלמנטים, שלפי אלמנט מוט במתיחה ואלמנט מוט בכפיפה, הם:

נשים לב ששורה ב- מתייחסת לשקיעה האנכית בצומת . לכן מטריצת הקשיחות הגלובלית היא:

סעיף ג’

וקטור העומס הוא פשוט:

מערכת המשוואות שלנו היא פשוט:

נשים לב שמאחר ויש לנו את תנאי שפה דיריכלה ההומוגניים ב- , נישאר רק עם שתי משוואות:

הפתרון הוא:

נסיק ש:

וגם:

סעיף ד’

כדי לחשב את התגובה , ניעזר בשורה הראשונה של מערכת המשוואות ונסיק כי:

נציב ונסיק:

נציב את הערכים שמצאנו:

לאחר פישוט:

נחשב גם את המומנט באמצעות השורה השנייה:

נציב:

סעיף ה’

נפתור את הבעיה באופן אנליטי באמצעות עקרון הסופרפוזיציה. המערכת מורכבת מקורה אופקית בכפיפה וקורה אנכית במתיחה/דחיסה הפועלות במקביל.

הכוח החיצוני מתחלק בין שני מסלולי העברה:

1. דרך הקורה האופקית (כפיפה) - כוח
2. דרך הקורה האנכית (מתיחה/דחיסה) - כוח

כך ש:

עבור הקורה האופקית:
מטבלת שקיעות, עבור קורה עם תמיכה קבועה בקצה אחד וכוח מרוכז בקצה השני:

עבור הקורה האנכית:
לפי משוואת הדפורמציה הצירית, העיוות הצירי:

תנאי התאמה (compatibility):
מכיוון ששני האלמנטים מחוברים בצומת , שקיעת הצומת זהה בשני המקרים:

לכן:

מכאן:

פתרון המערכת:
מתנאי שיווי המשקל:

נציב:

לכן:

לפיכך השקיעה בצומת :

נוכל לכתוב זאת כ:

זה מאשר שהניתוח האנליטי והפתרון ב-FEM נותנים תוצאות מדויקות זהות.

שאלה 2

נתון:

הערה:

רשום במבחן אבל זה לא נשמע הגיוני.

סעיף א’

עבור שני אלמנטים לינאריים מתקיים . בנוסף, נשים לב שהמקדם של הוא , ולכן לפי בעיות הולכה בזמן, מטריצת הקשיחות האלמנטרית היא פשוט:

מחישובים בתרגולים ובהרצאות אנו יודעים שבמקרה של אלמנטים חד-ממדיים לינאריים, פונקציות הבסיס הן:

ובנוסף:

ולכן:

בעזרת אינטגרציית גאוס בנקודה אחת, והצבת :

נחשב עבור כל אלמנט:

ולכן מטריצת הקשיחות הגלובלית:

סעיף ב’

נחשב תחילה את מטריצת המסה . מאחר והמקדם של הוא יחידה, היא תהיה פשוט:

בעזרת אינטגרציית גאוס מדויקת, עבור :

המטריצה הגלובלית:

מותר לנו להניח מטריצה מסוג Lumped, ולכן:

מערכת המשוואות שלנו (בעיית הולכת חום):

יש לנו תנאי שפה: ו-, לכן ו-.

המשוואה עבור הצומת הפנימי ():

כלומר:

כדי לחשב את צעד הזמן המקסימאלי המותר, נחשב את הערכים העצמיים של . במקרה הפשוט שלנו זה רק:

לכן צעד הזמן הקריטי:

סעיף ג’

נתון . מאחר ו-, יש לנו , מה שאומר שהסכימה לא יציבה. עם זאת, נחשב את התוצאות כפי שנתבקש.

המשוואה הדיפרנציאלית שלנו:

נשים לב שאנו כבר יודעים ש- (תנאי התחלה).
לפי שיטת אוילר המפורשת:

עבור :

לכן, בזמן :

לפיכך:

בזמן :

לפיכך:

סעיף ד’

איזה ? הכוונה ל- קריטי? מה זה אין לי כוח עכשיו לחשב מטריצה .

שאלה 3

נתון:

כאשר:

הערה:

אני מסמן כאן את השקיעה ב- במקום כמו שנתון כי אנחנו משתמשים בסימון להגדרת מטריצת הגזירה.

סעיף א’

נבצע אינטגרציה על התחום:

נכפיל בפונקציית בוחן קבילה קינמטית:

נשתמש בזהות . או לאחר העברת אגפים:

נבחר ו-. נציב במאזן לעיל:

לפי משפט גאוס על הביטוי הראשון באגף שמאל:

נפרק את לשפות בהם יש תנאי שפה דיריכלה, ותנאי שפה נוימן, . מאחר ו- קביל קינמטית, על מתקיים . בנוסף, בבעיה שלנו יש רק תנאי שפה נוימן הומוגניים, בהם . לפיכך, נישאר רק עם:

סעיף ב’

כמו במיפוע אלמנט מרובע בילינארי כללי:

פונקציות הצורה הביליניאריות עבור אלמנט המאסטר זה הן:

נוכל להגדיר:

המיפוי מקואורדינטות מקומיות לקואורדינטות גלובליות :

אם נגדיר:

נוכל לרשום את המיפוי באופן הבא:

כאשר .

במקרה של :

ולכן:

כלומר:

סעיף ג’

מ-(E3.1), מטריצת הקשיחות היא:

כאלמנט:

מאחר ו:

עבור נקודת גאוס אחת ב-:

לפי מטריצת הנגזרת של אלמנט מרובע בילינארי, ב-:

לכן במקרה של אלמנט , נחשב את :

עבור עם צמתים: , , , :

הדטרמיננטה:

נחשב את :

כעת נחשב :

לבסוף, :

נציב:

לאחר החישוב המלא:

כדי לחשב את , נזכור מ-(E3.1) ש:

עבור :

נשתמש באינטגרציית גאוס בנקודה אחת ב-. נשים לב ש:

בעזרת אינטגרציית גאוס בנקודה אחת:

לכן:

סעיף ד’

טוב זה ממש חופר אז רק ארשום:

סעיף ה’

יש לנו תנאי שפה דיריכלה הומוגניים על צמתים , כך שנוכל “להתעלם” מהאיברים המתאימים להם במערכת משוואות, ולהישאר עם משוואות.