התנהגות מג”ש בהגברים גבוהים

יהי strictly proper עם הגבר שלילי בתדרים גבוהים. לכן, ו- , כך שתמיד תהיה אסימפטוטה עם , ואז תמיד לפחות אחד מהקטבים של החוג הסגור נמצא ב-RHP כאשר , מה שאומר שהגבר גבוה במערכת כזאת הוא בלתי אפשרי - הוא לא יהיה יציב.

אם למשל הוא בפאזה לא מינימלית, אז לפחות אחד מהאפסים של ב-RHP, אז כאשר , תמיד ענף אחד מסתיים באפס זה, כך שלפחות קוטב אחד נמצא ב-RHP. שוב אנחנו בבעיה.

אם עם עודף קטבים הגדול מ-, אז , ובהנחה ו- , אז תמיד אחד מהאסימפטוטות עם זווית , ואז לפחות שני קטבים (מסימטריה) של החוג הסגור נמצאים ב-RHP כאשר . בעיה.

אם בפאזה מינימלית עם עודף קטבים , אז . בהנחה ו- וכל האפסים של נמצאים בצד השלילי של הציר הממשי , אז ענפים מסתיימים ב-LHP והשאר הולכים ל- , כך שהמשוב בהגבר גבוה כאן אפשרי אמ”ם מרכז המסה של הקטבים והאפסים של החוג הפתוח נמצא ב-LHP.

כאשר נבחן את המקרים של פאזה מינימלית עם עודף קטבים של אחד או אפס, נקבל שתמיד נוכל לבקר בהגברים גבוהים.

לסיכום:
מערכות בהן הגברים גבוהים במשוב ניתנים ליישום הם:

פאזה מינימלית ו- .
פאזה מינימלית ו- וגם .
פאזה מינימלית ו- וגם , וגם , למרות שבמקרה זה יהיה לנו זוג קטבים מרוסנים.

ביצועי מצב מתמיד למערכות בחוג סגור

יהי אות כללי כלשהו. אם ל- יציב כלשהו, אז:

𝟙

bookhue

במבוא למשוב הצגנו את הפונקציות תמסורת השונות במשוב יחידה, ומהן נסיק כי:

נפרק ל- שונים:

במקרה ו- , ו- $𝟙$ , אז:

בהנחה והמערכת יציבה פנימית.
נרצה לדעת מתי . מהביטוי ל- לעיל נסיק שזה קורה אמ”ם . כדי שמכפלה זו תהיה , מספיק שיתקיים שאחד מהקטבים של או הוא .
נשים לב שתנאי זה הוא רק על בתדירות מסוימת .
במקרה ו- , ו- $𝟙$ , אז:

כעת מתקיים אמ”ם או .
במקרה ו- , ו- , אז:

כעת מתקיים אמ”ם .

איפוס שגיאה במנועי DC

למנוע DC תהליך מהצורה:
bookhue

נחקור מתי השגיאה במצב מתמיד תתאפס עבור כל אחד מהאותות, מסוג אות מדרגה, אות ריצה () ואות תדירות.

שגיאה עבור אות ייחוס מדרגה

השגיאה עבור $𝟙$ היא:

במקרה זה לתהליך יש קוטב בראשית (אינטגרטור), כך שההגבר הסטטי שלו הוא

בהינתן ו- , שזה נכון עבור כל בקר המייצב את המערכת.
נסיק ש- אמ”ם מייצב את המערכת, שזה למשל נכון עבור לכל .

שגיאה עבור הפרעת מדרגה

bookhue

במקרה של $𝟙$ , השגיאה במצב מתמיד היא:

כאשר נעלם לנו כי .
כדי ש- , נרצה ש- , וזה יתרחש רק אם יהיה לנו אינטגרטור ב-:
bookhue

האות בקרה

נקרא בקר אינטגרלי (integral controller), או בקר I. הבקר הלא יציב , מאפשר לנו ליצור אות בקרה שלא שואף לאפס, אפילו אם . בעזרת אות בקרה שלא שואף לאפס ניתן בעצם לטפל במקרים של הפרעות קבועות, כמו במקרה לעיל של $𝟙$ .
נביט במג”ש של המערכת:.
bookhue

מג”ש של המערכת הנתונה. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נשים לב שתמיד יש ענף ב-RHP, ולכן הבקר לא יהיה יציב עבור אף הגבר . באסה.

נציע בקר מסוג אחר:
bookhue

ואז האות בקרה הוא מהצורה:

ולבקר זה קוראים בקר פרופורציונלי-אינטגרלי (proportional-integral controller), או פשוט בקר PI. גם בקר זה מקיים ש- לא שואף לאינסוף כאשר , אך הפעם יש לנו עוד דרגת חופש - אפס ב- .

המג”ש שלו עבור ערכי שונים:
bookhue
מה שמראה לנו שניתן לייצב את המערכת אמ”ם מרכז הכובד בצד השלילי של הציר הממשי, כלומר אם . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

שגיאה עבור אות ייחוס ריצה

במידה ויש לנו , השגיאה במצב מתמיד:

לכן, ככל ש- גדול יותר, כך קטן יותר, ולכן אמ”ם , מה ששוב דורש אינטגרטור ב- (כלומר, בקר PI).

שגיאה עבור הפרעת ריצה

אם , אז השגיאה במצב מצמיד:

אז, אם הוא סופי, מתקיים . לכן האינטגרטור ב- צריך להשאיר את חסום, כלומר:

ו- רק אם ל- יש לפחות שני קטבים בראשית (אינטגרטור כפול).

שגיאה עבור אות ייחוס או הפרעה מחזורית

במקרה של $𝟙$ , או $𝟙$ , כיוון ש:

נקבל אמ”ם . תנאי זה דורש שהקטבים של יהיו ב- , כמו למשל:

שגיאה עבור רעש מדידה מחזורי

במקרה של $𝟙$ , כיוון ש:

אז אמ”ם . תנאי זה דורש שהאפסים של יהיו ב- , כמו למשל:

תרגילים

תרגיל 1

נביט בדיאגרמת מג”ש הבאה:
bookhue

דיאגרמת מג”ש. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

האיור לעיל מתאר את המג”ש של תהליך המבוקר במשוב יחידה עם .
bookhue

סעיף א’

האם ניתן לקבוע את ?

פתרון:
ניתן לראות 4 ענפים יוצאים מ- , 3 ענפים נכנסים ל- , ואסימפטוטה אחת (הגיוני, מאחר ויש 4 קטבים ו-3 אפסים.

נסיק שהתהליך הוא מהצורה:

הערך לא ידוע ולכן לא ניתן לקבוע את .

סעיף ב’

בהנחה והמקדמים של המונה של הם חיוביים (המכנה הוא מוני), מצאו את הסימן של במג”ש לעיל ושרטטו את הדיאגרמת מג”ש עבור האזור המשלים.

פתרון:
הצורה של הענפים על הציר הממשי היא זהה לזו של :
קיים ענף על הציר הממשי רק כאשר מימינו מספר אי זוגי של קטבים ואפסים.

נסתכל כאשר :

לכן על הציר מרוכב יהיו ענפים במקומות שהם יש מספר אי-זוגי של קטבים ואפסים בצד ימין:
bookhue

מג”ש עבור .

סעיף ג’

האיור הבא מתאר תגובת מדרגה של החוג הסגור עבור . התאימו את התגובה במישור הזמן לכל אחד מהגברים אלו. מהם התדירויות במצב מתמיד של התגובות התונדות?

bookhue
bookhue
bookhue

תגובות מדרגה של החוג הסגור עבור ערכי שונים. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

פתרון:
נשים לב שהגרף הראשון מתדבר, מה שמעיד על מערכת לא יציבה. שני הגרפים האחרים לא מתבדרים ולא מתכנסים, כך שהקטבים שלהם נמצאים על הציר המדומה.
בדיאגרמת מג”ש הנתונה, ישנם שני ערכי חיוביים עבורם הקטבים של החוג הסגור נמצאים על הציר המדומה. עבור ה- הנמוך יותר (אבל חיובי) ב- ועבור ה- הגבוה יותר ב-. נסיק כי:

משיטת האלימינציה, נותר לנו רק :

יכולנו גם לראות זאת מהתוצאה בסעיף ב’, שרק עבור כלשהו אנו מקבלים קוטב בראשית, שזה בעצם אינטגרטור, והתגובת מדרגה של אינטגרטור היא מהצורה של .

תרגיל 2

הביטו במערכת הבאה:
bookhue

המערכת הנתונה על הרכב. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

הבעיה כאן היא לשמור על מהירות יציבה ברמה מסוימת ע”י שינוי הכוח הנוצר ע”י המנוע. המודל לאחר לינאריזציה של המערכת, סביב נקודת שיווי משקל הוא:

כאשר הוא מסת המכונית, הוא מקדם הגרר, וכו’ וכו’. ההפרעה היא:

כאשר הם קבועים שלא אכפת לי מה הם מייצגים.

הניחו שהמערכת מבוקרת ע”י משוב יחידה, עם בקר PI:

עבור פרמטרים כלשהם ו-.