פנגייה

MCS1_010 משפעל פיאזואלקטרי

• זמן קריאה: 7 דק'

משוואות שולטות של משפעל פיאזואלקטרי

נביט כעת בתגובה ההרמונית (המודים הדינמיים) בפלטה פיאזואלקטרית העשויה מ-PZT, בעלת עובי .

איור 10.1: פלטה פיאזואלקטרית מופעלת ע”י שתי אלקטרודות.

נביט בפלטה של PZT-5A עם שתי אלקטרודות - עליונה ותחתונה. הפלטה מספיק גדולה, כך ש- , ונוכל להזניח אפקטי קצה. נגדיר את הראשית באמצע הנפח של הפלטה כדי להקל על הניתוח.

עבור בעיה זו, מאחר והפלטה רחבה, נוכל להניח ש:

למה ? הבעיה המתוארת היא מצב מאמצים מישורי, לא מצב עיבורים מישורי.

למעשה, עבור , התגובה הדינמית כאן היא מצב עיבורים מישורי. למה?
בתגובה הסטטית, כאשר מפעילים לחץ אחיד על פלטה רחבה , הפלטה חופשית להתעוות גם במישור , ולכן מדובר במצב מאמצים מישורי (plane stress, ).

לעומת זאת, בתגובה הדינמית, גלי לחץ מתקדמים במהירות העברת האינפורמציה (כמו גלי קול באוויר או במים), שהיא מהירות סופית. כאשר הפלטה רחבה מספיק, העיבורים במישור לא מספיקים “להגיע” לכל רוחב הפלטה בזמן שמחזור התנודה מתרחש. במילים אחרות, אורך הגל במישור הוא הרבה יותר קצר מרוחב הפלטה, ולכן האזור המרכזי לא “יודע” שהקצוות קיימים.

התוצאה היא שבתגובה הדינמית, כל נקודה בפלטה נעה רק בכיוון , והעיבורים הרוחביים מתאפסים: . זהו מצב עיבורים מישורי (plane strain).

לפיכך, נוכל להניח שהבעיה חד-ממדית. משוואת התנועה (שוויון משוואת התנועה ברצף):

עבור חומר פיאזואלקטרי עם סימטריה של PZT, נתון ע”י:

העיבור ב- הוא

נציב את (10.3) ו-(10.4) לתוך (10.2), כך שמשוואת התנועה היא כעת:

עבור חומר פיאזואלקטרי עם סימטריה של PZT, השטף החשמלי נתון ע”י:

אלקטרודות מנותקות

מאחר ובאלקטרודות פתוחות מתקיים , נסיק מ-(10.6) שהנגזרת של היא:

נציב לתוך (10.5) לקבלת:

מקדם הצימוד הפיאזואלקטרי מוגדר כ:

הערה:

מקדם זה מייצג את היחס בין האנרגיה האלקטרומכנית המצומדת לאנרגיה הכוללת האגורה במערכת. ככל ש- גדול יותר, כך הצימוד בין התחום המכני לתחום החשמלי חזק יותר.

באמצעות מקדם הצימוד, ניתן לכתוב מחדש את משוואה (10.8):

עקב הסימטריה של הבעיה, תנאי שפה אחד הוא:

כמו כן, על פני השטח העליונים והתחתונים אין מאמץ חיצוני, כלומר . לכן, מ-(10.3) ו-(10.6) נקבל:

הפתרון הלא-טריוויאלי היחיד של שתי משוואות אלו הוא שבשפה וגם . לפיכך, בשפות:

לסיכום, המשוואה השולטת ותנאי השפה הם:

נניח פתרון בצורת הפרדת משתנים:

נציב את (10.15) לתוך (10.14) ונקבל:

כאשר הגדרנו:

לכן:

מיישום תנאי השפה הראשון :

מיישום תנאי השפה השני:

לכן, התדירויות העצמיות הן:

הפתרון עבור מודי התנועה הוא:

נשווה את הפתרון האנליטי לסימולציות COMSOL. לשם כך, בחרנו PZT-5A עם העובי והפרמטרים הבאים:

מסימולציית ה-COMSOL קיבלנו שהתדירות הזוויתית הטבעית של הפלטה בעובי היא (עם 14 ספרות לאחר הנקודה העשרונית):

לפי הפתרון האנליטי, התדירות הזוויתית הטבעית היא:

השגיאה היחסית בין הפתרונות היא:

הערה:

ההתאמה המעולה בין הפתרון האנליטי לסימולציית COMSOL מאשרת את תקפות ההנחות והגזירה המתמטית.

אלקטרודות מקוצרות

במקרה של אלקטרודות מקוצרות (Shorted Electrodes), מתקיים התנאי הבא:

למעשה, משמעות התנאי הזה היא שהשדה יכול להיות שונה מאפס, אך האינטגרל של השדה לאורך השכבה הוא בהכרח אפס.

נבצע אינטגרציה של משוואה (10.6):

נציב את תנאי הקצר (10.25) לתוך התוצאה האחרונה:

הערה:

הנקודה החשובה כאן היא שלמרות ש- ו- יכולים להיות פונקציות של , השטף חייב להיות אחיד (עקב חוק גאוס והעובדה שאין מטען מרחבי בשכבה הפיאזואלקטרית).

נשחזר את ממשוואה (10.27) לתוך (10.6), ונוכל לכתוב את :

נציב זאת לתוך (10.3) ונקבל:

נציב את (10.29) למשוואת התנועה (10.2):

כעת נוכל להשתמש במקדם הצימוד (10.9) לפישוט משוואה זו:

כמו במקרה של אלקטרודות פתוחות, עקב סימטריית הבעיה, תנאי שפה אחד הוא:

על פני המשטח העליון והתחתון אין מאמץ חיצוני, כלומר . מ-(10.3) נסיק:

מ-(10.6) הביטוי עבור הוא:

משווים את (10.33) ו-(10.34):

נציב את (10.27) לתוך התוצאה האחרונה:

לסיכום, המשוואה השולטת ותנאי השפה לאלקטרודות מקוצרות הם:

הערה:

שימו לב שהמשוואה השולטת זהה לזו של אלקטרודות מנותקות (משוואה (10.14)), אך תנאי השפה שונה. כאן יש צימוד בין ההזזה בשפה לנגזרת שלה, מה שמוביל למשוואה טרנסדנטלית (transcendental) עבור התדירויות העצמיות.

נניח פתרון בצורת הפרדת משתנים:

נציב את (10.38) לתוך (10.37):

לכן:

נגדיר את הקבוע:

ננרמל את התנועה לפי משרעת ההזזה בפני השטח העליון:

יישום תנאי השפה:

באמצעות (10.41), ההזזה ב- היא:

והמשוואה שעלינו לפתור היא משוואה טרנסדנטלית:

לאימות התוצאות, נשתמש באותם פרמטרים של חומר וגיאומטריה כמו בסעיף הקודם (משוואה (10.21)) ונשווה את התדירות הטבעית שהתקבלה מסימולציית COMSOL לערכים שנחזו ע”י משוואה (10.44). התוצאות הן (עם 14 ספרות לאחר הנקודה העשרונית):

מהניתוח האנליטי, התדירות היא:

השגיאה היחסית בין הפתרונות היא:

הערה:

מתוצאה זו ומ-(10.24), ברור ששני המקרים - אלקטרודות מנותקות ואלקטרודות מקוצרות - מאומתים ע”י סימולציות COMSOL.

שימו לב שהתדירות הטבעית של אלקטרודות מקוצרות () נמוכה מזו של אלקטרודות מנותקות (). זה מתאים לתוצאות מ-תרגיל 1, שם ראינו שהקשיחות הנדמית של החומר נמוכה יותר כאשר האלקטרודות מקוצרות.

עמודים המציינים את העמוד הזה