פנגייה

MCS1_012 מודולציה ודימודולציה

• זמן קריאה: 10 דק'

מודולציה ודימודולציה

כאשר מחברים שני גלי סינוס בעלי תדירויות שונות, מתקבלת מודולציה (Modulation) - תופעה בה התנודה המהירה נעטפת על ידי מעטפת משתנה לאט. ניתן לנתח תופעה זו באמצעות זהויות טריגונומטריות.

מודולציה
נביט בסכום של שני גלים:

ניתן לראות שהסכום מתבטא כמכפלה של שני גורמים:

  • הסינוס - תונד בתדירות הממוצעת , הנקראת carrier signal.
  • הקוסינוס - תונד בחצי ההפרש , הנקראת modulation signal.

כאשר ו- קרובות זו לזו, הקוסינוס משתנה באופן איטי יחסית לסינוס. התוצאה היא גל בתדירות גבוהה (הממוצעת) שמשרעתו משתנה באופן איטי - זוהי תופעת הפעימות (Beats).

דימודולציה
דימודולציה היא התהליך ההפוך - חילוץ האות המקורי מתוך ה- modulate signal. כאשר מחברים גל בתדירות הסכום עם גל בתדירות אחת הרכיבים:

על ידי סינון הרכיב בתדירות הגבוהה, ניתן לשחזר את האות המקורי.

הערות:

  1. הפאזה משפיעה רק אם היחס בין ל- הוא מספר רציונלי (כלומר התנודות מחזוריות יחד).
  2. במקרה הכללי יותר של , כאשר המשרעות שונות, התיאור מורכב יותר, אך עקרון המודולציה נשמר.

יישומים של מודולציה

  1. בחיישנים רזונטורים, משווים את התדירות של אוסילטור חשוף (Exposed Oscillator) לתדירות של אוסילטור ייחוס (Reference Oscillator). כאשר השפעה חיצונית משנה את תדירות האוסילטור החשוף, השינוי מזוהה דרך תדירות הפעימות - ההפרש בין שתי התדירויות.

  2. בשידור רדיו, גל נושא (Carrier Wave) בתדירות גבוהה מאופנן (עובר מודולציה) על ידי אות קול לפני השידור. במקלט, האות מפורק (Demodulated) כדי לחלץ את הקול.

הגדרה:

  • AM (Amplitude Modulation): אפנון משרעת - רוחב פס של בטווח התדרים .
  • FM (Frequency Modulation): אפנון תדר - רוחב פס של בטווח התדרים .
  1. במקלט הטרודיין (Heterodyne), אותו אוסילטור משמש הן לייצור גל הנושא והן לדימודולציה של האות הנקלט.
    במקלט סופר-הטרודיין (Superheterodyne), אותות שנקלטים בתדירויות שונות מעורבבים עם אות ממתנד מקומי בתדירות ( עבור local oscillator).
    תדירות המתנד המקומי נבחרת כך שההפרש בין תדירות הקלט הרצויה לבין שווה לתדירות ביניים קבועה (Intermediate Frequency - ): אותות בתדירויות אחרות (גבוהות מ-) מסוננים על ידי מסנן low-pass.

הערות:

  1. מערכת הסופר-הטרודיין כוללת אוסליטור עם פקטור איכות גבוה המכויל לתדירות .
  2. המקלט יכול לקלוט אותות בתדירויות רבות, אך רק האות בתדירות מאופנן ל- ועובר דרך המסנן.
  3. היתרון בארכיטקטורה זו הוא שקשה לייצר אוסילטור מכויל (Tunable Resonator) עם גבוה. לעומת זאת, קל יחסית לשנות את תדירות המתנד המקומי.

לולאת נעילת פאזה (PLL)

לולאת נעילת פאזה (Phase-Locked Loop - PLL) היא מעגל בקרה המסוגל לנעול על תדירות אות חיצוני ולעקוב אחריו. המעגל כולל מתנד נשלט מתח (Voltage-Controlled Oscillator - VCO) שתדירותו שרירותי.

כאשר מחברים את אות הקלט בתדירות עם אות ה-VCO:

לאחר סינון הרכיב בתדירות הגבוהה, נשאר אות פרופורציונלי ל:

הלולאה משנה באופן רציף את תדירות ה-VCO עד שמתקיימת נעילה גם בתדירות () וגם בפאזה (). במצב נעול, האות במשוואה (12.5) מגיע לערך מקסימלי קבוע.

הערה:

ה-PLL הוא רכיב קריטי במערכות תקשורת, סינתזה של תדירויות, ובקרת מנועים. הוא מאפשר נעילה מדויקת על תדירות חיצונית גם בנוכחות רעשים והפרעות.

ג’ירוסקופ מסה תונדת (VMG)

אפקט קוריוליס

אפקט קוריוליס מתרחש כאשר עצם נע בתוך מערכת ייחוס סובבת. הביטוי המתמטי לכוח קוריוליס נגזר לראשונה על ידי גספאר-גוסטב דה קוריוליס (Gaspard-Gustave de Coriolis, 1792-1843).

הגדרה:

כוח קוריוליס הוא כוח אינרציאלי (פיקטיבי) הפועל על עצמים הנעים בתוך מערכת ייחוס סובבת. אפקט קוריוליס הוא הסטייה של העצם כתוצאה מכוח זה.

גזירת כוח קוריוליס

נביט בנקודה הנעה במרחב, הנצפית בו-זמנית משתי מערכות ייחוס:

  • מערכת - מערכת ייחוס אינרציאלית (קבועה במרחב)
  • מערכת - מערכת ייחוס לא-אינרציאלית (סובבת)

איור 12.1: מערכת הייחוס הקבועה והסובבת . הוקטור מציין את המיקום היחסי בין ראשיות המערכות, ו- הם וקטורי המיקום של הנקודה ביחס לכל מערכת.

נגדיר את הסימונים הבאים:

  • , : וקטורי מיקום של נקודה ביחס למערכות ו- בהתאמה
  • : וקטור מיקום של ראשית מערכת ביחס למערכת
  • : מהירות זוויתית של מערכת ביחס למערכת

הנגזרת בזמן של וקטור שרירותי המוגדר במערכת הסובבת ניתנת לחישוב באמצעות כלל האופרטור:

כאשר היא הנגזרת בהנחה שמערכת לא מסתובבת, והאיבר נובע מהסיבוב.

וקטור המיקום של הנקודה יחסית למערכת מקיים:

נגזור פעמיים לקבלת התאוצה:

נסמן ב- ו- את המהירות והתאוצה של הנקודה ביחס למערכת , וב- את התאוצה הליניארית של מערכת ביחס ל-. משוואה (12.9) הופכת ל:

כאשר מסת בוחן מחוברת למערכת הסובבת, מהחוק השני של ניוטון:

אם מביטים מנקודת המבט של מערכת , הסיבוב מתבטא ככוחות פיקטיביים:

כאשר:

מה המשמעות של ה- בקוריוליס?

ה- בביטוי אינו מקרי - הוא מייצג סכום של שתי תופעות פיזיקליות נפרדות שקורות בו-זמנית בתנועה במערכת סובבת:

1. שינוי מהירות הייחוס (“אפקט הפלטפורמות הנעות”):
נדמיין שאנחנו הולכים על קרוסלה סובבת, ממרכזה לקצה החיצוני. ככל שאנו נעים החוצה, אנו מגיעים לחלקים של הקרוסלה שפיזית זזים מהר יותר (כי ). גם אם אנו שומרים על מסלול “ישר” יחסית לקרוסלה, המהירות האמיתית שלנו במרחב חייבת לגדול כדי “להדביק” את הרצפה הנעה מתחתינו. תופעה זו תורמת חצי מאפקט קוריוליס.
2. סיבוב וקטור המהירות (“אפקט המפה המסתובבת”):
נדמיין שאנחנו הולכים במהירות קבועה בקו ישר, אבל מערכת הצירים מסתובבת מתחתינו. מנקודת מבט של צופה חיצוני, וקטור המהירות שלנו מצביע לכיוון קבוע. אולם מנקודת המבט שלנו על הקרוסלה, הכיוונים צפון/דרום/מזרח/מערב מסתובבים כל הזמן - ולכן וקטור המהירות שלנו נראה כמשנה כיוון. תופעה גיאומטרית זו תורמת את החצי השני.

שימו לב: קל להתבלבל בין תופעה זו לכוח הצנטריפוגאלי. הכוח הצנטריפוגאלי פועל רדיאלית (החוצה מציר הסיבוב) ותלוי רק במיקום, בעוד שרכיב קוריוליס פועל משיקית (במישור הסיבוב, ניצב לכיוון התנועה) ותלוי במהירות הרדיאלית.
למשל, אם צלף יורה כדור צפונה מקו המשווה, הכוח הצנטריפוגאלי “ימשוך” את הכדור למעלה (החוצה ממרכז כדור הארץ) וכוח קוריוליס “ימשוך” את הכדור ימינה (מזרחה).

מודל כללי של ג’ירוסקופ ציר (Yaw)

נביט במערכת רזונטור דו-ממדית המחוברת למערכת ייחוס הסובבת במהירות זוויתית (מאונכת למישור התנודות). המערכת מונעת על ידי כוח חיצוני .

איור 12.2: מערכת MSD (mass-spring-damper) דו-ממדית במערכת ייחוס סובבת. כיוון הסיבוב מאונך לדרגות החופש (כיוון ) וקצב הסיבוב הוא .

הערה:

אנו רוצים לדון במערכת בה כאשר , התנועה ב- תלויה בתנועה ב-. למשל, אין לחשוב על נקודת הריתום של הקפיץ ב- כקבועה ב-, אחרת ברור שתנועה ב- תאריך את הקפיץ .

נרשום את רכיבי הווקטורים במונחים המתאימים למודל MSD:

הכוחות הפיקטיביים, בסימונים אלו, הם:

כאן הם קואורדינטות המסה כפונקציה של זמן, ו- הוא רכיב הכוח החיצוני המופעל.

נגביל את הדיון למערכת דו-ממדית בה המסה תונדת רק במישור - (כלומר ). בנוסף, נניח שהתאוצות הליניאריות של המערכת זניחות (). משוואות התנועה הן:

לפישוט הניתוח, נניח קצב זוויתי קבוע () ונזניח את השפעות ו-. נקבל:

ג’ירוסקופ אפנון משרעת (AM Gyro)

מסה נתמכת על ידי מתלה המאפשר תנודות בשתי דרגות חופש: מוד ההנעה () ומוד החישה (). כל מוד כולל קפיץ בקשיחות , וריסון , בהתאמה. כוח הנעה מפעיל תנודות במוד ההנעה. כאשר המערכת מסתובבת בקצב , כוח קוריוליס מצמד בין שני המודים.

משוואות התנועה:

משוואות אלו תקפות כאשר , , ו- זניחים, והתנועות מוגבלות למישור -.

בג’ירוסקופ AM טיפוסי, מערערים את המסה לתהודה במוד ההנעה עם משרעת קבועה . זה מושג על ידי כוח הנעה הרמוני ובקר משוב (למשל מעגל PLL) שמבטיח:

  1. תדירות העירור זהה לתדירות הטבעית האפקטיבית של מוד ההנעה
  2. הכוח בפאזה עם מהירות מוד ההנעה

כוח קוריוליס במשוואה (12.26) גורם לתנודות במוד החישה. משרעת התנודה במצב מתמיד פרופורציונלית לקצב , והפאזה בין המודים מציינת את סימן .

בעיות בג’ירוסקופי AM

  1. מגבלת רוחב פס:
    אם שתי דרגות החופש מותאמות (matched) - כלומר בעלות אותה תדירות טבעית - התגובה במוד החישה לוקחת מחזורים להתייצב. לכן, לא ניתן לחוש שינויים מהירים בקצב הסיבוב - זוהי מגבלת רוחב הפס.

    ניתן להעלות את תדירות מוד החישה מעל זו של מוד ההנעה, כך שהתגובה קרובה יותר לתגובה סטטית. אולם, במקרה זה משרעת מוד החישה קטנה, מה שמוריד את הרגישות. לכן קיימת פשרה בין רגישות לרוחב פס.

  2. סחיפה עקב רעש תרמי:
    גם כאשר אין סיבוב (), אנרגיה תרמית גורמת לתנודות בכל דרגת חופש. תנודות אלו במוד החישה יוצרות סחיפה (drift) בלתי נמנעת בקריאה.

  3. שגיאת קוואדרטורה:
    כדי להתמודד עם סחיפה תרמית, מכווננים את תדירות מוד החישה כלפי מעלה כך שהתגובה היא קוואזיסטטית (כלומר, מוד החישה תונד בקצב מתחת לרזוננס שלו). במקרה זה, מהירות מוד החישה המקסימלית מתרחשת לפני שמהירות מוד ההנעה מקסימלית.

    אבל, עקב צימוד לא-רצוי בין המודים, מתקבל אות שגיאה (שגיאת קוואדרטורה) גם כאשר . שגיאה זו מסונכרנת עם מהירות מוד ההנעה, ולכן ניתן לסנן אותה באמצעות דימודולציה סינכרונית.

ג’ירוסקופ אפנון תדירות (FM Gyro)

בג’ירוסקופ FM, בניגוד ל-AM, שתי דרגות החופש מעורערות לתהודה. כוחות הנעה ו- מופעלים על שני הכיוונים.

משוואות התנועה:

כאן ו- הם קבועים, ו-, פונקציות של זמן. בג’ירוסקופ FM טיפוסי, שתי דרגות החופש מונעות למשרעת מהירות קבועה באמצעות בקרי משוב (כמו מעגלי PLL).

משוואות תנועה מנורמלות

נגדיר את המשתנים המנורמלים:

משוואות התנועה המנורמלות הן:

כאשר ו-, המערכת מותאמת-מודים (mode-matched): יש אינסוף מודים עצמיים עם אותה תדירות עצמית . מודים אלו יכולים להיות למשל תנודות ב- רק עם ותנודות ב- רק עם . בנוסף, עוד מוד יכול להיות מסלול מעגלי סביב ציר , והמוד השני מסלול מעגלי בכיוון ההפוך.

כאשר או , המערכת כבר אינה מנוונת ויש לה שני מודים עצמיים ייחודיים עם תדירויות עצמיות שונות.

לבחינת השפעת הסיבוב על התדירויות הטבעיות, נביט במערכת ללא ריסון וללא הנעה:

נניח תנועה הרמונית:

הצבה במשוואות התנועה נותנת:

TODO:

להשלים את ביצוע המאזן ההרמוני (harmonic balancing).

ממאזן הרמוני מתקבל:

ממשוואה (12.39) נובע ש- - מוד עצמי אחד הוא מסלול חיובי ואחד שלילי.

מפתרון משוואות (12.40) ו-(12.41) עבור :

השוואת שתי התוצאות מניבה:

איור 12.3: פיצול תדירויות עבור ו-.

הערות:

  1. עבור ממשוואות (12.42) ו-(12.43): פתרון אחד הוא לכל , והשני לכל - אלה שני המודים העצמיים ללא סיבוב.
  2. עבור משוואות (12.44) ו-(12.45) מצטמצמות ל- ו-, עם - מסלול מעגלי.
  3. עבור המסלול אינו מעגלי.

ג’ירוסקופ FM קוואדרטורה (QFM)

בג’ירוסקופ FM נפוץ, בנוסף לשני מעגלי בקרה עבור התהודות, מעגל שלישי נועל את המערכת למסלול חיובי () או שלילי (). כך, צימוד קוריוליס אינו גורם לפיצול תדירויות - תדירות אחת מסוננת מראש.

בג’ירוסקופ QFM, קצב הסיבוב נקבע מתדירות התהודה של המערכת. ברור שהמודים צריכים להיות מותאמים (בעלי אותה תדירות), אחרת הג’ירוסקופ לא יפעל כראוי עבור קצבי סיבוב קטנים.

עמודים המציינים את העמוד הזה