פנגייה

PHY3_005 פיזיקה אטומית א

• זמן קריאה: 23 דק'

ספקטרום אטומי של גזים

כפי שצוין בפרק קודם, כל העצמים פולטים קרינה תרמית המאופיינת בהתפלגות רציפה של אורכי גל, והיינו זקוקים לתיאוריה מבוססת קוונטים כדי לתאר את התוצאות. בניגוד חד להתפלגות רציפה זו נמצאים אורכי הגל הבדידים הנפלטים בספקטרום קווי, הנצפה כאשר גז בלחץ נמוך עובר פריקה חשמלית. (פריקה חשמלית מתרחשת כאשר הגז נתון להפרש פוטנציאלים היוצר שדה חשמלי גדול מהחוזק הדיאלקטרי של הגז.) התבוננות וניתוח של קווים ספקטרליים אלה נקראים ספקטרוסקופיית פליטה.

כאשר האור מפריקה בגז נבחן באמצעות ספקטרומטר, נמצא שהוא מורכב מכמה קווים בהירים צבעוניים על רקע כהה בדרך כלל כפי שמוצג באיור 5.1. כל קו צבעוני מתאים לאורך גל בדיד של אור הנפלט מהגז. שלושת הספקטרא באיור 5.1 מראים שאורכי הגל הכלולים בספקטרום קווי נתון הם אופייניים ליסוד הפולט את האור. הספקטרום הקווי הפשוט ביותר הוא זה של מימן אטומי, ואנו מתארים ספקטרום זה בפירוט.

bookhue

איור 5.1: ו-(a) ספקטרא של קווי פליטה עבור מימן, כספית ונאון. (b) ספקטרום הבליעה עבור מימן. שימו לב שקווי הבליעה הכהים מתרחשים באותם אורכי גל כמו קווי הפליטה של המימן ב-(a). (Serway et al., 2019).

מכיוון שאין שני יסודות עם אותו ספקטרום קווי, ספקטרוסקופיה מייצגת טכניקה מעשית ורגישה לזיהוי היסודות הנוכחים בדגימות לא ידועות.

הערה: למה "קווים"?

איור 5.2: הביטוי “קווים ספקטרליים” משמש לעתים קרובות כשדנים בקרינה מאטומים. קווים נראים מכיוון שהאור עובר דרך חריץ ארוך וצר מאוד לפני שהוא מופרד לפי אורך גל. תראו הפניות רבות ל”קווים” אלה הן בפיזיקה והן בכימיה.

צורה אחרת של ספקטרוסקופיה השימושית מאוד בניתוח חומרים היא ספקטרוסקופיית בליעה. ספקטרום בליעה מתקבל על ידי העברת אור לבן ממקור רציף דרך גז או תמיסה מדוללת של היסוד המנותח. ספקטרום הבליעה מורכב מסדרה של קווים כהים המונחים על הספקטרום הרציף של מקור האור כפי שמוצג באיור 5.1 עבור מימן אטומי.

אורכי הגל של ספקטרום הבליעה עבור גז תואמים בדיוק את אורכי הגל של ספקטרום הפליטה עבור אותו גז. לספקטרום הבליעה של יסוד יש יישומים מעשיים רבים. לדוגמה, הספקטרום הרציף של קרינה הנפלטת מהשמש חייב לעבור דרך הגזים הקרירים יותר של האטמוספירה השמשית. קווי הבליעה השונים הנצפים בספקטרום השמשי שימשו לזיהוי יסודות באטמוספירה השמשית.

במחקרים מוקדמים של הספקטרום השמשי, נסיינים מצאו כמה קווים שלא התאימו לשום יסוד ידוע. יסוד חדש התגלה! היסוד החדש נקרא הליום, על שם המילה היוונית לשמש, helios. לאחר מכן מצאו הליום בגז תת-קרקעי על כדור הארץ. באמצעות טכניקה זו, מדענים בחנו את האור מכוכבים אחרים ומעולם לא גילו יסודות מלבד אלה הקיימים על כדור הארץ.

ספקטרוסקופיית בליעה הייתה שימושית גם בניתוח זיהום מתכות כבדות בשרשרת המזון. לדוגמה, הקביעה הראשונה של רמות גבוהות של כספית בטונה נעשתה באמצעות ספקטרוסקופיית בליעה אטומית.

מ-1860 עד 1885, מדענים צברו כמות גדולה של נתונים על פליטות אטומיות באמצעות מדידות ספקטרוסקופיות. בשנת 1885, מורה שוויצרי, יוהאן יעקב בלמר (1825–1898), מצא משוואה אמפירית שחזתה נכון את אורכי הגל של הקו האדום, הירוק, הכחול-סגול והסגול של מימן באיור 5.1. איור 5.2 מראה קווים אלה ואחרים (באולטרה סגול) בספקטרום הפליטה של מימן.

bookhue

איור 5.3: ספקטרום הפליטה של מימן. הקווים הנראים מתרחשים באורכי גל של ננומטר, ננומטר, ננומטר ו- ננומטר. הסט השלם של קווים נקרא סדרת בלמר. (Serway et al., 2019).

ארבעת הקווים הנראים מתרחשים באורכי הגל ננומטר, ננומטר, ננומטר ו- ננומטר. הסט השלם של הקווים נקרא סדרת בלמר. אורכי הגל של קווים אלה יכולים להיות מתוארים על ידי המשוואה הבאה, שהיא שינוי שעשה יוהנס רידברג (1854–1919) של המשוואה המקורית של בלמר:

כאשר הוא קבוע הנקרא כעת קבוע רידברג עם ערך של . הערכים השלמים של מ- עד נותנים את ארבעת הקווים הנראים מ- ננומטר (אדום) עד ננומטר (סגול).

משוואה (SJ41.1) מתארת גם את הקווים הספקטרליים האולטרה-סגולים בסדרת בלמר אם נמשך מעבר ל-. גבול הסדרה הוא אורך הגל הקצר ביותר בסדרה ומתאים ל-, עם אורך גל של ננומטר כמו באיור 5.2. הקווים הספקטרליים הנמדדים מתאימים למשוואה האמפירית, משוואה (SJ41.1), בדיוק של .

סדרות ספקטרליות נוספות

קווים אחרים בספקטרום של מימן נמצאו באזורי האינפרא-אדום והאולטרה סגול של הספקטרום בעקבות גילוי של בלמר. ספקטרא אלה נקראים סדרות ליימן, פשן וברקט על שם מגליהם. אורכי הגל של הקווים בסדרות אלה יכולים להיות מחושבים באמצעות המשוואות האמפיריות הבאות, שהן זהות בצורה למשוואה (SJ41.1):

סדרת ליימן (אולטרה-סגול):

סדרת פשן (אינפרא-אדום):

סדרת ברקט (אינפרא-אדום):

לא היה בסיס תיאורטי למשוואות אלה באותו זמן; הן פשוט עבדו, אבל אף אחד לא ידע למה. בהמשך, נדון בהישג המדהים של תיאוריה עבור אטום המימן שסיפקה הסבר למשוואות אלה.

מודלים מוקדמים של האטום

בואו נתחיל את המסע שלנו להבנת מדוע משוואות (SJ41.1) עד (SJ41.4) עובדות, על ידי חקירת מודלים שונים של האטום.

מודל תומסון

המודל של האטום בימי ניוטון היה כדור זעיר, קשה ובלתי ניתן להשמדה. למרות שמודל זה סיפק בסיס טוב לתיאוריה הקינטית של הגזים, היה צורך להמציא מודלים חדשים כאשר ניסויים חשפו את הטבע החשמלי של האטומים.

בשנת 1897, ג’.ג’. תומסון קבע את יחס המטען למסה עבור האלקטרונים. מסקנה טבעית הייתה שהאלקטרון חייב להיות חלק מהתת-מבנה של האטום. בשנה הבאה, תומסון הציע מודל המתאר את האטום כאזור שבו מטען חיובי פרוס באופן רציף במרחב עם אלקטרונים מוטבעים ברחבי האזור, בדומה לזרעים באבטיח או לצימוקים בפודינג עבה (איור 5.3). האטום כולו יהיה אז ניטרלי חשמלית.

bookhue

איור 5.4: מודל תומסון של האטום. האלקטרונים הם מטענים שליליים קטנים במיקומים שונים בתוך האטום. המטען החיובי של האטום מפוזר באופן רציף בנפח כדורי. (Serway et al., 2019).

מודל רתרפורד הפלנטרי

בשנת 1911, ארנסט רתרפורד (1871–1937) ותלמידיו הנס גייגר וארנסט מרסדן ביצעו ניסוי קריטי שהראה שמודל תומסון אינו יכול להיות נכון. בניסוי זה, קרן של חלקיקי אלפא טעונים חיובית (גרעיני הליום) הוקרנה לתוך רדיד מתכתי דק כמו המטרה באיור 5.4.

bookhue

איור 5.5: ב-(a) הטכניקה של רתרפורד לצפייה בפיזור חלקיקי אלפא מרדיד דק. המקור הוא חומר רדיואקטיבי טבעי, כמו רדיום. (b) מודל רתרפורד הפלנטרי של האטום. (Serway et al., 2019).

רוב החלקיקים עברו דרך הרדיד כאילו הוא מרחב ריק, אבל חלק מהתוצאות של הניסוי היו מדהימות. חלקיקים רבים שהוסטו מכיוון הנסיעה המקורי שלהם התפזרו בזוויות גדולות. חלקיקים מסוימים אפילו הוסטו לאחור, כך שהם הפכו לחלוטין את כיוון הנסיעה שלהם!

כאשר גייגר הודיע לרתרפורד שחלקיקי אלפא מסוימים התפזרו לאחור, רתרפורד כתב: “זה היה האירוע הכי בלתי-אמין שאי פעם קרה לי בחיי. זה היה כמעט בלתי-אמין כמו אם הייתם יורים פגז ארטילרי בקוטר אינץ’ על פיסת נייר טישו והוא חוזר ופוגע בכם.” הוא כנראה לא ראה את צוות 2ב’ במטרת סוללה.

סטיות גדולות כאלה לא היו צפויות על בסיס מודל תומסון. על פי המודל ההוא, המטען החיובי של אטום ברדיד פרוס על פני נפח כה גדול (כל האטום) שאין ריכוז של מטען חיובי חזק מספיק כדי לגרום לסטיות בזווית גדולה של חלקיקי האלפא הטעונים חיובית.

רתרפורד הסביר את התוצאות המדהימות שלו על ידי פיתוח מודל אטומי חדש, כזה שהניח שהמטען החיובי באטום מרוכז באזור קטן יחסית לגודל האטום. הוא קרא לריכוז המטען החיובי הזה גרעין האטום. כל האלקטרונים השייכים לאטום הונחו להיות בנפח הגדול יחסית מחוץ לגרעין.

כדי להסביר למה האלקטרונים הללו לא נמשכים לתוך הגרעין על ידי הכוח החשמלי המושך, רתרפורד דימה אותם כנעים במסלולים סביב הגרעין באותו אופן שהפלנטות מקיפות את השמש (איור 5.4). מסיבה זו, מודל זה מכונה לעתים קרובות המודל הפלנטרי של האטום.

בעיות במודל הפלנטרי

בעוד שמודל רתרפורד הסביר את התוצאות הניסיוניות שלו, קיימים שני קשיים בסיסיים עם המודל הפלנטרי:

  1. בעיית הספקטרום הבדיד: כפי שראינו בסעיף הקודם, אטום פולט (ובולע) תדירויות אופייניות מסוימות של קרינה אלקטרומגנטית ולא אחרות, אבל מודל רתרפורד אינו יכול להסביר תופעה זו.

  2. בעיית הקריסה הקלאסית: האלקטרונים של רתרפורד מתוארים על ידי מודל החלקיק בתנועה עגולה אחידה; יש להם תאוצה צנטריפטלית. על פי התיאוריה של מקסוול לאלקטרומגנטיזם, מטענים מואצים צנטריפטלית המסתובבים בתדירות אמורים להקרין גלים אלקטרומגנטיים בתדירות .

bookhue

איור 5.6: המודל הקלאסי של האטום הגרעיני חוזה שהאטום יתפרק ויתמוטט. מכיוון שהאלקטרון המואץ מקרין אנרגיה, גודל המסלול פוחת עד שהאלקטרון נופל לתוך הגרעין. (Serway et al., 2019).

כאשר אנרגיה עוזבת את המערכת, רדיוס מסלול האלקטרון פוחת בהתמדה (איור 5.5). תהליך זה מוביל לתדירות גוברת והולכת של קרינה נפלטת ולהתמוטטות האטום כאשר האלקטרון צולל לתוך הגרעין. אנחנו מניחים שאטומים אינם מתמוטטים מעצמם, אז זוהי בעיה רצינית עם המודל!

מודל בוהר של אטום המימן

בשנת 1913, נילס בוהר הציג מודל חדש של אטום המימן שעקף את הבעיות של המודל הפלנטרי של רתרפורד. התיאוריה של בוהר הייתה חשובה היסטורית לפיתוח הפיזיקה הקוונטית, והיא מסבירה את סדרות הקווים הספקטרליים המתוארות על ידי משוואות (SJ41.1) עד (SJ41.4).

למרות שמודל בוהר נחשב כעת מיושן והוחלף לחלוטין בתיאוריה הסתברותית קוונטית-מכנית, נוכל להשתמש במודל בוהר כדי לפתח את המושגים של קוונטיזציית אנרגיה וקוונטיזציית מומנט זוויתי כפי שהם חלים על מערכות בגודל אטומי.

המודל המבני של תיאוריית בוהר כפי שהוא חל על אטום המימן כולל את ההנחות הבאות:

  1. רכיבים פיזיקליים: האלקטרון נע במסלולים עגולים סביב הפרוטון תחת השפעת הכוח החשמלי של משיכה כפי שמוצג באיור 5.6. מבנה זה זהה למודל הפלנטרי של רתרפורד.
    bookhue

    איור 5.7: תרשים המייצג את מודל בוהר של אטום המימן. האלקטרון המקיף יכול להיות רק במסלולים ספציפיים עם רדיוסים בדידים. (Serway et al., 2019).

  2. התנהגות הרכיבים:

    א. מסלולים יציבים: רק מסלולי אלקטרון מסוימים יציבים. כאשר באחד מהמצבים הנייחים הללו, כפי שבוהר קרא להם, האלקטרון אינו פולט אנרגיה בצורת קרינה, למרות שהוא מואץ. לכן, האנרגיה הכוללת של האטום נשארת קבועה וניתן להשתמש במכניקה קלאסית לתיאור תנועת האלקטרון.

    ב. מעברי אנרגיה: האטום פולט קרינה כאשר האלקטרון עושה מעבר ממצב נייח מעורר יותר למצב נייח באנרגיה נמוכה יותר. התדירות של הפוטון הנפלט במעבר נמצאת מביטוי שימור האנרגיה:

\boxed{E_i - E_f = hf} \tag{SJ41.5}

כאשרהיאהאנרגיהשלהמצבהראשוניהיאהאנרגיהשלהמצבהסופיובנוסףאנרגיהשלפוטוןנכנסיכולהלהיבלעעלידיהאטוםאבלרקאםלפוטוןישאנרגיההתואמתבדיוקאתההפרשבאנרגיהביןמצבמותרשלהאטוםלמצבבאנרגיהגבוההיותרגקוונטיזצייתמומנטזוויתיגודלהמסלולהמותרלאלקטרוןנקבעעלידיתנאיהמוטלעלהמומנטהזוויתיהמסלולישלהאלקטרוןהמסלוליםהמותריםהםאלהשעבורםהמומנטהזוויתיהמסלולישלהאלקטרוןסביבהגרעיןמקוונטושווהלכפולהשלמהשל

\boxed{m_e vr = n\hbar \quad n = 1, 2, 3, \ldots} \tag{SJ41.6}

כאשר $m_e$ היא מסת האלקטרון, $v$ היא מהירות האלקטרון במסלולו, ו-$r$ הוא רדיוס המסלול. האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית של המערכת המוצגת ב[[#^figure-bohr-model|איור]] היא:

U_E = \frac{k_e q_1 q_2}{r} = -\frac{k_e e^2}{r}

כאשרהואקבועקולוןוהסימןהשלילינובעמהמטעןעלהאלקטרוןלכןהאנרגיההכוללתשלהאטוםהמורכבתמהאנרגיההקינטיתשלהאלקטרוןוהאנרגיההפוטנציאליתשלהמערכתהיא

E = K + U_E = \frac{1}{2}m_e v^2 - \frac{k_e e^2}{r} \tag{SJ41.7}

האלקטרוןממודלכחלקיקבתנועהמעגליתאחידהאזהכוחהחשמליהמופעלעלהאלקטרוןחייבלהיותשווהלמכפלתהמסהשלובתאוצההצנטריפטליתשלו

\frac{k_e e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \implies v^2 = \frac{k_e e^2}{m_e r} \tag{SJ41.8}

ממשוואהאנומוצאיםשהאנרגיההקינטיתשלהאלקטרוןהיא

K = \frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{k_e e^2}{2r}

הצבתערךזהשלבמשוואהנותנתאתהביטויהבאעבורהאנרגיההכוללתשלהאטום

\boxed{E = -\frac{k_e e^2}{2r}} \tag{SJ41.9}

מכיווןשהאנרגיההכוללתשליליתמהשמראהעלמערכתשלאלקטרוןפרוטוןישלהוסיףאנרגיהבכמותלאטוםכדילהסיראתהאלקטרוןולהפוךאתהאנרגיההכוללתשלהמערכתלאפסנוכללקבלביטויעבוררדיוסהמסלוליםהמותריםעלידיפתרוןמשוואהעבורוהשוואהלמשוואה

v^2 = \frac{n^2\hbar^2}{m_e^2 r^2} = \frac{k_e e^2}{m_e r} \implies r_n = \frac{n^2\hbar^2}{m_e k_e e^2} \quad n = 1, 2, 3, \ldots \tag{SJ41.10}

משוואהמראהשרדיוסיהמסלוליםהמותריםבעליערכיםבדידיםהםמקוונטיםהתוצאהמבוססתעלההנחהשהאלקטרוןיכוללהתקייםרקבמסלוליםמותריםמסוימיםהנקבעיםעלידיהמספרהשלםהמסלולעםהרדיוסהקטןביותרהנקרארדיוסבוהרמתאיםלובעלהערך

\boxed{a_0 = \frac{\hbar^2}{m_e k_e e^2} = 0.0529 \text{ nm}} \tag{SJ41.11}

הצבתמשוואהבמשוואהנותנתביטויכלליעבורהרדיוסשלכלמסלולבאטוםהמימן

\boxed{r_n = n^2 a_0 = n^2(0.0529 \text{ nm}) \quad n = 1, 2, 3, \ldots} \tag{SJ41.12}

![[Pasted image 20250929200055.png|bookhue|300]]^figure-bohr-orbits >שלושת המסלולים העגולים הראשונים החזויים על ידי מודל בוהר של אטום המימן. האלקטרון מוצג במסלול האנרגיה הנמוכה ביותר, אבל הוא יכול להיות בכל אחד מהמסלולים המותרים. [[PHY3_000 פיזיקה 3 01140054#ביבליוגרפיה|(Serway et al., 2019)]]. ## קוונטיזציית האנרגיה קוונטיזציית רדיוסי המסלול מובילה לקוונטיזציית אנרגיה. הצבת $r_n = n^2 a_0$ במשוואה $\text{(SJ41.9)}$ נותנת:

E_n = -\frac{k_e e^2}{2a_0} \cdot \frac{1}{n^2} \quad n = 1, 2, 3, \ldots \tag{SJ41.13}

הצבתערכיםמספרייםעבורהקבועיםבביטויזהאנומוצאיםש

\boxed{E_n = -\frac{13.606 \text{ eV}}{n^2} \quad n = 1, 2, 3, \ldots} \tag{SJ41.14}

האטום יכול להתקיים רק במצבים עם אנרגיות המקיימות את משוואה $\text{(SJ41.14)}$. רמת האנרגיה הנמוכה ביותר המותרת, **מצב היסוד**, בעלת $n = 1$ ואנרגיה $E_1 = -\pu{13.606eV}$. רמת האנרגיה הבאה, **המצב המעורר הראשון**, בעלת $n = 2$ ואנרגיה $E_2 = E_1/2^2 = -\pu{3.401eV}$. ![[Pasted image 20250929200808.png|bookhue|300]]^figure-hydrogen-energy-levels >תרשים רמות אנרגיה עבור אטום המימן. מספרים קוונטיים נתונים משמאל, ואנרגיות (באלקטרון וולט) נתונות מימין. חצים אנכיים מייצגים את ארבעת המעברים הנמוכי האנרגיה עבור כל אחת מהסדרות הספקטרליות המוצגות. [[PHY3_000 פיזיקה 3 01140054#ביבליוגרפיה|(Serway et al., 2019)]]. [[#^figure-hydrogen-energy-levels|איור]] הוא תרשים רמות אנרגיה המציג את האנרגיות של מצבי האנרגיה הבדידים הללו כקווים אופקיים והמספרים הקוונטיים $n$ המתאימים. הרמה העליונה מתאימה ל-$n = \infty$ (או $r = \infty$) ו-$E = 0$. האנרגיה המינימלית הנדרשת ליינן את האטום במצב היסוד נקראת **אנרגיית יינון**. כפי שניתן לראות מ[[#^figure-hydrogen-energy-levels|איור]], אנרגיית היינון עבור מימן במצב היסוד, על בסיס החישוב של בוהר, היא $\pu{13.6eV}$. ממצא זה היווה הישג גדול נוסף עבור תיאוריית בוהר מכיוון שאנרגיית היינון עבור מימן כבר נמדדה כ-$\pu{13.6eV}$. ## חישוב תדירויות פליטה משוואות $\text{(SJ41.5)}$ ו-$\text{(SJ41.13)}$ יכולות לשמש לחישוב התדירות של הפוטון הנפלט כאשר האלקטרון עושה מעבר ממסלול חיצוני למסלול פנימי:

f = \frac{E_i - E_f}{h} = \frac{k_e e^2}{2a_0 h}\left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right) \tag{SJ41.15}

מכיווןשהכמותהנמדדתניסיוניתהיאאורךגלנוחלהשתמשבכדילבטאמשוואהאתבמונחיאורךגל

\frac{1}{\lambda} = \frac{f}{c} = \frac{k_e e^2}{2a_0 hc}\left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right) \tag{SJ41.16}

באופןמדהיםביטויזהשהואתיאורטילחלוטיןזההלצורההכלליתשלהיחסיםהאמפירייםשהתגלועלידיבלמרורידברגונתוניםבמשוואותעד

\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right) \tag{SJ41.17}

בתנאי שהקבוע $k_e e^2/2a_0 hc$ שווה לקבוע רידברג שנקבע ניסיונית. זמן קצר לאחר שבוהר הדגים ששני הגדלים הללו מתאימות בדיוק של כ-$1\%$, עבודה זו הוכרה כהישג המכתיר של התיאוריה הקוונטית החדשה שלו של אטום המימן. >[!example] דוגמה: מעברים אלקטרוניים במימן > > >האלקטרון באטום מימן עושה מעבר מרמת אנרגיה גבוהה יותר לרמת היסוד ($n = 1$). מצאו את אורך הגל והתדירות של הפוטון הנפלט אם הרמה הגבוהה יותר היא $n = 2$. > >**פתרון:** > >נשתמש במשוואה $\text{(SJ41.17)}$ לקבלת $\lambda$, עם $n_i = 2$ ו-$n_f = 1$: > >$$ > \frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) = R_H \cdot \frac{3}{4} > $$ > >$$ > \lambda = \frac{4}{3R_H} = \frac{4}{3 \times 1.097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}} = 1.22 \times 10^{-7} \text{ m} = 122 \text{ nm} > $$ > >התדירות של הפוטון: >$$ > f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3.00 \times 10^8 \text{ m/s}}{1.22 \times 10^{-7} \text{ m}} = 2.47 \times 10^{15} \text{ Hz} > $$ > >אורך הגל של $122$ ננומטר נמצא באזור האולטרה-סגול של הספקטרום האלקטרומגנטי. ## עקרון ההתאמה של בוהר אתם כנראה עדיין לא נוחים עם הנחות בוהר. למשל, למה האלקטרון לא מקרין? ומהיכן מגיעה ההנחה של קוונטיזציית המומנט הזוויתי? במציאות, קוונטיזציית המומנט הזוויתי נובעת מ**עקרון ההתאמה של בוהר**. במחקר שלנו על היחסות, מצאנו שהמכניקה הניוטונית היא מקרה מיוחד של מכניקה יחסותית וניתנת לשימוש רק עבור מהירויות קטנות בהרבה מ-$c$. באופן דומה, במכניקה הקוונטית: >[!def] עקרון ההתאמה של בוהר: > >הפיזיקה הקוונטית מתאימה לפיזיקה הקלאסית כאשר ההפרש בין הרמות המקוונטות הופך לזעיר אינסופית. עקרון זה, שהוצג לראשונה על ידי בוהר, נקרא **עקרון ההתאמה**. לדוגמה, נבחן אלקטרון המקיף את אטום המימן עם $n > 10,000$. עבור ערכים גדולים כאלה של $n$, הפרשי האנרגיה בין רמות סמוכות מתקרבים לאפס; לכן, הרמות כמעט רציפות. כתוצאה מכך, המודל הקלאסי מדויק באופן סביר בתיאור המערכת עבור ערכים גדולים של $n$. # המודל הקוונטי של אטום המימן בפרק הקודם, תיארנו כיצד מודל בוהר רואה את האלקטרון כחלקיק המקיף את הגרעין ברמות אנרגיה מקוונטות שאינן מקרינות. מודל זה משלב מושגים קלאסיים (למשל, מסלולים עגולים ברדיוס קבוע) ומושגים קוונטיים (למשל, אנרגיות מקוונטות ומומנטים זוויתיים מקוונטים). למרות שהמודל מדגים התאמה מצוינת עם חלק מהתוצאות הניסיוניות, הוא אינו יכול להסביר אחרות. בעיות אלו נפתרות כאשר משתמשים במודל קוונטי מלא הכולל את משוואת שרדינגר לתיאור אטום המימן. ההליך הפורמלי לפתרון בעיית אטום המימן הוא להציב את פונקציית האנרגיה הפוטנציאלית המתאימה במשוואת שרדינגר, למצוא פתרונות למשוואה, ולהחיל תנאי שפה כפי שעשינו עבור החלקיק בקופסה ב[[PHY3_003 מכניקה קוונטית א|פרק קודם]]. ## משוואת שרדינגר תלת-ממדית עבור מימן פונקציית האנרגיה הפוטנציאלית עבור אטום המימן היא זו הנובעת מהאינטראקציה החשמלית בין האלקטרון לפרוטון:

\boxed{U_E(r) = -\frac{k_e e^2}{r}} \tag{SJ41.20}

כאשרהואקבועקולוןוהואהמרחקהרדיאלימהפרוטוןהממוקםבלאלקטרוןהמתמטיקהעבוראטוםהמימןמורכבתיותרמזושלהחלקיקבקופסהמשתיסיבותעיקריותהאטוםהואתלתממדיאינהקבועהאלאתלויהבקואורדינטההרדיאליתאםמשוואתשרדינגרהבלתיתלויהבזמןמורחבתלקואורדינטותמלבניותתלתממדיותהתוצאההיא

-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}\right) - \frac{k_e e^2}{r}\psi = E\psi

מכיוון ש-$r$ במשוואה זו הוא שילוב של $x$, $y$ ו-$z$, קל יותר לפתור משוואה זו עבור אטום המימן אם קואורדינטות מלבניות מומרות ל**קואורדינטות קוטביות כדוריות**. ![[Pasted image 20250929205643.png|bookhue|400]]^figure-spherical-coordinates >נקודה P במרחב ממוקמת באמצעות וקטור מיקום $\mathbf{r}$. בקואורדינטות קרטזיות, הרכיבים של וקטור זה הם $x$, $y$ ו-$z$. בקואורדינטות קוטביות כדוריות, הנקודה מתוארת על ידי $r$, המרחק מהמקור; $\theta$, הזווית בין $\mathbf{r}$ לציר ה-$z$; ו-$\phi$, הזווית בין ציר ה-$x$ להקרנה של $\mathbf{r}$ על מישור ה-$xy$. [[PHY3_000 פיזיקה 3 01140054#ביבליוגרפיה|(Serway et al., 2019)]]. בקואורדינטות קוטביות כדוריות, נקודה במרחב מיוצגת על ידי שלושת המשתנים $r$, $\theta$ ו-$\phi$, כאשר $r$ הוא המרחק הרדיאלי מהמקור:

r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

המרתמשוואתשרדינגרהתלתממדיתהבלתיתלויהבזמןעבורלצורההמקבילהעבורהיאפשוטהאבלמייגעתמאודשלושתמשתניהמרחבביכוליםלהיותמופרדיםבאופןדומהעלידיכתיבתפונקצייתהגלכמכפלהשלפונקציותשלכלמשתנהבודד

\boxed{\psi(r,\theta,\phi) = R(r)f(\theta)g(\phi)}

בדרךזומשוואתשרדינגרשהיאמשוואהדיפרנציאליתחלקיתתלתממדיתיכולהלהיותמומרתלשלושמשוואותדיפרנציאליותרגילותנפרדותאחתעבוראחתעבורואחתעבורכלאחתמהפונקציותהללוכפופהלתנאישפהלדוגמהחייבתלהישארסופיתכאשרוחייבתלקייםכאשרהסטהמלאשלתנאיהשפהמוחלעלכלשלושהפונקציותנמצאיםשלושהמספריםקוונטייםשוניםעבורכלמצבמותרשלאטוםהמימןאחדעבורכלאחתמהמשוואותהדיפרנציאליותהנפרדותמספריםקוונטייםאלהמוגבליםלערכיםשלמיםומתאימיםלשלושדרגותהחופשהבלתיתלויותשלושהממדימרחבהמספרהקוונטיהראשוןהקשורלפונקציההרדיאליתנקראהמספרהקוונטיהראשיומסומןמתנאיהשפההאנרגיותשלהמצביםהמותריםעבוראטוםהמימןנמצאותקשורותלבאופןהבא

\boxed{E_n = -\frac{k_e e^2}{2a_0}\frac{1}{n^2} = -\frac{13.606 \text{ eV}}{n^2} \quad n = 1, 2, 3, \ldots} \tag{SJ41.21}

תוצאה זו נמצאת בהתאמה מדויקת לזו שהתקבלה בתיאוריית בוהר! התאמה זו מדהימה מכיוון שתיאוריית בוהר והתיאוריה הקוונטית המלאה מגיעות לתוצאה מנקודות התחלה שונות לחלוטין. **המספר הקוונטי המסלולי**, המסומן $\ell$, בא מהמשוואה הדיפרנציאלית עבור $f(\theta)$ וקשור למומנט הזוויתי המסלולי של האלקטרון. **המספר הקוונטי המגנטי המסלולי** $m_\ell$ נובע מהמשוואה הדיפרנציאלית עבור $g(\phi)$. החלת תנאי השפה על שלושת החלקים של פונקציית הגל המלאה מובילה ליחסים חשובים בין שלושת המספרים הקוונטיים וכן להגבלות מסוימות על ערכיהם: >[!def] הגבלות על הערכים של המספרים הקוונטיים: > >- **הערכים של $n$**: מספרים שלמים שיכולים לנוע בטווח מ-$1$ עד $\infty$. >- **הערכים של $\ell$**: ברגע ש-$n$ נקבע, הערכים של $\ell$ הם מספרים שלמים שיכולים לנוע מ-$0$ עד $n-1$. >- **הערכים של ${m}_{\ell}$**: ברגע ש-$\ell$ נקבע, הערכים של $m_\ell$ הם מספרים שלמים שיכולים לנוע מ-$-\ell$ עד $+\ell$. לדוגמה, אם $n = 1$, רק $\ell = 0$ ו-$m_\ell = 0$ מותרים. אם $n = 2$, אז $\ell$ יכול להיות $0$ או $1$; אם $\ell = 0$, אז $m_\ell = 0$; אבל אם $\ell = 1$, אז $m_\ell$ יכול להיות $1$, $0$ או $-1$. | מספר קוונטי | שם | ערכים מותרים | מספר מצבים מותרים | | ----------- | ------------------------ | ------------------------------------------------- | ----------------- | | $n$ | מספר קוונטי ראשי | $1, 2, 3, \ldots$ | כל מספר | | $\ell$ | מספר קוונטי מסלולי | $0, 1, 2, \ldots, n-1$ | $n$ | | $m_\ell$ | מספר קוונטי מגנטי מסלולי | $-\ell, -\ell+1, \ldots, 0, \ldots, \ell-1, \ell$ | $2\ell + 1$ | מסיבות היסטוריות, כל המצבים בעלי אותו מספר קוונטי ראשי נאמרים ליצור **קליפה**. קליפות מזוהות באותיות $\mathrm{K},\mathrm{L},\mathrm{M},\dots$ המציינות את המצבים שעבורם $n = 1, 2, 3, ...$. | $n$ | סימון קליפה | | --- | ------------ | | $1$ | $\mathrm{K}$ | | $2$ | $\mathrm{L}$ | | $3$ | $\mathrm{M}$ | | $4$ | $\mathrm{N}$ | | $5$ | $\mathrm{O}$ | | $6$ | $\mathrm{P}$ | באופן דומה, כל המצבים בעלי אותם הערכים של $n$ ו-$\ell$ יוצאים **תת-קליפה**. האותיות $s,p,d,f,g,h,\dots$ משמשות לציון תת-קליפות שעבורן $\ell = 0, 1, 2, 3, ...$. | $\ell$ | סימון תת-קליפה | | ------ | -------------- | | $0$ | $s$ | | $1$ | $p$ | | $2$ | $d$ | | $3$ | $f$ | | $4$ | $g$ | | $5$ | $h$ | **דוגמאות לסימון**: - המצב המסומן $3p$ בעל המספרים הקוונטיים $n = 3$ ו-$\ell = 1$. - המצב $2s$ בעל המספרים הקוונטיים $n = 2$ ו-$\ell = 0$. מצבים המפרים את הכללים אינם קיימים (הם אינם מקיימים את תנאי השפה על פונקציית הגל). לדוגמה, המצב $2d$, שהיה בעל $n = 2$ ו-$\ell = 2$, אינו יכול להתקיים מכיוון שהערך הגבוה ביותר המותר של $\ell$ הוא $n-1$, שבמקרה זה הוא $1$. >[!example] דוגמה: רמת $n = 2$ של מימן > > >עבור אטום מימן, קבעו את המצבים המותרים התואמים למספר הקוונטי הראשי $n = 2$ וחשבו את האנרגיות של מצבים אלה. > >**פתרון:** > >כאשר $n = 2$, $\ell$ יכול להיות $0$ או $1$: >- $\ell = 0 \implies m_\ell = 0$ >- $\ell = 1 \implies m_\ell = -1, 0, +1$ > >לכן, יש לנו: >- מצב אחד, המסומן כמצב $2s$, הקשור למספרים הקוונטיים $n = 2$, $\ell = 0$, $m_\ell = 0$ >- שלושה מצבים, המסומנים כמצבי $2p$, שעבורם המספרים הקוונטיים הם $n = 2$, $\ell = 1$ ו-$m_\ell = -1, 0, +1$ > >האנרגיה עבור כל ארבעת המצבים הללו עם $n = 2$: >$$ > E_2 = -\frac{13.606 \text{ eV}}{2^2} = \boxed { > -3.401 \text{ eV} > } > $$ >[!notes] הערה חשובה: > >הרמז במשוואה $\text{(SJ41.21)}$ שהאנרגיה תלויה רק במספר הקוונטי $n$ נכון רק עבור אטום המימן. עבור אטומים מורכבים יותר, רמות האנרגיה תלויות בעיקר ב-$n$, אבל הן גם תלויות במידה פחותה במספרים קוונטיים אחרים. # פונקציות הגל עבור מימן פונקציית הגל הפשוטה ביותר עבור מימן היא זו המתארת את המצב $1s$ ומסומנת $\psi_{1s}(r)$:

\boxed{\psi_{1s}(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}} \tag{SJ41.22}

כאשרהוארדיוסבוהרקשרמדהיםנוסףביןתיאורייתבוהרלתיאוריההקוונטיתשימולבשמתקרבתלאפסכאשרמתקרבלוהיאמנורמלתיתרעלכןמכיווןשתלויהרקבהיאסימטריתכדוריתסימטריהזוקיימתעבורכלמצביההסתברותמציאתהחלקיקבאזורכלשהושווהלאינטגרלשלצפיפותהסתברותעבורהחלקיקעלהאזורצפיפותההסתברותעבורהמצבהיא

|\psi_{1s}|^2 = \frac{1}{\pi a_0^3}e^{-2r/a_0} \tag{SJ41.23}

נוח להגדיר את **פונקציית צפיפות ההסתברות הרדיאלית** $P(r)$ כהסתברות ליחידת אורך רדיאלית למציאת האלקטרון בקליפה כדורית ברדיוס $r$ ועובי $\mathrm{d}r$. לכן, $P(r)\mathrm{d}r$ היא ההסתברות למציאת האלקטרון בקליפה זו. ![[Pasted image 20250929211229.png|bookhue|400]]^figure-spherical-shell >קליפה כדורית ברדיוס $r$ ועובי אינפיניטסימלי $dr$ בעלת נפח השווה ל-$4\pi r^2 dr$. [[PHY3_000 פיזיקה 3 01140054#ביבליוגרפיה|(Serway et al., 2019)]]. הנפח $dV$ של קליפה דקה כזו שווה לשטח הפנים שלה $4\pi r^2$ כפול עובי הקליפה $dr$ ([[#^figure-spherical-shell|איור]]), אז נוכל לכתוב הסתברות זו כ:

P(r)\mathrm{d}r = |\psi|^2 \mathrm{d}V = |\psi|^2 4\pi r^2 \mathrm{d}r

לכןפונקצייתצפיפותההסתברותהרדיאליתעבורמצבהיא

\boxed{P(r) = 4\pi r^2 |\psi|^2} \tag{SJ41.24}

הצבתמשוואהבמשוואהנותנתאתפונקצייתצפיפותההסתברותהרדיאליתעבוראטוםהמימןבמצבהיסוד

\boxed{P_{1s}(r) = \frac{4r^2}{a_0^3}e^{-2r/a_0}} \tag{SJ41.25}

![[Pasted image 20250929211348.png|bookhue|500]]^figure-hydrogen-probability >ב-(a) הסתברות מציאת האלקטרון כפונקציה של המרחק מהגרעין עבור אטום המימן במצב $1s$ (יסוד). (b) חתך במישור ה-$xy$ של ההתפלגות הכדורית של המטען האלקטרוני עבור אטום המימן במצב $1s$. [[PHY3_000 פיזיקה 3 01140054#ביבליוגרפיה|(Serway et al., 2019)]]. גרף של הפונקציה $P_{1s}(r)$ מול $r$ מוצג ב[[#^figure-hydrogen-probability|איור]]. השיא של העקומה מתאים לערך הכי סביר של $r$ עבור המצב הפרטיקולרי הזה. ניתן להראות ששיא זה מתרחש ברדיוס בוהר, המיקום הרדיאלי של האלקטרון כאשר אטום המימן במצב היסוד בתיאוריית בוהר - התאמה נוספת בין תיאוריית בוהר לתיאוריה הקוונטית. יש, כמובן, הבדלים מרכזיים בין תיאוריית בוהר לתיאוריה הקוונטית: 1. **מסלול קבוע מול ענן אלקטרונים**: תיאוריית בוהר טוענת שהאלקטרון נע במעגל שטוח דו-ממדי ברדיוס קבוע. התיאוריה הקוונטית אינה טוענת כך; האלקטרון יכול לנוע בכל מקום במרחב תלת-ממדי. 2. **גבול חד מול התפלגות הסתברות**: על פי המכניקה הקוונטית, לאטום אין גבול מוגדר בחדות כפי שמציעה תיאוריית בוהר. התפלגות ההסתברות מציעה שמטען האלקטרון יכול להיות ממודל כמפוזר ברחבי אזור במרחב, הנקרא בדרך כלל **ענן אלקטרונים**. 3. **קרינה**: מושג ענן האלקטרונים עוזר לנו להרגיש טוב יותר לגבי ההנחה של בוהר. היה קשה לדמיין שאלקטרון העובר תאוצה צנטריפטלית במסלול עגול לא יקרין. אבל לענן האלקטרונים בתיאוריה הקוונטית אין שינוי זמן בתדירות מסוימת. ההתפלגות של צפיפות ההסתברות קבועה בזמן, אז היא אינה מקרינה! >[!example] דוגמה: מצב היסוד של מימן > > >(א) חשבו את הערך הכי סביר של $r$ עבור אלקטרון במצב היסוד של אטום המימן. > >**פתרון:** > >הערך הכי סביר של $r$ מתאים למקסימום בגרף של $P_{1s}(r)$ מול $r$. נוכל להעריך את הערך הכי סביר של $r$ על ידי קביעת $dP_{1s}/dr = 0$ ופתרון עבור $r$. > >נגזור משוואה $\text{(SJ41.25)}$ ביחס ל-$r$ ונקבע את התוצאה לאפס: > >$$ > \frac{dP_{1s}}{dr} = \frac{d}{dr}\left[\frac{4r^2}{a_0^3}e^{-2r/a_0}\right] = 0 > $$ > >$$ > \frac{4}{a_0^3}e^{-2r/a_0}\left[2r - \frac{2r^2}{a_0}\right] = 0 > $$ > >$$ > 2r\left[1 - \frac{r}{a_0}\right] = 0 > $$ > >נקבע את הביטוי בסוגריים לאפס ונפתור עבור $r$: >$$ > 1 - \frac{r}{a_0} = 0 \implies r = a_0 > $$ > >הערך הכי סביר של $r$ הוא רדיוס בוהר! > >(ב) חשבו את ההסתברות שהאלקטרון במצב היסוד של מימן ימצא מחוץ לרדיוס בוהר. > >**פתרון:** > >ההסתברות נמצאת על ידי אינטגרציה של פונקציית צפיפות ההסתברות הרדיאלית $P_{1s}(r)$ עבור מצב זה מרדיוס בוהר $a_0$ עד $\infty$: > >$$ > P = \int_{a_0}^{\infty} P_{1s}(r)dr = \frac{4}{a_0^3}\int_{a_0}^{\infty} r^2 e^{-2r/a_0}dr > $$ > >באמצעות אינטגרציה חלקית והצבת גבולות: >$$ > P = 5e^{-2} = 0.677 \text{ או } 67.7\% > $$ > >הסתברות זו גדולה מ-50%. הסיבה לערך זה היא האסימטריה בפונקציית צפיפות ההסתברות הרדיאלית, שיש לה יותר שטח מימין לשיא מאשר משמאל. פונקציית הגל הפשוטה הבאה עבור אטום המימן היא זו התואמת למצב $2s$ ($n = 2$, $\ell = 0$). פונקציית הגל המנורמלת עבור מצב זה היא:

\psi_{2s}(r) = \frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\left(2 - \frac{r}{a_0}\right)e^{-r/2a_0} \tag{SJ41.26}

שוב, שימו לב ש-$\psi_{2s}$ תלויה רק ב-$r$ והיא סימטרית כדורית. האנרגיה התואמת למצב זה היא $E_2 = -(13.606 \text{ eV})/4 = -3.401 \text{ eV}$. רמת אנרגיה זו מייצגת את המצב המעורר הראשון של מימן. ![[Pasted image 20250929211749.png|bookhue|300]]^figure-radial-probability-comparison >פונקציית צפיפות ההסתברות הרדיאלית מול $r/a_0$ עבור מצבי $1s$ ו-$2s$ של אטום המימן. הגרף עבור המצב $2s$ בעל שני שיאים. [[PHY3_000 פיזיקה 3 01140054#ביבליוגרפיה|(Serway et al., 2019)]]. גרף של פונקציית צפיפות ההסתברות הרדיאלית עבור מצב זה בהשוואה למצב $1s$ מוצג ב[[#^figure-radial-probability-comparison|איור]]. הגרף עבור המצב $2s$ בעל שני שיאים. במקרה זה, הערך הכי סביר מתאים לאותו ערך של $r$ שיש לו את הערך הגבוה ביותר של $P(r)$, שהוא בערך $5a_0$, לא $4a_0$ כמו במודל בוהר. אלקטרון במצב $2s$ יהיה הרבה יותר רחוק מהגרעין (בממוצע) מאשר אלקטרון במצב $1s$. אם נבחן מצבים אחרים מלבד מצבי $s$, המצב מתחיל להיות יותר מסובך. עלינו לכלול את החלקים הזוויתיים של פונקציית הגל. לדוגמה, פונקציית גל של מצב $2p$ עם $m_\ell = \pm 1$:

\psi_{2p} = \frac{1}{8\sqrt{\pi}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\frac{r}{a_0}e^{-r/2a_0}\sin\theta e^{\pm i\phi}

פונקציותגלאלהמורכבותהרבהיותרממצביההפשוטיםמכיווןשהןתלויותלארקבאלאגםבקואורדינטותהזוויתיותוזהמוביללצורותמרחביותמורכבותיותרשלענניהאלקטרוניםשמאפיינותאתהמצביםהשוניםשלהאטום

עמודים המציינים את העמוד הזה