פנגייה

SLD2_003 טרנספורמציה של מאמצים

• זמן קריאה: 6 דק'

בטרמספורמציה של טנזור מאמץ הכוונה בייצוג של טנזור המאמץ במערכות צירים שונות.

טנזור הטרנספורמציה

בהינתן וקטור המיוצג במערכת , כך ש-. כלומר, הרכיבים והכיוונים נתונים. אנחנו מעוניינים לדעת מהם הרכיבים של אותו וקטור במערכת צירים “חדשה”/אחרת .

בעצם מה שאנחנו עושים כאן זה מציאת מטריצה דומה לטנזור תחת בסיס אחר.

נמצא את הרכיבים :

נסמן את המכפלה בסוגריים ב: , ולכן נוכל לרשום:

כאשר:

ל- אנו קוראים טנזור הטרנספורמציה, שזה בעצם מטריצת מעבר. בטנזור זה יש את המידע לגבי האוריינטציה (זווית) בין 2 מערכות הצירים, .

הערות:

  1. טנזור הטרנספורמציה לא בהכרח סימטרי!
  2. ניתן גם לבצע טרנספורמציה הפוכה, בעזרת הטנזור ההופכי, , כאשר:

טרנספורמציה הפוכה

נהפוך את הסימונים שלנו (ממשוואה (1)):

ונסיק כי:

בנוסף, טנזור הטרנספורמציה, כמו מטריצת המעבר, הפיך, וההופכי שלו הוא השחלוף שלו, :

לכן:

הגענו למסקנה שטנזור הטרנספורמציה הוא מטריצה מיוחדת, שהשחלוף שלה שווה להופכי שלה:

לטנזור/מטריצה כזאת אנו אומרים שהוא אורתונורמלי.

אינווריאנט

מאוד בדומה לשמורת דמיון, לטנזור מסדר שני שביצעו עליו טרנספורמציה קיימים אינווריאנטים - ערך שלא משתנה גם לאחר הטרנספורמציה.
האינוורינטים הבאים נכונים עבור טנזור סימטרי - בינהם טנזור המאמץ.

משפט:

  1. אינווריאנט העקבה:
  1. אינווריאנט שני:
  1. אינווריאנט הדטרמיננטה:

אינווריאנט נוסף שלפעמים מוזכר הוא:

תרגיל:
מצאו את הקבועים:

פתרון:
מסימטריות טנזור המאמץ נמצא כי:

ולכן:

מאחר וה- הוא אינווריאנט, אז מתקיים:

בנוסף, מתקיים לפי האינווריאנט השלישי:

לפי אינווריאנט שני:

ולכן:

טרנספורמציה של טנזור המאמץ

אנו יודעים כי:

אם אנחנו רוצים לייצג אותו במערכת :

מהנוסחאות שפיתחנו מקודם:

נציב במשוואה (2) שרשמנו בהתחלה:

ממשוואה (3) נוכל להסיק כי הביטוי לפני הוא . נרשום בצורת :

זה כמו דמיון מטריצות.
נזכור ש- הוא גם שחלוף של , ולכן:

דוגמה:

במקרה הדו ממדי:

נבצע טרנספורמציה של טנזור המאמץ במישור . במצב זה הרכיב לא ישתנה כי בעצמו לא ישתנה, כלומר .

ולכן:

אם נציב בנוסחה ל-, נקבל את מה שקיבלנו במאמצים מישוריים:

דוגמה:

נראה דוגמה לחישוב רכיב אחד ספציפי לאחר טרנספורמציה (מקרה כללי, תלת ממדי):

עבור :

או, למשל במקרה הדו ממדי:

סיבוב טנזור במצב מאמצים הידרוסטטי

הגדרה:

נאמר כי אנו במצב מאמצים הידרוסטטי אם הטנזור נתון כך:

אם נרצה לבצע סיבוב למצב מאמצים זה למערכת :

מהנוסחה לסיבוב (טרנספורמציה) למערכת כללי:

קיבלנו כי בכל מערכת , הטנזור ייראה אותו הדבר - במערכת ראשית.

תרגיל
מצאו את מצב המאמצים במערכת , כאשר :

פתרון:
הטנזור שלנו במערכת נראה כך:

נחשב את טנזור הטרנספורמציה שלנו:

ולכן:

נצייר:

תרגיל
נתון מצב המאמצים הבא (מצב מאמצים מישורי מוכלל):

מהם הרכיבים במערכת המסובבת בזווית סביב ציר ?
פתרון:

כמו בתרגיל הקודם:

נתחיל לחשב לפי הנוסחה:

תרגיל
נתונה פלטה (גוף דו-ממדי) בעלת קדח במרכזה. שפת הקדח הינה שפה חופשית. נקודה נמצאת על שפת הקדח בזווית של ביחס ל-.
בנקודה על מישור שכיוונו קיים מאמץ נורמלי בשיעור .

  1. מהו המאמץ הנורמלי על מישור שכיוונו בנקודה ?
    פתרון:
    נסובב את המערכת:

    מהנתון על השפה החופשית אנו יודעים כי:

    הטנזור שלנו לאחר הסיבוב הוא בעל צורה כללית:

    ומהנוסחה לוקטור מאמץ:

    ולכן הטנזור שלנו:

    אז מתקיים:

  2. מהו מאמץ הגזירה על מישור שכיוונו ?
    פתרון:

  3. מהו המאמץ הנורמלי המקסימלי הפועל בנקודה ?
    פתרון:
    נשים לב כי המערכת היא מערכת ראשית. לכן המאמץ המקסימלי הוא או או .
    נבטא את במערכת :

    הנוסחה לחישוב מאמץ נורמלי:

    אנחנו יודעים ש-, ולכן מתקיים:

    אזי:

  4. על איזה מישור פעול מאמץ הגזירה המקסימלי בנקודה ? הבע את תשובתך במערכת .
    פתרון:
    מסעיף קודם:

    ממאמץ גזירה מקסימלי, ניקח על המישורים של המאמצים האקסטרמליים, :

עמודים המציינים את העמוד הזה