פנגייה

DEQ1_006 משוואות לינאריות הומוגניות מסדר גבוה

• זמן קריאה: 8 דק'

מד”ר מסדר שני

כדי להתחיל לדון במד”ר מסדר , נצטרך להרחיב את מילון המושגים שלנו, והכי קל להתחיל במד”ר מסדר שני. לאחר מכן נכליל לסדר כלשהו.

נביט בצורת מד”ר לינארית מסדר שני כללית:

אם היא הומוגנית:

איך נפתור מד”ר כזו? נתחיל בדוגמה:

דוגמאות:

  1. המד”ר:

פתרון:
אנו צריכים למצוא פונקציות שנגזרתה השנייה גדולה פי 9 מהפונקציה המקורית. דוגמה טובה לכך היא :

נשים לב כי גם הפונקציה הבאה מקיימת את תנאי זה:

למעשה, גם הפונקציות הבאות הן פתרונות:

באופן כללי, כל פונקציה מהצורה:

היא פתרון למד”ר.

מה שלמדנו בדוגמה זו יכול להוביל אותנו לעיקרון מאוד חשוב:

עיקרון הסופרפוזיציה למד”ר מסדר שני

משפט:

אם ו- הם שני פתרונות למד”ר לינארית הומוגנית מסדר שני, אז

גם פתרון למד”ר עבור שרירותיים.

הערות:

  1. בגדול העיקרון הזה נכון למד”ר מכל סדר. ניתן הכללה של עיקרון זה בהמשך.

ניזכר שבאלגברה, פתרון ממ”ל הומוגנית הוא תמ”ו, וכיוון שהוא תמ”ו, אז יש לו בסיס, שצ”ל של כל וקטור בו הוא גם פתרון של הממ”ל.

אנחנו מצאנו שכאן מתקיים בדיוק אותו הדבר. מצאנו שני פתרונות למד”ר הומוגנית, וראינו שכל צירוף לינארי שלהם הוא גם פתרון. אבל מה זה אומר פונקציה שהיא צירוף לינארי של פונקציות אחרות? האם קבוצת הפתרונות שמצאנו באמת מכסה את כל הפתרונות של המד”ר? מה אם יש לנו תנאי התחלה?
רגע רגע רגע, אחד אחד, פרה פרה.

נגביל את עצמו בחזרה למד”ר מסדר שני, ונניח בינתיים שהדוגמאות של הפונקציות שנתונים באמת מכסים את כל הפתרונות של המד”ר:

בהינתן תנאי התחלה מסויימים, והעובדה כי יש לנו 2 נעלמים שאנו רוצים למצוא, נסיק כי אנו צריכים למצוא 2 משוואות שיעזרו לנו למצוא את ו-.

נמצא כי כאשר תנאי ההתחלה מגיעים בצורה הבאה:

אנו מקבלים ישירות את שתי המשוואות שלנו.

הערות:

  1. עבור מד”ר מסדר שני, אנו צריכים 2 תנאי התחלה - גם ערך של הפונקציה בנקודה מסוימת, וגם את הערך של הנגזרת של הפונקציה באותה נקודה.

דוגמאות:

  1. המד”ר ותנאי ההתחלה:

פתרון:
כבר מצאנו כי פונקציה מהצורה הבאה:

היא פתרון של המד”ר. נציב את תנאי ההתחלה:

ולכן הפתרון למד”ר הוא:

סבבה בגט.
נדבר עכשיו על הפתרון הכללי של המד”ר ההומוגני. אנו רוצים לדעת האם:

הוא הפתרון הכללי של המד”ר מסדר שני. אם הוא באמת כללי, הוא מקיים גם כל תנאי התחלה כללי:

ואז באמת נדע שכל פתרון למד”ר נוכל לרשום בצורה הזאת.
בואו נמצא את ה- שיקיימו את התנאים האילו:

חברה’. צר לי לבשר לכם שזוהי מערכת משוואות לינארית. ואפשר לכתוב אותה בצורה הבאה:

כאשר הנעלמים שלנו, ונסמן , אז יש לנו:

עכשיו אנחנו יכולים למצוא את ו- בכל מיני דרכים כמו כלל קרמר ועוד שטויות שאף אחד לא זוכר, אבל מה שחשוב כרגע זה המטריצה . אם הדטרמיננטה שלה היא אפס, אז היא לא הפיכה - משמע או שאין פתרון לממ”ל, או שיש אינסוף פתרונות.
בהמשך נרחיב על מה זה אומר שהדטרמיננטה הזאת מתאפסת. נתעסק במקרה בו . במצב זה, יש לממ”ל פתרון יחיד.

מה זה אומר? זה אומר שלכל תנאי התחלה, יש לנו קבועים כך שהפונקציה הבאה:

מהווה פתרון! מצאנו פתרון כללי למד”ר.
לדטרמיננטה קוראים וורונסקיאן, ולרוב מכלילים אותה ל- כללי:

וורונסקיאן

הגדרה:

עבור פונקציות , הוורונסיקאן שלהן מוגדר באופן הבא:

לסיכום:
אם באמת מצאנו שתי פונקציות המהוות פתרון למד”ר לינארית הומוגנית מסדר שני, ומתקיים כי לכל בקטע כלשהו, אז אכן מצאנו פתרון כללי למד”ר:

כאשר ל- אנו קוראים מערכת יסודית.
אבל מה לגבי כל החרטוטים מקודם על צירופים לינאריים ודטרמיננטה שהיא אפס וכל זה?

תלות לינארית של פונקציות

הגדרה:

נאמר כי שתי פונקציות הן תלויות לינארית בקטע , אם לכל , קיימים שונים מאפס כך ש:

באותו אופן, שתי פונקציות הן בלתי תלויות לינארית בקטע , אם לכל אם רק הקבועים מקיימים:

הערות:

  1. בקלות ניתן להרחיב את הגדרה זו ליותר משתי פונקציות, כמו באלגברה לינארית.
  2. במילים אחרות, כמו באלגברה לינארית, שתי פונקציות הן תלויות לינארית אם הן פרופורציונליות אחת לשנייה.

עכשיו קבלו קטע. אם מצאנו שני פתרונות בלתי תלויים לינארית למד”ר לינארית הומוגנית מסדר שני - אז מהווים בסיס למרחב הפתרונות של המד”ר.

יש דרך קלה למצוא אם פונקציות תלויות לינארית?

תלות לינארית וורונסקיאן

משפט:

יהי שתי פונקציות גזירות בקטע כלשהו.

  1. אם עבור כלשהו, אז תלויים לינארית בקטע .
  2. אם תלויים לינארית בקטע אז לכל בקטע .

הערות:

  1. אם זה לא אומר ש- תלויים לינארית! יכל להיות שתי פונקציות בלתי תלויות לינארית שעבורם הוורונסקיאן מתאפס.

עבור מד”רים מסויימים ישנה דרך אלטרנטיבית למצוא את הוורונסקיאן:

משפט אבל

משפט:

אם ו- הם שני פתרונות למד”ר:

כאשר רציפות בתחום , אזי הוורונסקיאן של שני הפתרונות הוא:

מסקנה ממשפט אבל

מסקנה:

אם ו- הם שני פתרונות למד”ר:

אז או ש- לכל , או ש- לכל .

תרגילים:

  1. עבור המד”ר: חשבו את .
    פתרון:
    ננרמל את המד”ר: בתחום מקדמי המד”ר רציפים ולכן לפי אבל: נקבל כי:

נוסחה כמסקנה מאבל

מסקנה:

אם פתרון של כאשר פונ’ רציפות בקטע כלשהו, אז הוא:

מד”ר מסדר גבוה

ניזכר בצורת המד”ר הלינארית הכללית:

הפתרון הכללי של המשוואה:

מק”י למשוואה מסדר גבוה

משפט:

תהי מד”ר הומוגנית:

אם ו- רציפות ב- המכיל את אז קיים פתרון יחיד למד”ר המקיים את תנאי ההתחלה:

וורונסקיאן מסדר גבוה

הגדרה:

עבור הפונקציות , הוורונסקיאן שלהן מוגדר באופן הבא:

תנאי למערכת יסודית

משפט:

תהי מד”ר לינארית הומוגנית:

כאשר רציפות סביב בקטע מסוים, ו- פתרונות שלה.
אם לכל ב- אז מהווים מערכת יסודית והפתרון הכללי נתון ע”י:

שיטות פתרון למד”ר הומוגנית מסדר גבוה

אלגוריתם: שיטת הורדת הסדר

בהינתן מד”ר לינארית הומוגנית מסדר שני:

נוכל למצוא את פתרונה, אם כבר נתון לנו פתרון אחד שלה - .

  1. נניח כי הפתרון שלנו יהיה מהצורה:
  2. נציב את במד”ר, ונקבל מד”ר חדשה מהצורה:
  3. אם נבצע הצבה פשוטה של נקבל מד”ר מסדר ראשון שאנו יודעים לפתור:
  4. לאחר שמצאנו את , נמצא את ע”י:
  5. קיבלנו את הפתרון שלנו:

תרגילים:

  1. המד”ר: נתון פתרון. מצאו פתרון כללי.
    פתרון:
    נסמ . לכן: נציב במד”ר: נסמן . נקבל: ג”א: קיבלנו: לכן הפתרון הכללי:

אלגוריתם: משוואה לינארית עם מקדמים קבועים

עבור מד”ר לינארית הומוגנית עם מקדמים (ממשיים) קבועים מהצורה:

נבצע את ההצבה:

ועבור הנגזרת ה- שלו:

נציב במד”ר:

נקבל את הפולינום אופייני של המשוואה:

וכעת פשוט נפתור את הפולינום.

עבור פתרון כלשהו של המשוואה, אם הוא מריבוי 1 וממשי, אז נסיק כי:

הוא פתרון של המד”ר.

אם הוא שורש מרוכב, כלומר מהצורה:

אז ניעזר בנוסחת אויילר כדי להסיק כי אם , אז:

הוא פתרון של המשוואה, ואם אז:

הוא פתרון של המשוואה.

אם מריבוי , אז:

הם פתרונות של המד”ר.

תרגילים:

  1. המד”ר: פתרון:
    פ”א: לכן הפתרון:
  2. המד”ר: פתרון:
    פ”א: ולכן פתרון המד”ר:
  3. מצאו ביטוי כללי לפתרון של החלק ההומוגני של המשוואה: פתרון:
    הפ”א: כלומר, מריבוי 3, מריבוי 2, וששת פתרונות המשוואה . לכן הפתרון הכללי:

עמודים המציינים את העמוד הזה