DVI1_E2020SA 2020 אביב מועד א'

שאלה 1

נתון:

הערה:

בשאלה עצמה זה , אבל הוא סימון שאני משתמש בו לאמפליטודה של התגובה, אז אני מסמן את צד ימין ב- במקום.

סעיף א’

נניח:

נישאר עם המשוואה:

נפעל לפי [[DVI1_002 רטט חופשי של מערכת בדרגת חופש אחת#תרגיל 2#סעיף ד’|תרגיל מתרגול]]. נסמן את כוח הריסון ב-:

לפי שיטת האיזון האנרגטי, העבודה שמבצע כוח הדיסיפציה במחוזר אחד שווה לאיבוד האנרגיה הקינטית במחזור אחד. נחשב את עבודת כוח הדיסיפציה במחזור אחד, כלומר בין ל- (כאשר ):

נניח ש:

• ניתן לקרב את התגובה המרוסנת של המערכת באמצעות פונקציה סינוסואידית: לכן הנגזרת:
• אמפליטודת התנודות דועכת לאט. לכן:

בנוסף, מאחר ואנו מבצעים אינטגרציה על פונקציה מחזורית בזמן מחזור, לפאזה אין השפעה על האינטגרל, כך שנוכל ל”התעלם” ממנה. ניעזר באינטגרלים נפוצים כדי למצוא שכאשר נציב הנחות אלו ב- נקבל:

כאשר יכלנו להוציא את מהאינטגרלים כי אנו מניחים שדעיכת האמפליטודה זניחה.

כעת נחשב את האנרגיה הפוטנציאלית בתחילת ובסוף המחזור. בהנחה ויש נקודת קיצון ב- כללי, האנרגיה הפוטנציאלית:

נשים לב שמפני ש- (המקדם של ) במשוואות התנועה של המערכת, מתקבל ביטוי שתלוי באופן פשוט באמפליטודה (אחרת זה היה למשל ).
נפתח את האנרגיה הפוטנציאלית לאחר זמן מחזור בטור טיילור:

הפרש האנרגיות המתקבל:

השינוי באנרגיה הפוטנציאלית הוא כתוצאה מעבודת הכוח הבלתי משמר. כלומר, :

סעיף ב’

נניח כעת:

כעת המשוואה:

נבנה מערכת זהה רק עם ריסון לינארי:

לפי משפט תגובת התדירות, התגובה תהיה מהצורה:

נשים לב ש:

לפי ריסון לא לינארי, העבודה של הריסון השקול תהיה מהצורה:

מסעיף קודם, , העבודה של המערכת הלא לינארית:

נשווה ביניהם:

נציב צורת הפתרון שלנו בחזרה למערכת עם הריסון השקול:

נחלק ב- ונישאר עם:

נעלה בריבוע:

סעיף ג’

נביט בכוח הריסון:

לפי משוואת ריילי ומחזורי גבול, כדי ליצור מחזור גבול יציב אנו רוצים שבמהירויות גבוהות הרכיב שלוקח אנרגיה מהמערכת יהיה דומיננטי. כלומר, נרצה ש- . לעומת זאת, אנו רוצים שבמהירויות קטנות הרכיב שמכניס אנרגיה למערכת יהיה דומיננטי. כלומר, נרצה ש- . כדי לקבל מחזור גבול לא יציב נהפוך את התנאים.

סעיף ד’

על מנת לקבל מחזור גבול (תגובה סטציונרית) נדרוש מאזן בין הכוח שמכניס אנרגיה למערכת לבין האנרגיה שיוצאת בדיסיפציה ע”י הכוח הדיסיפטיבי. בסעיפים קודמים כבר חישבנו את האנרגיה מכל אחד מהרכיבים בכוח הריסון (משוואה ):

נרצה לדעת מתי העבודה מתאפסת:

כאשר נשים לב ש- ו- בסימנים הפוכים ולכן ממשי.

סעיף ה’

כמו ב[[#שאלה 1#סעיף ג’|סעיף ג’]].

שאלה 2

נתונים:

כאשר .

סעיף א’

נמצא את נקודות שיווי המשקל ( וגם ). נציב במשוואות התנועה:

נשים לב שאחת מנקודות שיווי המשקל תהיה פשוט ו- . נבצע לינאריזציה למערכת. נסמן:

לכן:

נוכל כעת לרשום את המערכת באופן מטריצי:

נגזור ונציב נקודת שיווי משקל:

נחקור יציבות:

לפי מטריצת ראות’-הורוביץ, במקרה של פולינום ממעלה רביעית, השורשים יהיו שליליים (ואז הנקודת שיווי משקל יציבה) אם:

במקרה שלנו:

אני לא הולך להציב את זה.

סעיף ב’

נניח כעת:

נציב במקדמי הפולינום האופייני מסעיף קודם:

לכן בשביל יציבות צריך להתקיים:

וגם:

וגם:

נסיק שסף הפרפור מתרחש ב- .

שאלה 3

סעיף א’

לפי משוואת התנועה של מוט במתיחה:

במקרה שלנו אין כוח חיצוני ואנו גם מניחים שהתכונות אחידות:

נרשום בצורה של משוואת גלים:

נסמן ונקבל:

נפרק לכל אחד מהמוטות:

מבחינת תנאי שפה, מצד שמאל יש ריתום ולכן:

באמצע, מרציפות:

מצד ימין, נבנה דג”ח דיפרנציאלי:

דג”ח דיפרנציאלי על צד ימין של הקורה.

נסיק משקול כוחות ש- (ניתן גם פשוט להיעזר בטבלה 9.1):

מאחר ויש לנו שני תנאי שפה זהים, נצטרך עוד אחד כדי לדעת לפתור את הבעית שטורם-ליוביל. נשים לב שהכוחות בקו התפר גם חייבים להיות שווים (לפי חוק שלישי):

סעיף ב’

לפי הפרדת משתנים, נניח :

ונקבל עבור את המד”ר:

הערה:

אנו מניחים כאן שעבור שני התחומים קיימים אותם התדירויות הטבעיות . אחרת, לא תהיה רציפות בתפר ביניהם. בכל זאת, בכל אחד מהאזורים עדיין יהיה את המהירות גל המתאימה אליו.

מבחינת התנאי שפה הימני:

מבחינת תנאי השפה על הכוחות בתפר:

נסכם שתנאי השפה:

בכל אחד מהמקרים ננסח את המשוואה האופיינית ע”י הצבת הפתרון הכללי בחזרה במד”ר. הפתרון הכללי של המד”ר הוא מהצורה:

נציב את פתרון כללי זה בכל אחד מתנאי השפה ונקבל מערכת משוואות שנוכל לרשום מטריצית:

כיוון שאנו לא מעוניינים בפתרון הטריוויאלי, כל פתרון שכן מעניין אותנו יאפס את הדטרמיננטה לעיל. כלומר, בהנחה ונסמן אותה , היא חייבת לקיים:

נקבל פולינום של , שממנו נוכל לחלץ ערכי , ולפיכך לקבל את התדירויות העצמיות של המערכת. מהצבת אלו בחזרה ב-, ניתן יהיה למצוא את המקדמים עבור כל אחת מה-, ולפיכך למצוא את .