DVI1_E2022WA 2022 חורף מועד א'

שאלה 1

באמצעות ניסוח לגראנז’, המיקום של מרכז המסה של הoמוט:

נגזור:

נחשב את האנרגיה קינטית:

נתון לנו ש- , ונשים לב גם שהמהירות הזוויתית של המסה היא פשוט . לכן:

הביטוי בסוגריים הוא למעשה המומנט אינרציה של המסה סביב הנקודה הנייחת , אז נסמן , ונוכל לרשום:

האנרגיה הפוטנציאלית מורכבת מהאנרגיה הכבידתית והאנרגיה של הקפיץ:

לכן הלגראנז’יאן:

נציב במשוואות לגראנז’ (כאשר נזכור ש- ולכן ):

סעיף ב’

ננתח את נקודת שיווי המשקל . נסמן:

נוכל כעת לרשום:

נגזור ונציב את נקודת שיווי המשקל:

כלומר נקבל את משוואות התנועה לאחר לינאריזציה:

ניתן היה גם לראות זאת אם פשוט היינו מציבים במשוואות התנועה.
ננתח ערכים עצמיים של :

לפי רטט חופשי, נסיק שכאשר נקבל נקודת אוכף (), וכאשר נקבל תגובה תונדת טהורה ().

סעיף ג’

נמצא מתי :

נישאר עם המשוואה השנייה:

נשרטט את גרפית כל אגף במשוואה לעיל בתחום :

שני אגפי המשוואה כאשר .

נסיק כי יש שלושה (אחד בצד ימין, אחד ב-, ואחד בצד שמאל) נקודות שיווי משקל כאשר . נישאר עם שיווי משקל יחיד ב- אחרת.

סעיף ד’

במידה ו- , נקבל לפי [[#שאלה 1#סעיף ב’|סעיף ב’]] שיש ב- נקודת אוכף. לגבי הנקודות שיווי משקל החדשות, אם ניקח למשל את הימנית (נסמנה ), המערכת לאחר לינאריזציה:

נחקור את הערכים העצמיים:

נזכור כי , כך שיוצא שהביטוי בתוך הסוגריים שלילי. לפיכך, התנודות סביב נקודת שיווי משקל זו טהורות לחלוטין (). נסיק שזה גם המצב עבור .

סעיף ה’

נצטרך כעת להתייחס לכוח הריסון והמומנט.

דג”ח על המוט הכולל כוחות לא משמרים.

מבחינת כוח הריסון, נסמן את המרחק מנקודת הפעלת הכוח לציר המרסן ב-. כוח הריסון פרופורציוני לקצב שינוי האורך (כלומר, המהירות) שלו:

ניתן למצוא כי:

לכן הגודל שלו:

נסמן וגם . לכן:

נגזור כדי לקבל קצב השינוי של אורך זה:

נמצא את כיוון (שזה כיוון הכוח הריסון):

לכן הכוח:

נוכל כעת לחשב את הכוח המוכלל (כאשר נסמן את מיקום קצה הזרוע ב- ):

נוכל גם להציב את :

לכן, ממשוואה , משוואות התנועה הן כעת:

סעיף ו’

נגדיר , וננרמל בזמן, :

נחלק ב-, נסמן :

נסמן :

נסמן וגם :

סעיף ז’

לפי הקירובים הנתונים:

סעיף ח’

עם ההנחה ש- , נציע פתרון מהצורה:

תחת ההנחה שהאמפליטודה משתנה בקצב איטי, נסיק כי:

ולכן השינוי באנרגיה הפוטנציאלית במחזור זמן יחיד הוא:

נשים לב שכוח הריסון הוא:

לכן העבודה במחזור אחד של כוח זה:

נציב את צורת הפתרון שלנו:

לפי אינטגרלים נפוצים, נסיק כי:

משימור אנרגיה, , ולכן:

זוהי משוואה פרידה. נפתור אותה:

סעיף ט’

מ- :

נבנה מערכת עם ריסון שקול:

עבור , נציע פתרון מהצורה:

אנו יודעים מריסון לא לינארי שהעבודה של הריסון הלא שקול תהיה במקרה זה:

נשווה בין עבודה זו לעבודה של הריסון הלא לינארי :

סעיף י’

נתון כעת:

נוכל להחשיב כעת את מומנט זה ככוח ריסון, כך ש:

העבודה של כוח ריסון זה (בעזרת ):

כאשר הוא קבוע כלשהו.

כדי שהמחזורי גבול יהיו יציבים, צריך שהכוח ש-מכניס אנרגיה למערכת יהיה דומיננטי רק באמפליטודות נמוכות. כוח זה הוא העירור החיצוני, שהעבודה שלו היא הביטוי . לפיכך, נרצה ש- , כלומר, .
כדי שבכלל יהיה מחזור גבול אנו צריכים ש-, שזה אומר ש- .

סעיף יא’

לא נראה לי זה בחומר.

שאלה 2

סעיף א’

נחשב את האנרגיה הקינטית של כלל המערכת. את האנרגיה הקינטית של מסה נחשב סביב הנקודה הקבועה , ואת של מסה נחשב סביב מרכז המסה שלה.

נוכל להגדיר מומנט אינרציה של המוט והדסקה , כך ש:

מבחינת האנרגיה הפוטנציאלית, נשים לב שכעת יש לנו שתי מסות ושני קפיצים:

סעיף ב’

לפי משוואות לגראנז’:

נציב את :

נסדר טיפה:

סעיף ג’

נבצע לינאריזציה סביב נקודת שיווי המשקל . הביטוי הלא לינארי היחיד שיש לנו הוא , אז נציב ב- ונקבל:

נגדיר:

נגדיר גם:

ונוכל לרשום את משוואות התנועה בצורה המטריצית:

כאשר:

סעיף ד’

נתון כעת:

וגם:

מאורתוגונליות של מודים, משוואה , אנו יודעים ש:

בהנחה ו- היא מהצורה (אנו יכולים לומר זאת כי זה וקטור עצמי, נוכל תמיד להכפילו בסקלר):

נסיק כי:

את התדרים העצמיים נוכל למצוא ממשוואה :

נחשב כל אחד מהמונים והמכנים:

לכן התדירויות:

סעיף ה’

נתון כעת:

הפתרון במצב מתמיד יהיה מהצורה:

נציב בחזרה ב- עם המטריצה , לאחר חילוק ב- :

נוכל לרשום את משוואות אלו גם בצורה:

נשים לב ש:

נציב בחזרה ב-:

נבודד את :

נרצה לדעת מתי המוט לא יזוז, כלומר :

הערה:

נראה לי יש שגיאות מתמטיות עם צורת הוכחה זו.

שאלה 3

סעיף א’

לפי משוואות תנועה של קורת אויילר-ברנולי, בהנחה ותכונות החומר אחידות:

במקרה שלנו אין כוחות חיצוניים. נרשום גם בצורה של משוואת גלים:

מבחינת תנאי שפה, בצד שמאל יש ריתום, כך שהוא לא זז ולא מסתובב:

בצד ימין יש קפיץ אנכי, מסה וקפיץ פיתול. לפי טבלה 11.1:

סעיף ב’

נחלק את המד”ח ב- ונקבל משוואת גלים:

כאשר . נבצע הפרדת משתנים - נניח פתרון מהצורה . נציב בחזרה במד”ח :

נציב גם בתנאי השפה :

ו-:

נציב את :

נסמן:

נציב ב-, ונרשום את כל תנאי השפה בצורה מסודרת:

נסמן גם , כך שהפתרון של המד”ר עבור הוא מהצורה:

כביכול מפה בדרך כלל בונים מטריצה מהצבת פתרון זה בתנאי השפה, אבל כיוון שתנאי השפה השמאליים במקרה זה יחסית פשוטים, נוכל ישירות לשים לב מההצבה ש:

לכן הפתרון כעת יהיה מהצורה:

נציב אותו בתנאי שפה הנותרים כדי לקבל המטריצה :

מכיוון שאנו מעוניינים בפתרונות לא טריוויאליים, נדרוש שהדטרמיננטה של המטריצה לעיל תתאפס. נקבל מכך משוואה אופיינית, שהשורשים שלה עבור (שנסמנם ) ייתנו לנו את התדירויות העצמיות (לפי הגדרת ). בעזרת נוכל גם להציב בחזרה במשוואה לעיל, כל פעם אחר, כדי לקבל פתרון מפורש ל- ו-, מה שייתן לנו את המוד העצמי .