DYN1_004 קינמטיקה של מערכת גופים קשיחים

מפרקים - חיבורים בין גופים קשיחים

מכניזם (Elata, 2002) הוא מערכת של גופים קשיחים הקשורים זה לזה (ולמרחב המוחלט) בנקודות ממשק. הממשק מגדיר את התנועה היחסית האפשרית בין הגופים. ברגע יש לשני גופים ו- נקודת השקה . נציין נקודות חומריות ו- השייכות לכל אחד מהגופים בהתאמה, ואשר נמצאות במיקום זהה לנקודת ההשקה . באותו רגע המהירות של כל אחת מהנקודות החומריות היא , התאוצה של כל אחת מהנקודות החומריות היא ו-, וקצב הסיבוב של כל אחד מהגופים הוא ו- בהתאמה.
נציין את המהירות היחסית, התאוצה היחסית, ואת קצב הסיבוב היחידי בין שתי הנקודות חומריות באופן

נגדיר כעת מספר תנאי השקה בין שני גופים:

ממשק קינמטי	תנועה יחסית בין הגופים	הערות
הצמדה מלאה
פרק כדורי
ציר קבוע		כיוון של הציר קבוע ביחס לגופים
גלגול ללא החלקה		שני הגופים במגע לאורך קו ישר או בנקודה, ו- ניצב לפני שני הגופים בכל נקודת מגע
החלקה בין מישורים		הכיוון הוא כיוון מישור המגע
החלקה צירית טהורה		החלקה לאורך מוט לא עגול שכיוונו קבוע ביחס לגופים
החלקה על מוט עגול		כיוון המוט הוא
החלקה דרך פרק כדורי

דוגמה: גלגל על מישור

נתונים:

מקשרי גוף קשיח:

ברגע זה, כיוון הנורמל והמשיק הם:

נשים לב כי אכן שני הגופים שומרים מגע:

• במצב של גלגול טהור (גלגול ללא החלקה), יתקיים , כלומר:

• במקרה בו , מרכז הסיבוב הרגעי ב-.
• אם , אז , ומרכז הסיבוב הרגעי הוא מתחת ל- (כמו בלימה ברכב).
• אם , אז , ומרכז הסיבוב הרגעי נמצא על הקטע (כמו האצה מוגזמת של סיבוב הגלגל).

כאשר גופים קשיחים מחוברים יש להם דרגות חופש. יש צורך בשישה תנאים גאומטריים לכל גוף בכדי לקבוע את מצבו בכל רגע (מיקום בכל רגע, או מיקום נתון ומהירות בכל רגע, או מיקום ומהירות ברגע נתון ותאוצה בכל רגע).

בבעיות מישוריות לכל גוף קשיח יש שלוש דרגות חופש. כל חיבור צירי מהווה שני אילוצים קינמטיים.

תרגילים

שאלה 1

גלגל בעל רדיוס מתגלגל ללא החלקה על מישור אופקי. המוט הקשיח שאורכו כקוטר הגלגל מחובר אל הגלגל באמצעות ציר בנקודה . הגלגל נע במהירות זוויתית ותאוצה זוויתית . מתקיים .

סכימת הגלגל

סעיף א’

מה הן המהירות והתאוצה המוחלטות של הנקודה ברגע המתואר באיור?
פתרון:
אנו יודעים כי:

נשים לב ש- מחושבים בין שתי נקודות על אותו הגוף הקשיח. בנוסף, כי זהו גלגול ללא החלקה. לכן:

כאשר הוא המהירות הזוויתית של מוט , ו- הוא המהירות הזוויתית של הגלגל, שהיא נתונה. נשים לב ש:

נציב בחזרה בביטוי עבור , כאשר נשים לב שהנקודה יכולה לנוע רק בכיוון :

מהשוואת מקדמים (שני נעלמים, שתי משוואות):

ולכן:

נעבור כעת לתאוצה:

נשים לב ש- . נפתח כל ביטוי בנפרד:

אנו יודעים ש:

נציב בביטוי ל- ונקבל לאחר הרבה אלגברה (כאשר נזכור ש- ):

סעיף ב’

מהו מיקום ציר הסיבוב הרגעי של המוט ברגע המתואר באיור?
פתרון:
לפי הנוסחה למציאת ציר בורגי רגעי, תהי נקודה על הגוף הקשיח:

ולכן (אם היא ראשית הצירים שלנו):

תרגיל 2

קונוס מתגלגל ללא החלקה על דסקה שמסתובבת במהירות זוויתית קבועה סביב ציר אנכי. הקונוס ממוסב על מוט מכופף אשר מסתובב במהירות זוויתית קבועה סביב הציר האנכי. מתקיים כי . כמו כן, מתקיים כי המוט נמצא בזווית קבועה ביחס למישור הדסקה. מערכת הינה מערכת צירים גלילית כך ש- .

סכימת הקונוס

סעיף א’

עבור :\

1. מצאו את המהירות הזוויתית המוחלטת של הקונוס.
2. מצאו את התאוצה הזוויתית המוחלטת של הקונוס.
3. מצאו את התאוצה של הנקודה החומרית הנמצאת בנקודה .
4. מצאו את ציר הסיבוב הרגעי של הקונוס.

פתרון:
נגדיר מערכות צירים:

1. נגדיר את המהירות הזוויתית של הקונוס (כגוף קשיח) כ-. נשים לב כי: כאשר היא המהירות הזוויתית של הקונוס סביב (הציר שלו).
   נתון כי זהו גלגול ללא החלקה: כאשר הוא עבור הקונוס, ו- הוא עבור הדסקה.
   עבור הקונוס (לפי גוף קשיח): נשים לב כי: ולכן (נקודה קבועה): עבור הדסקה: נשווה בין ה--ים שקיבלנו: ולכן:
2. נפעל לפי כלל האופרטור: כאשר: נקבל לאחר שימוש בטבלה ש:
3. לפי קשרי גוף קשיח: נשים לב כי: ואת ו- מצאנו בסעיפים קודמים. לכן, לאחר כל ההכפלות הוקטוריות:
4. מציר סיבוב רגעי, נמדוד מהנקודה : נקודה קבועה, כך שציר הסיבוב עובר דרכה. ניתן לראות זאת גם מהמשוואה שכתבנו. נחשב את : ולכן משוואת הציר: