FLD1_005 הידרוסטטיקה

משוואות וגבול ההידרוסטטיקה

הגבול ההידרוסטטי

נביט במשוואות נאוויה-סטוקס המנורמלות:

נאמר שאנו נמצאים תחת הגבול ההידרוסטטי כאשר:

1. מהירות הזורם קטנה מספיק כך שהאינרציה זניחה:
2. וגם שתהיה קטנה מהשפעות אי-צמיגות:

דוגמה:

מהו סדר גודל מהירות הנוזל המקסימלית עבורה נוכל להניח הידרוסטטיות?
נתון:

פתרון:
צריכים להתקיים שני התנאים. עבור אינרציית הזורם:

הצמיגות:

נסיק שכדי שני התנאים יתקיימו, נצטרך ש:

משוואות ההידרוסטטיקה

תחת הגבול ההידרוסטטי, אנו יכולים להניח שהנוזל נמצא במנוחה. במצב זה, כוחות הגוף, כמו גרביטציה, מאוזנים עם גרדיאנט הלחץ.

משפט:

משוואות ההידרוסטטיקה קובעות כי עבור נוזל תחת הגבול ההידרוסטטי מתקיים:

כאשר הוא גרדיאנט הלחץ; הוא צפיפות הנוזל; הוא התאוצה כתוצאה מכוחות גוף על הנוזל.

פיתוח:
כאשר מתקיימים התנאים להידרוסטטיקה, המשוואה המנורמלת הופכת להיות מהצורה הפשוטה:

מהשוואת מקדמים (הביטוי הימני בכל צד הוא וקטור מנורמל, אז המקדמים חייבים להיות שווים):

עבור השוואת הוקטורים המנורמלים:

לכן, הלא מנורמלים:

חישוב שדה הלחץ ההידרוסטטי תחת כבידה

נוסחה:

כאשר אנו במצב מאמצים הידרוסטטי, וכוח הגוף היחיד שפועל הוא כוח הכבידה, נקבל כי הלחץ נתון ע”י:

כאשר הוא קבוע שניתן למצוא מתנאי שפה.

פיתוח:
כאשר אנו תחת הגבול ההידרוסטטי הידרוסטטי, אנו יודעים שמתקיים:

או, במערכת צירים קרטזית:

זוהי מערכת מד”ח. במקרה שבו הכוח גוף היחיד שפועל הוא כוח הכבידה, אנו יכולים לומר ש:

כאשר הוא תאוצת הכבידה, ובחרנו את כך שהוא פונה כלפי מעלה.
במקרה זה, המערכת מד”ח די פשוטה:

כדי שכל שלושת המשוואות יתקיימו, נשים לב ש:

כלומר, יכל להיות תלוי רק ב-. לפיכך, הוא פשוט קבוע. נסמנו , ונקבל ש:

דוגמה: מיכל מים מעל בריכה

נתון מיכל מים הנמצא מעל פני שטח בריכה (כן, זה אפשרי). נרצה למצוא את הלחץ המינימלי והמקסימלי במיכל, כאשר נתון כי בפני שטח הבריכה, הלחץ הוא לחץ אטמוספרי, גובה המיכל הוא , וצפיפות הנוזל היא .
לפי הנוסחה שמצאנו, נתון ע”י:

נבחר כפני הבריכה. לכן:

לכן:

נסיק שהלחץ יורד ככל שאנו עולים בגובה, ולכן:

משטחים טבולים

נתון משטח טבול מהצורה (עבור דו-ממד). נרצה לחשב את הכוח ההידרוסטטי שפועל על המשטח כתוצאה מלחץ הנוזל, ולפרקו לרכיבים.

משטח טבול

נסמן ב- כהעומק (האורך החוצה מהדף, בכיוון ).
ניתן לרשום:

נבצע את המכפלה הוקטורית עבור :

הכוח ההידרוסטטי הוא סך הלחץ שפועל על המשטח, בכיוון השלילי לנורמל למשטח:

כאשר הסימן הוא שלילי, כי האינטגרנד הוא הלחץ שמופעל על הנוזל, ואנחנו רוצים את הלחץ שהנוזל מפעיל.
אם נפרק לכוח אופקי ואנכי:

נשים לב שבכוח האופקי האינטגרציה מתבצעת לאורך . אפשר לחשוב על זה כך:

פרופיל המשטח

בכuj האופקי, אנו מעוניינים רק בלחץ האופקי, אבל שנסכם לאורך ציר . באותו אופן עבור הכיוון האנכי.

נוכל להכליל למקרה לאוריינטציה יותר כללית של המשטח:

כאשר את הסימן נקבע לפי הכיוון השלילי לנורמל.

במקרה הכי הכי כללי:

חישוב כוח הלחץ. (a) לחץ אחיד; (b) לחץ לא אחיד.

כלים שלובים

מערכת כלים שלובים היא מערכת בה שניים או יותר כלים מחוברים ע”י צינורות, ומאפשרים לנוזל לזרום בחופשיות בינהם. בשיווי משקל, סף הנוזל זהה בכל המכלים, בהנחה שהנוזל בלתי דחיס, ואין התנגדות לזרימה.

חוק הכלים השלובים.

כאשר המכלים המתקשרים מחוברים מלמעלה, נהוג לקרוא למערכת סיפון (siphon), בהם, למרות כוח הכבידה, המים עולים למעלה דרך הצינור כדי להגיע למצב שיווי משקל.

מיכלים מתקשרים, המחוברים מלמעלה.

נשים לב שבסיפון המוצג באיור, הגבהים של שני המכלים לא שווים - כלומר אנו עדיין לא בשיווי משקל. למעשה, אם נציב את תנאי השפה בפילוג הלחצים של כל מיכל, נקבל לפי חישוב שדה הלחץ ההידרוסטטי תחת כבידה שני קבועי שונים:

נסיק שכאשר הגבהים שונים, לא נוכל באמת להשתמש במשוואות הידרוסטטיקה כדי לחשב את פילוג הלחצים. עוד דרך להסתכל על זה, היא שרק כאשר , אנו תחת ההגבול ההידרוסטטי.

עיקרון ארכימדס

עיקרון ארכימדס קובע שכל גוף, בין אם שקוע כולו או באופן חלקי בנוזל, מרגיש כוח ציפה (buoyant force) השווה למשקל הנוזל שנפחו כנפח הגוף.

גוף שפועל עליו כוח הכבידה וכוח הציפה .

כוח הציפה פועל על שפת הגוף, והוא למעשה סכימה של הלחצים המופעלים עליו:

כאשר הוא הנורמל החוצה מפני שטח הגוף. לפי משפט גאוס:

לפי חישוב שדה הלחץ ההידרוסטטי תחת כבידה:

נשים לב שאם לא כל הגוף נמצא בתוך הנוזל, ה- הוא למעשה רק נפח הגוף שנמצא ששקע בנוזל. בנוסף, כאן הוא צפיפות הנוזל.
על הגוף כמובן פועל גם כוח הכבידה, שנוכל לרשום כ- . כדי להבדיל בין שני סוגי הנפח, נסמן עבור כל הנפח ו- עבור הנפח ששקוע בנוזל. באותו אופן, כאן הוא צפיפות הגוף, ולכן נבדיל בסימון ע”י עבור הנוזל ו- עבור המוצק.
הגוף צף כאשר יש מאזן בין כוח הכבידה לכוח הציפה:

כעת, בהינתן צפיפות הגוף, הנוזל, ונפח הגוף, אנו יכולים למצוא כמה מהגוף ישקע בתוך הנוזל.

אם יוצא לנו ש- (כמובן שמבחינה פיזית זה לא אפשרי), נסיק שהגוף פשוט שוקע בנוזל. למעשה, נוכל להסיק מכך שכדי לבדוק אם גוף ישקע בנוזל, מספיק לבדוק את ו-:

\nabla p=\rho \mathbf{g}

\boxed{\nabla \rho=\rho(\mathbf{g}-\mathbf{a}) }

\begin{gathered}
\nabla p=-\rho g\hat{\mathbf{y}} \[1ex]
p=c-\rho gy
\end{gathered}

p=p_{a}+\rho g(R-y)

p(r,, \theta)=p_{a}+\rho g(R-r\sin \theta)

\boxed{p(r,\theta)=\begin{cases}
p_{a}+\rho gR(1-\sin\theta) & \pi /2<\theta<2\pi \[1ex]
p_{a} & 0<\theta<\pi /2
\end{cases} }

\mathbf{F}_{p}=-\int p\cdot\hat{\mathbf{n}} , \mathrm{d}A

\begin{aligned}
\mathbf{F}{p} & =-\int{0}^{\pi /2} p_{a}\hat{\mathbf{r}}, R, \mathrm{d}\theta-\int_{\pi /2}^{2\pi} (p_{a}+\rho gR(1-\sin\theta))\hat{\mathbf{r}} , \mathrm{d}\theta \[1ex]
\end{aligned}

\hat{\mathbf{r}}=\cos\theta,\hat{\mathbf{x}}+\sin\theta,\hat{\mathbf{y}}

\begin{aligned}
F_{x} & =\int_{0}^{\pi /2} Rp_{a}\cos\theta , \mathrm{d}\theta+\int_{\pi /2}^{2\pi} p_{a}R\cos\theta+\rho gR^{2}(1-\sin\theta)\cos ^{2}\theta , \mathrm{d}\theta \[1ex]
& =\dfrac{1}{2}\rho gR^{2}
\end{aligned}

\begin{aligned}
F_{y} & =\int_{0}^{\pi /2} p_{a}R\sin\theta , \mathrm{d}\theta+\int_{\pi /2}^{2\pi} p_{a}R\sin\theta+\rho gR^{2}(1-\sin\theta)\sin\theta , \mathrm{d}\theta \[1ex]
&=\rho gR^{2} \left( 1+\dfrac{3}{4}\pi \right)
\end{aligned}

\boxed {
\begin{aligned}
& F_{x}=\dfrac{1}{2}\rho gR^{2} \[1ex]
& F_{y}=\rho gR^{2}\left( 1+\dfrac{3}{4}\pi \right)
\end{aligned}
}

p=c-\rho gy

\boxed {
p=p_{a}+\rho g(D-y)
}

\begin{aligned}
F_{x}=b\int p , \mathrm{d}y & & F_{y}=-b\int p , \mathrm{d}x
\end{aligned}

\begin{aligned}
& F_{x}=-\int_{0}^{D} p_{a}+\rho g(D-y) , \mathrm{d}y=\dots =\dfrac{1}{2}\rho gD^{2}+p_{a}D \[1ex]
& F_{y}=\int_{0}^{\sqrt{ D/C }} (p_{a}+\rho g(D-y)) , \mathrm{d}x =\dots =-\dfrac{(-2/3)\rho gD^{3/2}}{\sqrt{ C }}-p_{a} \sqrt{ \dfrac{D}{C} }
\end{aligned}

\boxed {
\begin{aligned}
& F_{x} =\dfrac{1}{2}\rho gD^{2}+p_{a}D \[1ex]
& F_{y}=-\dfrac{(-2/3)\rho gD^{3/2}}{\sqrt{ C }}-p_{a} \sqrt{ \dfrac{D}{C} }
\end{aligned}
}

p=c-\rho gz+\dfrac{r^{2}}{2}\omega ^{2}\rho

\boxed {
p=p_{a}+\dfrac{p\omega ^{2}r^{2}}{2}-\rho gz
}

\begin{gathered}
p_{a}=p_{a}+\dfrac{\rho\omega ^{2}r^{2}}{2}-\rho gz \[1ex]
z=\dfrac{\omega ^{2}r^{2}}{2g}
\end{gathered}

m_{\text{spinning}}=m_{\text{rest}}

m_{\text{rest}}=\rho \pi R^{2}h

\begin{aligned}
m_{\text{spinning}} & =\int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} \rho r , \mathrm{d}r , \mathrm{d}\theta , \mathrm{d}z \[1ex]
& =\int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \dfrac{\rho\omega ^{2}r^{3}}{2g} , \mathrm{d}\theta , \mathrm{d}r \[1ex]
& =\dfrac{\rho \pi\omega ^{2}R^{4}}{4g}
\end{aligned}

\boxed {
h=\dfrac{\omega ^{2} R^{2}}{4g}
}

\begin{gathered}
\int_{-L}^{L} \mathbf{F}_{p}\times \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\mathbf{M}=0
\end{gathered}

F_{p}=0

\begin{aligned}
F_{p} & =\int_{-L}^{L} p \ell , \mathrm{d}\ell \[1ex]
& = \int_{-L}^{L} \left( \dfrac{\rho\omega ^{2}r^{2}}{2} -\rho gz\right)\ell , \mathrm{d}\ell
\end{aligned}

\begin{aligned}
& r=a+l\cos\theta \
& z=-d+h+\ell \sin\theta
\end{aligned}

\boxed {
\omega=\sqrt{ \dfrac{g}{a}\tan\theta }
}