ICT1_011 בקר קידום ובקר פיגור

מבוא

נשים לב שאם קטן מונוטונית והוא רציף, הקטנת או הגדלת ההגבר של החוג הסגור, תקטין או תגדיל את תדירות המעבר , בהתאם:

דיאגרמת בודה הממחישה את השפעת ההגבר של על תדירות המעבר. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

לכן, אם נרצה לדרוש כאשר הוא תדר המעבר שאנו רוצים שיהיה, נבחר בקר כך ש:

נביט כעת בתהליך הבא, שנניח והוא כבר בתדירות מעבר שאנו רוצים:

גרף פולארי של . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

בקר פרופורציוני פשוט לא יספיק כאן כדי לייצב את המערכת. אבל, אנו יכולים לראות שאם איכשהו נקדם את הפאזה של , אז הגרף הפולארי יקבל קצת “בטן” למטה, כך שהגרף הפולארי לא יחתוך את הנקודה הקריטית, וגם לא יקיף אותה (לפי נייקוויסט). לפיכך, נקבל מערכת יציבה.

אז, עלינו כעת למצוא בקר כלשהו ש-יקדם את הפאזה של .

בקר קידום

נביט למשל בבקר מהצורה:

אז, עבור , הדיאגרמת בודה שלו:

(Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

ניתן לראות שכל בקר עם יוסיף קידום פאזה לכל תדר , ולפיכך ייצב את האינטגרטור הכפול. אבל נשים לב ש- כזה ישנה את , שזה לא משהו שאנו רוצים. כדי להתייחס לבעיה נוכל לרשום את הבקר בצורה קצת שונה:

כאשר הוא פרמטר כוונון (tuning parameter) כלשהו. לגבי , נשים לב מה מתרחש סביבו:

(Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

ניתן לראות שליד , אנו מקבלים את קידום הפאזה הכי הגדול, בעוד ההגבר הוא פשוט . לכן, נרצה לבחור את עם .

הערה:

למען האמת, ליאוניד ממליץ לבחור שטיפה יותר קטן מ-, מסיבות שאני לא זוכר אבל אם ליאוניד אמר אז ליאוניד אמר.

מבחינת ההשפעה של :

(Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נסיק שאם אנו בוחרים , אז :

• לא משנה את .
• מגדיל את .

אבל, הוא גם:

• מקטין את ההגבר בתדירויות נמוכות.
• מגדיל את ההגבר בתדירויות גבוהות.
• מקטין את (כי לרוב , ו- ל-).

נביט כעת בדיאגרמות של המערכת בחוג פתוח עבור אותם ערכי ו-:

מבחינת החוג הסגור, תגובת המדרגה תהיה:

תגובת מדרגה של החוג הסגור.

ניתן להראות שגובה ה”בטן” המקסימלי, שהוא למעשה קידום הפאזה המקסימלי , מתרחש ב-, והוא מקיים:

גרף להמחשת פונקציה זו:

קידום הפאזה המקסימלי כתלות ב-.

מאחר והשיפוע של הגרף לעיל לערכי גדולים הוא די נמוך, נאמר שערכי לרוב לא כל כך פרקטיים. אנחנו גם לא נקבל הרבה מבחינת קידום פאזה, וגם נשלם הרבה במאמץ בקרה.
נשים לב שעבור הקידום פאזה המקסימלי הוא , כך שאם נרצה קידום פאזה יותר גדול מערך זה, אנחנו למעשה בבעיה. בעיה שאנו יודעים לפתור פשוט בעזרת עוד בקר קידום. genius.

השפעת עוד בקרי קידום על קידום הפאזה המקסימלי.

בקר פיגור

אחת מהבעיות של בקר קידום היא שהיא מחריפה את שגיאת המצב המתמיד של החוג הסגור:

כדי להסביר זאת, נזכור שהשגיאה עבור הפרעת מדרגה היא:

לכן, במקרה של , ככל ש- גדול יותר, השגיאה במצב מתמיד גדולה יותר.
ניתן לחשוב שאולי אם נגדיל את ההגבר הסטטי של אז נוכל לצמצם את בעיה זו, כלומר נבחר עבור כלשהו. אבל, בחירה זו:

• תעלה את ההגבר בתדרים גבוהים.
• תגדיל את רוחב הפס של המערכת יותר מהדרוש.

אנו רוצים להגדיל את ההגבר בתדרים נמוכים, בלי לשנות את ההגבר/הפאזה באזור .
כדי לפתור את בעיה זו, אנו מציעים להוסיף לבקר קידום עוד בקר, שנקרא בקר פיגור. צורתו הכללית:

כאשר הוא פרמטר כוונון.

(Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

אז למשל:

(Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

אם אנו רוצים שגיאה אפסית במצב מתמיד עבור , אז נבחר . נבחר גם ל-, ונבחן את הבקר:

נקבל:

(Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

תגובת המדרגה תהיה כעת:

אם אנו בוחרים , אז :

• מגדיל את ההגבר בתדרים נמוכים של .
• מעלה לכל היותר ב- את הפיגור בפאזה, שאנו יכולים לקזז ע”י בקר קידום.

אבל:

• הוא מעלה את הפיגור הפאזה.
• הוא מעלה את ההגבר באזור (לכל היותר ב-).

דוגמאות תכן

נביט במערכת של בקרת מנוע DC:

נדרוש:

• יציבות חוג סגור.
• שגיאה אפסית במצב מתמיד למדרגה ב-.
• שגיאה אפסית במצב מתמיד למדרגה ב-.
• הגבר פאזה .
• תדירות שמתפקדת כפרמטר כוונון.

הערה:

אנו מניחים שהתהליך מנורמל, כך שמבחינת האות בקרה, נחשב “קטן”, ו- הוא “גדול”.

דוגמה:

לקוח מ-(Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).
נניח ש- . אנו רוצים לבקר את התהליך:

לכן, אם נקטין את ההגבר, נקבל את הרצוי:

כאן, , ואנו לא צריכים קידום בפאזה.
אנו רוצים גם שהשגיאה במצב מתמיד להפרעת מדרגה תתאפס. אם נשתמש בבקר פיגור עם ו- :

זה נותן לנו , שזה אחלה. הבקר המתקבל הוא:

נשים לב ש:

• שיא התהודה (הרזוננס) מאוד קטן, ולכן התגובת-יתר, OS, קטנה.
• רוחב הפס של החוג הסגור הוא בערך , שזה קצת יותר מ- , וקטן יותר מהרוחב פס בחוג הפתוח.

התגובה להפרעה:

נשים לב שכיוון שאין הרבה הגבר סטטי לבקר, הרגישות להפרעה די גבוה.
מבחינת מאמץ בקרה:

נשים לב שמאחר והרוחב פס של החוג הסגור יותר קטן מהרוחב פס של החוג הפתוח, אנו מקבלים מאמץ בקרה נמוך.

דוגמה:

נעבוד עם אותו התהליך, אבל נדרוש . נקבל:

כאן , כך שאנו עדיין לא צריכים בקר קידום, גם אחרי שהבקר פיגור יוסיף .
נבחר בקר פיגור עם ו-:

אנו מקבלים , שזה גם יותר ממה שאנו צריכים. נקבל את הבקר:

נשים לב ש:

• שיא התהודה (הרזוננס) מאוד קטן, ולכן התגובת-יתר, OS, קטנה.
• רוחב הפס של החוג הסגור הוא בערך , שזה קצת יותר מ- , ובערך שווה לרוחב הפס בחוג הפתוח.

התגובה להפרעה:

נשים לב שמאחר וההגבר הסטטי של הבקר יותר גבוה, הרגישות להפרעות יותר נמוכה.

מבחינת מאמץ בקרה:

רוחב הפס של החוג הסגור בערך באותו הסדר גודל של החוג הפתוח, ולכן המאמץ בקרה כאן יותר גבוה ממקודם.

דוגמה:

נבחר כעת לתהליך. לכן, נוסיף הגבר .

כאן, , ולכן אנו צריכים קידום פאזה של , שעבורו קידום אחד מספיק. נקבל:

כאן, , שזה בדיוק מה שאנו צריכים לפני שהבקר פיגור מוסיף את ה- שלו. ביחד עם הבקר פיגור נקבל:

זה מניב , שזה בדיוק מה שאנו צריכים. הבקר המתקבל הוא:

תגובת המערכת:

מגניב. קיבלנו תהודה יותר גדולה, ולכן OS יותר גדול. בנוסף רוחב הפס של המערכת הוא , שזה קצת יותר מ- , ויותר גבוה מרוחב הפס של המערכת בחוג פתוח.
התגובה להפרעה:

מגניב. הגבר סטטי גבוה על הבקר נותן לנו רגישות להפרעות יותר נמוכה.

תגובת האות בקרה:

וואלה באסה. no free lunches כמו שליאוניד אומר. מאחר ורוחב הפס של החוג הסגור גדול יותר מרוחב הפס של החוג הפתוח, אנו מקבלים מאמץ בקרה די גבוה.

תרגילים

תרגיל 1

נתון התהליך הבא:

שהגרף בודה שלו:

גרף בודה של .

תכננו בקר מייצב במשוב יחידה כך ש:

1. רוחב הפס של החוג הסגור .
2. הגבר פאזה .
3. השגיאה במצב מתמיד לאות ייחוס מדרגה לא עולה על מגובה המדרגה.
4. השגיאה במצב מתמיד להפרעת מדרגה לא עולה על מגובה המדרגה.

פתרון:
נקבע את תדר המעבר. נצטרך לכפול בהגבר שיעלה את גרף ההגבר. ננסה להעלות אותו ל- כך שנקבל בסוף התהליך (נזכור, ברוב התהליכים מתקיים עד ).

נקבל:

גרף בודה ופולארי של .

קיבלנו תדר מעבר רצוי, אך פאזה . נחשב כמה פאזה אנו רוצים צריכים לקדם לפי הדרישה . כדי לרדת מתחת לנקודה הקריטית, נצטרך . נשים לב שאנו גם הולכים להוסיף בקר פיגור, שהוא הולך להוסיף לכל היותר . נסכם:

נשים לב שבקר קידום אחד לא כל כך עוזר לנו לעקוף את , ולכן נשתמש בבקר קידום כפול. נשים לב גם שאם נבחר , נקבל קידום פאזה של שזה כנראה מספיק טוב. נבחר כדי לא לשנות את תדר המעבר, כך שהבקר קידום שלנו הוא:

נקבל:

גרף בודה ופולארי של .

מהדרישה הרביעית, אנו צריכים שהשגיאה מהפרעה תקיים:

כלומר:

כדי לקיים זאת, נביט מה קורה ב-:

נבין שאנו צריכים להוסיף בקר פיגור, עם , ונכוונן אותו כדי לקיים את הדרישה:

ההגבר הסטטי שלו:

כדי שנקיים , נבחר , כלומר:

נקבל:

שהוא באמת מקיים .

גרף בודה ופולארי של .

התגובות שלנו עם הבקר הסופי:

גרף בודה והתגובה של . מתקיים .

גרף בודה והתגובה של .

גרף בודה והתגובה של .

טיפ לראיון עבודה (משניר):

ב-Simulink, כאשר נרצה להכניס בקר, יש בלוק שנקרא Transfer Function שאפשר להכניס לו את פונקציית התמסורת של הבקר הרצוי. אבל, אנו לא תמיד נרצה לעשות זאת. ניקח למשל בקר קידום:

הבעיה באינטגרטור היא שהוא צובר המון שגיאות, ואם השגיאות גבוהות מדי, לא נרצה שהוא יעביר אותן לאות בקרה, כי למשל במקרה של מנוע DC הוא עלול לשרוף את המנוע. כדי שתהיה לנו שליטה יותר גבוה על הבקר, נפתח:

נחלק ב-:

נבצע התמרת לפלס הפוכה:

ניתן להכניס את קשר זה-Simulink לבלוק, ועליו ניתן לשים ערכי מקסימום ומינימום כך שלא נצבור יותר מדי שגיאות.