ICT1_010 מערכות השהייה

עודפי יציבות

עודפי הגבר ופאזה

בהנחה ומערכת בחוג סגור יציבה:

הגדרה: עודף הגבר ופאזה

עודף הגבר הוא המקדם המינימלי עבורו ההגבר בחוג סגור יהפוך את החוג הסגור ללא-יציב.
עודף פאזה הוא הגודל המינימלי עבורו הפאזה בחוג סגור תהפוך את החוג הסגור ללא-יציב.

בשני המקרים, התוצאה של השינוי בהגבר ובפאזה יגרום לעקום נייקוויסט לחתוך את הנקודה הקריטית.

מה קורה כאשר רק ההגבר משתנה?

כאשר ההגבר בחוג גדל, העקום הפולארי מתנפח. כאשר ההגבר בחוג קטן, העקום הפולארי מתכווץ. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

מבחינת , אנו רק מעוניינים בנקודות בהן עקום נייקוויסט חותך הציר הממשי השלילי. כלומר, כאשר:

לתדרים בהם המעבר מתרחש קוראים תדרי מעברי פאזה .

התנפחות עקום נייקוויסט עד לחיתוך עם הנקודה הקריטית. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

מה קורה כאשר רק הפאזה משתנה?

כאשר הפאזה גדלה, נקודות על הגרף הפולארי מסתובבות נגד כיוון השעון. כאשר הפאזה קטנה, נקודות על הגרף הפולארי מסתובבות עם כיוון השעון. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

מבחינת , אכפת לנו רק מנקודות על הגרף הפולארי שחותכות את מעגל היחידה, כי נקודות אלו הולכות לחתוך את הנקודה הקריטית עבור כלשהו.

סיבוב עקום נייקוויסט עד לחיתוך עם הנקודה הקריטית. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נזכור שלתדירות בחיתוך עם נקודה זו אנו קוראים תדירות מעבר.

עודפי הגבר ופאזה בדיאגרמת בודה

כדי לחשב את ו- נבצע את השלבים הבאים:

• עודף ההגבר מחושב מדיאגרמת ההגבר ב-. אם המערכת בחוג סגור יציבה, אז שווה לערך המוחלט של ההגבר של ב-.
• עודף הפאזה מחושב מדיאגרמת הפאזה ב-. אם המערכת בחוג סגור יציבה, אז שווה למרחק בין ולנקודה הכי קרובה .

למשל, עבור ו-:

מציאת עודף הגבר ועודף פאזה בדיאגרמות בודה ונייקוויסט. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נסכם:

• הוא המרחק מהנקודה הקריטית לאורך הציר הממשי.
• הוא המרחק (הזוויתי) מהנקודה הקריטית.

לפיכך, כאשר אנו דורשים שעקום נייקוויסט יהיה “רחוק מהנקודה הקריטית”, אנו למעשה מקיימים את הדרישה שעודפי היציבות יהיו יחסית גדולים.

השהייה

נזכור ממערכות לינאריות שמערכת השהייה היא מהצורה:

הקשר המתמטי:

מערכת זו:

• לינארית, כי:
• לא קבועה בזמן, כי:
• יציבה BIBO, כי:

לפי התמרת לפלס, פונקציית התמסורת של ההשהיה היא:

פונקציית תמסורת זו אי-רציונלית, ולכן אנו אומרים ש- היא מערכת מסדר אינסופי. מבחינת תגובת תדירות, נשים לב ש:

מבחינת גרף בודה, היא תיראה מהצורה:

גרף בודה של . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נשים לב של- יש הגבר יחידה () ופאזה קטנה לינארית (, ברדיאנים, אם ).

מערכות בזמן מת

להלן מערכת בחוג סגור עם השהייה:

למערכות כאלו אנו קוראים מערכות בזמן מת.

בהנחה ו- וגם , אז:

לפולינום אופייני זה יש אינסוף שורשים (נקרא גם קוואזי-פולינומי).

דוגמה:

אם ו-, אז:

לפולינום זה יש שורשים ב:

לכל .

נשווה בין המקרה ללא השהייה והמקרה עם השהייה. בכללי, נקבל אין סוף שורשים:

מיקומי שורשים של פולינום עם השהייה () ובלי השהייה (). (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

ניתן לראות מהגרף שההוספה של השהייה מסבכת משמעותית את ניתוח היציבות של המערכת.

השפעת השהייה על פונקציית החוג הפתוח

יהי עבור רציונלי כלשהו.

במקרה זה:

לכן:

במילים אחרות, השהיה במקרה זה:

• לא משנה את ההגבר של .
• מוסיפה פיגור בפאזה הפרופורציונית ל-.

השפעת השהייה על דיאגרמת בודה של פונקציית החוג הפתוח. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

השפעת השהייה על דיאגרמה פולארית של פונקציית החוג הפתוח. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

קריטריון נייקוויסט למערכות בזמן מת

ההוספה של השהיה לא משנה משמעותית את קריטריון נייקוויסט עצמו, אלא רק את הגרף הפולארי של המערכת אותה אנו חוקרים. אנו יכולים לומר זאת כי:

• גם וגם עדיין מרומורפיים (גזירים למקוטעין רק במובן של פונקציות מרוכבות), אז עיקרון קושי עדיין תופס.
• אם , אז ל- יש מספר סופי של קטבים ב-, כך שכולם נמצאים בקונטור נייקווסיט.

דוגמה:

יהי . אז:

עודף זמן מת

ראינו שבגלל צורה ההשפעה של השהיה על מערכת, נוכל אולי להיעזר ה- כמדד לסיבולת המערכת מול השהיות. הבעיה בצורת מחשבה זו היא שנשים לב שהשהיה גורמת לפיגור פאזה לינארי עם . נביט למשל בפונקציות תמסורת הבאות:

כך ש:

כלומר, לשתי פונקציות התמסורת אותו עודף פאזה . ניתן לראות זאת בגרף בודה:

דיאגרמת בודה של ו-. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

הגרפים הפולאריים של שתי פונקציות אלו מתלכדים:

גרפים פולאריים של ו-. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

אבל, כאשר נוסיף השהייה ב- לכל אחד מהם:

גרפים פולאריים של ו- . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

לכן, ל- ו- יש אמנם את אותו העודף פאזה , אבל סיבולת להשהיות שונה בכמה סדרי גודל.

הגדרה: עודף זמן מת

עודף זמן מת הוא ההשהיה המינימלית שתגרום לחוג הסגור להפוך להיות לא יציב.

חישוב עודף זמן מת:
נניח כי:

1. המערכת בחוג סגור יציבה.
2. ל- יש רק תדירות מעבר אחת.
3. מתקיים .

אם השהיה, נגיד , מוספת לחוג, אז המערכת בחוג סגור הופכת להיות לא יציבה כאשר . מאחר ו:

המערכת נהיית לא יציבה עבור . לכן:

כאשר ברדיאנים.
שוויון זה מעיד על כך שככל שתדירות המעבר יותר גדולה, כך המערכת יותר רגישה להשהיות. זה למעשה מציב לנו עוד תנאי על , ולפיכך, על רוחב הפס של החוג הסגור .

תרגילים

כללי אצבע:

1. עודפי יציבות הן מדד סטנדרטי בתעשייה, אך המדד לא מייצג תמיד.
2. מספרים אופייניים לעודפי הגבר, פאזה, וזמן מת:

תרגיל 1

הגרף הבא מציג את הדיאגרמת בודה של המערכת:

עבור ו- כלשהו:

דיאגרמת בודה של . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

מצאו את ההגבר והשהיה .

פתרון:
כדי לחשב הגבר סטטי נוכל להציב ולהסתכל על ההגבר.

אבל, מצוין בפירוש על הגרף מהו ההגבר. לכן, נסתכל על הנקודה המודגשת עבור . לפי הגרף:

לפי המערכת הנתונה:

לכן:
נשווה ונקבל:

תרגיל 2

נביט במשוואת החום החד ממדית:

כאשר הוא הטמפרטורה של מוט ב- וזמן , ו- הוא הדיפיזיביות התרמית, שתלוי בחומר. תנאי השפה מתאר את טמפרטורת המוט בקצה, , בכל זמן נתון .

נסמן גם:

סעיף א’

בהנחה ו- חסום לכל חסום (שזה נכון פיזית), מצאו את הפונקציית תמסורת והתגובות הלם.

פתרון:
נוכל להפוך את המד”ח למד”ר ע”י התמרת לפלס:

זוהי מד”ר, שפתרונה הוא מהצורה:

מהצבת תנאי שפה נקבל ש- ואז:

הערה:

משיקולי אנרגיה יוצא ש- - משהו שנובע ממשהו שנקרא זהות פרסבל או משהו כזה. משהו.

נקבל שפונקציית התמסורת היא:

כאשר .
נשים לב ש- הוא פונקציה מונוטונית הגדלה עם . פונקציית התמסורת היא אי-רציונלית, מה שאומר שהמערכת מסדר אינסופי. התגובת תדירות שלה לפי Wolfram:

פונקציית התמסורת במישור הזמן . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

ניתן להראות שפונקציה זו מקיימת , כך שהיא יציבה BIBO.

סעיף ב’

בנו את דיאגרמות בודה והדיאגרמות הפולאריות של המערכת.

פתרון:
נשים לב ש:

בנוסף, ניתן להראות ש- . לכן נוכל לפרק לגודל והפאזה באופן הבא:

כלומר:

נקבל את הגרפים:

דיאגרמות בודה ופולארית ל-. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

סעיף ג’

נניח והמערכת לא מבוקרת ע”י משוב יחידה פרופורציוני .

1. תחת אלו המערכת בחוג סגור יציבה?
2. מהו הגבול העליון על התדירויות מעבר תחת מייצבים?
3. מהו הגבול התחתון השגיאה במצב מתמיד?
4. מהו עודפי היציבות לחוג זה כפונקציה של ו-?

פתרון:
ה- המקסימלי הוא ה- עבורו הגרף הפולארי יחתוך את הנקודה הקריטית . לכן:

לכן, המערכת יציבה עבור:

מבחינת תדר המעבר, אנו יודעים שהוא מקיים :

לכן נקבל תדרי המעבר תחת מייצבים בטווח:

מבחינת השגיאה, נזכור ש:

במצב מתמיד, בהנחה ו- הוא פונקציית מדרגה, מתקיים:

לכן:

לכן המינימלי:

עבור מייצב, העודף הגבר:

מבחינת העודף פאזה, עבור מייצב:

הפאזה בתדר זה:

לכן:

נשים לב שתדר מעבר קיים רק אם . לכן:

עבור המערכת כבר לא יציבה.

מבחינת עודף זמן מת, לפי הנוסחה:

נקבל:

סעיף ד’

בהנחה והמערכת מבוקרת ע”י בקר I: . תחת אילו המערכת בחוג סגור יציבה?

פתרון:
המערכת החדשה:

לכן:

נרצה לבדוק מתי :

בתדר זה:

נדרוש:

שזה אומר:

גרף פולארי של . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).