מצאתם טעות? שלחו הודעה קצרה. גם אם זה רק שגיעת כתיב קטנה. תודה לינאי וגיל ששיכנעו אותי להוסיף את זה...
MCS1_006 קורות בימורפיות
• זמן קריאה: 4 דק'
תגובה תרמואלסטית של קורה בימורפית
משפעל בימורפי הוא משפעל שהקורות שלו הן בימופריות (מורבות משתי שכבות):
איור 6.1: קורה בימורפית.
נסמן קורה בימורפית באורך ורוחב (בכיוון ), עם עובי קורות , מודול אלסטיות , והתפשטות תרמית , כאשר הוא השכבה התחתונה ו- הוא השכבה העליונה.
בקורס נעסוק רק בקורות שרוחבם גדול מספיק מעובי הקורה . בנוסף נניח שכל שכבה היא איזוטרופית ואחידה. עבור מקרה זה, כל שוני קטן במאמץ התחלתי או מאמץ תרמי בין שתי השכבות יעוות את כלל הקורה באופן כדורי, כיוון שעל כל חתך וחתך בקורה פועלים אותם מומנטים פנימיים. בקורס זה נניח שהעקמומיות המתפתחת מספיק נמוכה כך שהתגובה היא לינארית ויציבה. בנוסף, לא נתעלם מהשפעות קצה.
ננתח את העקמומיות המתפתחת בקורות בימורפיות חופשיות במרחב (לא מאולצות). עבור דפורמציה כדורית של קורה, מצב המאמצים והעיבורים בשתי השכבות הוא איזוטרופי במישור , אבל הם פונקציה של .
איור 6.2: פרמטרים של כפיפת קורה בימורפית.
העיבור במישור (ציר ו-) בכל שכבה נתון כ:
כאשר הוא העיבור השיורי בטמפרטורת החדש, הוא העיבור התרמי, ו- הוא העיבור המכני. כל אחד מהערכים הללו יכול להיות שונה בין שתי השכבות. העיבור השיורי מסומן עבור השכבה התחתונה ו- עבור השכבה העליונה. העיבור התרמואלסטי והעיבור המכני של השכבות העליונות והתחתונות נתונות ע”י , , ו- , בהתאמה.
בהנחה של כפיפה כדורית, עבור כל שכבה :
כאשר המודול הוא פונקציה של מודול יאנג ויחס פואסון , הוא העיבור של הציר הניטרלי (בו המאמץ המכני הצירי והרוחבי מתאפס) ו- הוא העקמומיות של הקורה (חיובי כאשר הוא קמור כלפי מעלה).
נחלץ את מ-(6.5) ו-(6.6), נציב לתוך (6.7), כך שנחלץ את בצורה:
כאשר ו- הם ערכים חסרי-ממד.
נסיק שהעקמומיות החסרת ממדים היא פונקציה לינארית של ההפרש בעיבור השיורי ופונקציה לינארית של ההפרש בעיבור תרמי של שתי השכבות.
אם מקדם ההתפשטות התרמית של שני החומרים שונים, והשכבה העליונה מאוד דקה ביחס לשכבה התחתונה (), נסיק שהעיבור בשכבה התחתונה זניח ו-:
ולכן:
משוואה זו נקראת משוואת סטוני (Stoney).
עקמומיות מקסימלית
מ-(6.8) אנו רואים שעבור שוני מסוים של עיבורים שיוריים ותרמיים, האמפליטודה של העקמומיות המנורמלת פרופורציונלית ל:
עבור מודול יאנג מסוים, , לפונקציה יש מקסימום ב-:
השורשים של הביטוי במונה (לאחר פתרון סימבולי) הוא פולינום ממעלה חמישית:
הדרך השנייה לפתרון (6.11) היא לפרק את המונה לפולינום ממעלה רביעית של , שיש לו את שני השורשים:
מאחר ו- הוא חיובי, הפתרון השני (6.13b) מניב ערכים שליליים של ולכן הוא לא פיזיקלי. הפתרון הראשון, (6.13a), מקשר בין ערכים חיוביים של עם ערכים חיוביים של . ניתן לרשום את קשר זה כפולינום ממעלה שלישית של , שניתן לרשום אותו אנליטית. הפתרון הפיזיקלי של פולינום ממעלה שלישית זה הוא הפתרון המוצג ב-(6.12).
למשוואה (6.12) יש פתרון פשוט עבור . עבור , מקבלים:
עבור , שני הביטויים הראשונים בצד ימין של (6.12) הם למעשה צמודים מרוכבים, וניתן לרשום מחדש את (6.12) כ:
יחס העובי עבור עקמומיות מקסימלית, , כפונקציה של יחס המודול, , נתון באיור הבא:
יחס העובי האופטימלי לקבלת עקמומיות מקסימלית כתלות ביחס המודולים.
ברור ב-(6.8) שעבור כל ערך של ו-, העקמומיות היא פונקציה לינארית של ההפרשים במאמצים השיוריים ופונקציה לינארית של הטמפרטורה.
