פנגייה

MCS1_008 רזונטורים לא לינאריים

• זמן קריאה: 6 דק'

רזונטור דאפינג

איור 8.1: רזונטור לינארי חד-ממדי.

משוואת התנועה (נקראת משוואת דאפינג) של רזונטור דאפינג היא מהצורה:

כלומר, אנו כרגע עוסקים בקפיץ לא לינארי, עם קשיחות מסדר .
נוכל לרשום את משוואה זו באופן אל-ממדי:

כאשר:

כאשר היא ההזזה בה הרכיבים הלינאריים והקוביים של הכוח המחזיר שווים. משוואת דאפינג האל-ממדית תלויה בשני פרמטרים, ו- (לעומת רזונטור לינארי, בו היה רק פרמטר אחד, ).

אין פתרון אנליטי מדויקת למשוואה זו, אז נדרש לפתור אותה נומרית. אבל, אם נביט במשוואת דאפינג ללא ריסון:

נראה כי לה יש פתרון אנליטי.

דרך אחת לפתור אותה היא להביט בסך האנרגיה של המערכת:

כאן הוא ההזזה האל-ממדית ההתחלתית ממנה משחררים את המסה ללא מהירות התחלתית. נוכל לרשום את (8.5) באופן הבא:

או:

צד שמאל הוא רק פונקציה של וצד ימין הוא רק פונקציה של , אנו נוכל לבצע אינטגרציה לשני הצדדים מהתנאי התחלה כדי לחשב את הזמן של רבע מחזור.

לאחר פתרון בעזרת אינטגרלים אליפטיים:

איך היצור הזה נראה?

bookhue

איור 8.2: “עמוד השדרה” של משוואת דאפינג. עמוד השדרה שונה עבור התגובה של ההזזה והתגובה של המהירות.

נזכור כי מדובר במקרה ללא ריסון!
באיור 8.2 אנו רואים שעבור תנאי התחלה, כלומר , שונים, אנו מקבלים תדירויות טבעיות שונות!

מה קורה כאשר מוסיפים ריסון? כעת ניאלץ לחזור לחישובים נומריים - אבל עדיין נוכל לראות שעמוד השדרה מכתיב את צורת תגובת התדר של המערכת:

bookhue

איור 8.3: תגובת התדר של משוואת דאפינג עבור ערכי שונים.

נשים לב לתופעה מעניינת: בהפעלת כוח נמוך, המערכת מתנהגת כמו רזונטור. ככל ש- גדל, התדירות הטבעית - התדירות בה אנו מקבלים את ההגבר הכי גבוה, גדל. ככל שנגדיל את עוד יותר, נקבל פיצול בעקומה שלו במישור התדר! מה קורה כאן?

כדי לקבל את איור 8.3 נומרית, ביצענו סריקת תדר (frequency sweep) בטווח . בסריקה כזו, עבור כל מריצים סימולציה עד שהמערכת מגיעה למצב מחזורי יציב, ושומרים את האמפליטודה. תנאי ההתחלה של כל סימולציה נלקחים מהמצב הסופי של הסימולציה הקודמת - כך המערכת “נשארת” על אותו ענף של עקומת התגובה.

הבעיה היא שבמערכות לא לינאריות יכולים להיות מספר ענפים יציבים בו-זמנית. לכן, מריצים את הסריקה פעמיים:

  1. סריקה קדימה - מתדרים נמוכים לגבוהים.
  2. סריקה לאחור - מתדרים גבוהים לנמוכים.

כל כיוון סריקה “תופס” ענף אחר, וכך מקבלים את התמונה המלאה של תגובת התדר.

bookhue

איור 8.4: תגובת הפאזה (של המהירות) של משוואת דאפינג.

כעת נסביר את הקפיצה בתגובת התדר באמצעות הפאזה. נתחיל מ- גבוה. כאשר מבצעים סריקת תדר קדימה (מתדרים נמוכים לגבוהים):

  1. בתדרים נמוכים, המערכת נמצאת בפאזה חיובית (המהירות “מקדימה” את הכוח) עם אמפליטודה נמוכה.
  2. ככל שהתדר עולה, האמפליטודה גדלה והמערכת “נשארת” על הענף העליון של עקומת התגובה.
  3. כאשר מגיעים טיפה מעל לתדר הקריטי, הפאזה מתחילה להיות שלילית - הכוח מתחיל לפעול כנגד כיוון המהירות! הפתרון היציב היחיד בפאזה שלילית יהיה באמפליטודה נמוכה יותר - המערכת לא יודעת לתנוד באמפליטודה כל כך גבוה כאשר הכוח פועל כנגד כיוון המהירות.

כאשר מבצעים סריקת תדר לאחור (מתדרים גבוהים לנמוכים):

  1. בתדרים גבוהים, המערכת נמצאת בפאזה שלילית עם אמפליטודה נמוכה.
  2. ככל שהתדר יורד, האמפליטודה גדלה בהדרגה - המערכת עוקבת אחר הענף התחתון.
  3. כאשר מגיעים טיפה מתחת לתדר הקריטי, הפאזה מתחילה להיות חיובית - הכוח מתחיל לפעול עם כיוון המהירות! הפתרון היציב היחיד בפאזה חיובית הוא באמפליטודה גבוה יותר - המערכת לא יודעת לתנוד באמפליטודה כל כך נמוכה כאשר הכוח פועל עם כיוון המהירות.

תרגילים

שאלה 1

נתון משפעל מסרק דו-צדדי (double sided comb drive), המחובר לקפיץ מכאני לינארי. הרוטור הינו בעל שיניים מדורגות מכל צד ובמצב התחלתי ישנה חפיפה של מחצית מהשיניים בכל צד. החפיפה ההתחלתית במרכז הרוטור מסומנת ב-. בזמן העבודה מאריקים את שני הסטטורים ולרוטור מספקים מתח קבוע .

נתון כי מהלך התנועה הינו .

איור 8.5: מערכת מסרק דו-צדדי.

פתרון:
נתחיל בחישוב קיבול שקול של המערכת.
במצב ההתחלתי (כאשר ), נתון לנו שמחצית מהשיניים בכל צד נמצאים בחפיפה. כלומר, כאשר , מתקיים ( הוא מספר השיניים בחפיפה בצד שמאל של הרוטור, בעוד הוא מספר השיניים בחפיפה בצד ימין של הרוטור). בנוסף, כאשר , יתקיים , בעוד . נסכם:

מספר השיניים בממוצע בצד שמאל וצד ימין של הרוטור הינו:

נשים לב שמאחר ומספר השיניים הוא בדיד, כאשר סוכמים את מספר השיניים החופפות יכולים לקבל מס’ שיניים לא שלם.

אורך החפיפה הממוצע בצד שמאל וצד ימין של הרוטור הינו:

לכן הקיבול של צד שמאל וצד ימין הינם בהתאמה:

כאשר הוא עובי (הממד לתוך המסך) של הרוטור והסטטור.

הקבלים מחוברים במקביל לכן הקיבול הכולל הינו סכום פשוט. פתיחת סוגריים וכינוס איברים ייתן לנו:

לכן החלק ה-אלקטרוסטטי של האנרגיה הפוטנציאלית:

החלק ה-אלקטרוסטטי של הכוח הריאקטיבי:

החלק ה-אלקטרוסטטי בקשיחות המערכת הינו:

כלומר יש לנו קשיחות אלקטרוסטטית שאינה תלויה בהזזה אלא רק בריבוע המתח (גם עבור הזזות גדולות). משמע משוואה שולטת של מבנה זה היא:

התדירות העצמית הינה:

תכונה זו (האפשרות להשפיע על פרמטרי המערכת, בעיקר על הקשיחות) במערכות מיקרו-מכאניות, מאפשר תכנון של התקנים עם תדירות עצמית משתנה יחסית בקלות. חופש זה מאפשר הם פיצויי על שגיאות ייצור, הרחבת תחום עבודה (חישה בתדרים שונים), התאמת תדרים במערכות מרובות דרגות חופש וכו’.

בנוסף, במקרה שבו מתח הכוונון משתנה בזמן (במקום קבוע נשתמש במתח משתנה), ניכנס לתוך העולם העשיר שמכונה רזוננס פרמטרי.

עמודים המציינים את העמוד הזה