מבוא

גל (shaft) הוא חלק מסתובב, לרוב עם שטח חתך עגול, שמטרתו להעביר הספק או תנועה סיבובית לחלקים אחרים כגון גג”שים (גלגלי שיניים), גלגלות, גלגלי תנועה ועוד. גל נושא עומסי פיתול ו/או גזירה וכפיפה.
ציר (axle) הוא חלק ממנגנון שבאמצעותו סובב חלק אחר של המנגנון. הציר יכול לקבע את החלק הנע לחלק יציב (באמצעות מסבים ואמצעים אחרים), או לחברו לחלקים נעים אחרים, ובכך לאפשר לו תנועה לכיוונים מסוימים. ברכב/רכבות מייחסים את המוגש “ציר” לחיבור עם גלגלי הרכב (עושה תפקיד של גל). ציר אינו נושא פיתול.

חומרי גל

העיוותים בחומר מסוים לא מושפעים מחוזקו, אלא מקשיחותו כפי שמתואר במודול יאנג, שהוא די קבוע לכל הפלדות. לכן, הקשיחות לא ניתנת לשליטה ע”י הבחירה שלנו בחומר, אלא רק בגאומטרייה שלו.
החוזק הדרוש להתנגדות עומסים כן משפיע על בחירת החומרים וטיפולם. רוב הגלים מיוצרים מפלדה “רכות” (עד פחמן), במשיכה בקור או בערגול בחום, כמו פלדות AISI 1020-1050. הן לא ניתנות לטיפול תרמי, וקיים צורך לבצע פני הקשיית פני שטח.
עוד סוג של גלים הוא ביציקות פלדה, והם יותר משומשים בייצור המוני - כאשר יוצקים אותם יחד עם גאומטריית הגג”ש והגלגלות - כחלק אחד.

מבנה גל

המבנה הכללי של גל, ביחד עם מרכיביו כמו גג”שים ומסבים, חייבים להיות מפורטים בתחילת תהליך התכן כדי שיהיה אפשר לבצע ניתוח דג”חים ולקבל דיאגרמות גזירה ומומנטים. הגאומטרייה של גל היא לרוב דומה לגליל מדורג. ה”כתפיים” בגל מאפשרים למקם את החלקים השונים של הגל ולשאת בעומסים. האיור הבא מציג דוגמה של גל מדורג. כל מדרגה בגל משמשת למטרה מסוימת.

גל מפחית מהירות אנכי. (Budynas et al., 2015).

המבנה הגאומטרי של גל שבא לשלב התכן הוא לרוב כולל שינוי קטן למודלים סטנדרטיים שקיימים כבר. אם אין תכן שניתן להשתמש בו לייחוס, אז יש המון אפשרויות בתכנון המבנה של הגל. בספר ישנם מספר נקודות על כיצד כדאי לקבוע את המבנה הכללי.

תכן גל למאמצים

אין צורך בחישוב המאמצים בגל בכל נקודה, מספיק לבדוק רק מספר נקודות קריטיות. נקודות אלו הן על השפה החיצונית, איפה שיש מומנט כפיפה גבוה, איפה שיש פיתול, ובריכוזי מאמצים. באזורים הקריטיים, באזורי כפיפה ופיתול, מזניחים את המאמצים הציריים (axial stress) ואת מאמצי הגזירה (shear stress) הנגרמים מכוחות גזירה. את המאמצים התונדים נפרק למאמצים ממוצעים והמאמצים המשתנים שלהם:

כאשר ו- הם המומנטי כפיפה הממוצעים והמשתנים, ובאותו אופן עבור מומנטי הפיתול ו-.

הערה:

נזכור שלפי סיווג מאמצים תונדים, עבור חומרים פריכים אנו משתמשים ב- ו- כרגיל, ואילו עבור חומרים משיכים, אנו לא מתחשבים ב- ו- בחישוב המאמץ הממוצע.

בהנחה ולגל יש חתך עגול, נוכל לדייק את המשוואות:

כעת, לפי פון מיזס, המאמצים השקולים:

הצבת מאמצים שקולים אלו באחד מקריטריוני הכשל, למשל DE-Goodman, יניב:

אז אם למשל דורשים מקדם ביטחון כלשהו, הקוטר של הגל יצטרך להיות לפחות:

או במקרה של Soderberg, מקדם הביטחון יהיה:

ואז הקוטר המינימלי:

הערה:

הפתרון כולל חישובים איטרטיביים כי ו- לא מוגדרים ותלויים בקוטר .

עבור גל חלול נדרש:

ואז או שנותנים לנו את או , או שפשוט בוחרים שרירותית את אחד מהם, כמובן כל עוד הבחירה נמצאת בקנה מידה של התכן.

קריטריוני גודמן וגרבר אינם מתייחסים לכניעה במחזור הראשון (תחילת דפורמציה פלסטית) ולכן נדרש חישוב נוסף של לאנגר:

כדי לבדוק כניעה, המאמץ פון-מיזס המקסימלי מושווה למאמץ כניעה:

שיעור מקדמי ריכוז מאמצים

תהליך ניתוח המאמצים להתעייפות בגלים תלוי מאוד בחישוב מקדמי ריכוזי המאמצים. אבל ריכוזי המאמצים תלויים בגדלים ואורכים שלא יודעים כאשר ניגשים לתכן בפעם הראשונה. למזלנו, כיוון שלרוב גלים ומרכיביהם הם סטנדרטיים, ניתן לשערך את מקדמי ריכוז המאמצים.
כתפיים למסבים ותמיכה בגג”שים צריכות להתאמים למפרט קטלוג עבור אותו המסב או הגג”ש. עבור מסב טיפוסי, הדרישה היא שהיחס של הכתף תהיה בין ו-. לשיערוך ראשוני, נוכל לקחת את המקרה המחמיר של . באותו אופן, הרדיוס פליט בכתף נע בין ו-, אז ניקח את המקרה המחמיר של .
בטבלה 7-1 מסוכמים מקדמי ריכוז מאמצים לשיעור ראשוני בתכן גל.

במקרים בהם הכתף במסב היא נקודה קריטית, המתכנן צריך לבחור מסב עם רדיוס פילט נדיב, או לתכנן פילט יותר גדול על הגל:
bookhue

טכניקות להורדת ריכוז המאמצים בכתך התומכת במסב עם רדיוס חד. (Budynas et al., 2015).

שיקולי שקיעות

כאשר אנו רוצים לדעת את השקיעה של חלק מסוים, אפילו בנקודה אחת עליו, אנו צריכים לדעת את כל הגאומטרייה שלו. לכן, נרצה לתכנן את הממדים בנקודות הקריטיות כדי לטפל במאמצים, ולמצוא שיעורים די טובים לכל הגדלים האחרים, לפני שמבצעים ניתוחי שקיעות. שקיעה של הגל, בין אם לינארית או זוויתית, צריכה להיבדק בגג”שים ומסבים. השקיעות המותרות תלויות בהמון גורמים, וקטלוגים של מסבים וגג”שים מספקים את גבולות השקיעה בהם החלקים יכולים לעמוד. טבלה 7.2 היא מדריך גס לטווחים הטיפוסיים של שיפועים ושקיעות מקסימליות לגג”שים ומסבים.

שקיעות עקב העמסה בגלים (transverse deflections) יכולות להשפיע על ממשקים בין גלגלי השיניים ולדינמיקת הסיבוב של הגל.
זווית שיפוע השקיעה (slopes) יכולים לחרוג ממגבלות מסבים תוך גרימת שחיקה מוגברת.
זווית פיתול לאורך הגל (angular deflections) יכולה להכניס אלסטיות/גמישות אשר תפגע בדינמיקה של המערכת והבקרה.

ניתוח שקיעות הוא תהליך די טכני וארוך, שלרוב משתמשים בתוכנות אלמנטים סופיים כדי לחשב אותם, אבל כאן בקורס אנו אוהבים לפעול בשיטה הישנה של טבלת שקיעות.

ברגע שכל השקיעות בנקודות כלשהן נמצאו, אם כל ערך גדול מהשקיעה המותרת בנקודה זו, נדרש קוטר גל גדול יותר מאחר ו- פרופורציוני ל-, הקוטר החדש ניתן לחישוב לפי:

כאשר הוא השקיעה המותרת בנקודה זו ( עבור allowed) ו- הוא המקדם לתכן (גדול מ-).
באותו אופן, אם שיפוע כלשהו גדול מהשיפוע המותר , קוטר חדש ניתן לחישוב ע”י:

כאשר הוא השיפוע המוצר.
עבור גל מדורג עם אורך גליל ומומנט פיתול , הזווית פיתול מחושבת ע”י:

מהירויות קריטיות

כאשר גל מסתובב, כל חוסר מרכזיות בו גורם לכוח צנטריפוגלי שיוצר שקיעה. כל עוד השקיעות קטנות, אין בעיה. אבל, ישנם מהירויות קריטיות שבהן הגל לא יציב, בהם השקיעות גדלות ללא הגבלה (רטט רטט רטט). הנחיית התכן היא שמהירות העבודה של הגל תהיה:

כאשר היא המהירות הקריטית והיא מחושבת ע”י:

כאשר היא מסת הגל ו- הוא אורך הגל.
עבור גל בחתך עגול זה הופך להיות:

חלקי גל שונים

בורג עוצר - Setscrews

לעומת ברגי הידוק, שתלויים במתיחה כדי לבנות כוח הידוק, בורג עוצר, שנקרא לו מעכשיו setscrew כי התרגום לעברית די גרוע, תלוי בלחיצה כדי לבנות כוח הידוק.

bookhue

מבט איזומטרי על setscrew. סתכלו על הידית של הדלת שלכם, יש שם setscrew. ויקיפדיה

ההתנגדות לתנועה צירית בצוואר יחסית לגל נקראת כוח החזקה (holding power). כוח זה, שהוא תאכלס התנגדות לכוח, הוא כתוצאה מחיכוך בין הצוואר והגל. כוחות ההחזקה של setscrews סטנדרטים שונים מפורטים בטבלה 7-4.

פינים

בגלים, מטרת הפינים (pins) ושגמים (keys) היא חיבור מרכיבים סובבים, כמו גג”שים, גלגלות, או גלגלים אחרים. לעומת שגמים, הפין עוזר למקם את הרכיבים השונים ל-אורך ציר הגל, ולהעברת מומנט או כוח צירי, או שניהם. הפין נדרש לא לעבור .

bookhue

סוגי פינים שונים. (Juvinall & Marshek, n.d.).

סיומת משוננת

סיומת משוננת (spline), שלרוב כבר חתוכים בתוך הגל, מספקים את המחבר הכי טוב לתמסורת מומנטי פיתול. פשוט יקר לייצר אותם:
bookhue

סיומות משוננות טיפוסיות. (Juvinall & Marshek, n.d.).

המלצה לאורך:

את מאמץ הגזירה נחשב ב- - קוטר הפסיעה. בנוסף, אנו מניחים שרבע מהשטח נושא בעומס:

נסכם:

שגמים

מטרת השגמים (keys) היא לאפשר העברת מומנט מהגל לטבור (hub), שלרוב עוטף את הגל.

bookhue

שגמים טיפוסיים. (Juvinall & Marshek, n.d.).

כדי למזער נזקים כתוצאה מחוסר יַשְׁרוּת (straightness), מומלץ לבחור אורך שגם הקטן פי מרוחבו.
אם שגם אחד לא מספיק לשאת את העומס, מוסיפים שגם נוסף באותו חתך. בגדל דיוקי ייצור, שני שגמים לא נושאים כל אחת בחצי עומס. לרוב ממקמים אותם באופן סימטרי, אחד מנגד השני, אבל לפעמים גם במרווח של אחד מהשני כאשר רוצים להעביר מומנטים ציקליים (cyclical).

חישובי חוזק שגמים

הנחות:

השגם מעביר פיתול במגע רציף בין הגל לטבור.
הפיתול מתורגם לכוח הופעל על חלק מדופן השגם.
רגישות השגם לכשל הינה בגזירה חתך השגם או במעיכת דופן השגם.
תקינות מאמץ הגזירה בחתך מחושב עם קריטריוני כשל בהתעייפות (במידה והפיתול מחזורי).
תקינות מאמץ הלחיצה על דופן השגם מחושב סטטית כיוון שהינו מצוי בלחיצה (תמיד).

דג”ח על אופן פעולת שגם טיפוסי.

הערה:

עם כל החישובים המפורטים בהמשך, נזכור תמיד כי אורך השגם צריך גם לקיים ככלל אצבע.

הכוח הפועל על השגם:

אם הוא תונד:

המאמצי גזירה:

לכן בהתעייפות, לפי קריטריון גודמן:

נציב את (JM5.2) ונקבל:

תזכורת:

מתקיים , ולפי פון מיזס, מתקיים . בנוסף, בחישוב ניקח מקדם תיקון להעמסה כיוון שמדובר בפיתול.

במחזור ראשון, לפי קריטריון לנגר:

כאשר הוא מקדם הביטחון לגזירת השגם. נציב את (JM5.1), ונשים לב כי :

כאשר .
מבחינת מעיכה, הכשל הינו בלחיצה בלבד, ולכן במקרה זה הוא מחושב בצורה סטטית בלבד, ללא התעייפות:

כאשר הוא שטח החתך למעיכה, שהוא כי נהוג להניח שגובה השגם במעיכה הוא פשוט .
את מקדם הביטחון למעיכה מחשבים בעזרת חוזק כניעה במעיכה. כאשר לוקחים אותו בחשבון, נקבל כי:

כאשר .

כאשר אנו מתכננים שגם אנו רוצים שהוא יעמוד במקדם ביטחון כלשהו, אבל גם שהוא בוודאות ייכשל במקדם ביטחון - אנו רוצים שהוא יתפקד כ-”פיוז מכני”. כך תמיד השגם ייכשל לפני הגל והטבור, ופשוט נצטרך להחליפו. דרישה זו הופכת את קביעת אורך השגם לטיפה מוזרה, אבל היא מפורטת בשאלה 3.

חיבורי מדחק גליליים

חיבורי מדחק (interference) בין גליל ומרכיביו לפעמים יכול להיות אחלה תחליף לכתפיים ושגמים. המתכנן חופשי בבחירת הגאומטרייה של המדחק בין גל וחור שיבטיחו את הפעולה שהוא רוצה. בכל זאת, ישנם סטנדרטים המפורטים בטבלה 7-9 העוזרים בבחירת המדחק כי למה לא.
כדי לדעת אם החיבור מדחק יגרום לכשל בגל או בחור, עלינו שנייה לחזור טיפה למאמצים במאמצי לחץ גליליים ממוצקים 2. הקטע ששמה דיברנו על מכלי לחץ דקי דופן, וכאן אנו כבר חייבים להתייחס למכלי לחץ עבי דופן, שזה כבר חומר טיפה יותר מתקדם, אלא אם כן אתם ספי, ואז זה תקין לגמרי לתת שאלה כזאת במועד ב’ למרות שלא למדנו מכלי לחץ עבי דופן. סליחה.

מאמצים באפיצויות מדחק

bookhue

גליל הנתון ללחץ חיצוני ולחץ פנימי. (Budynas et al., 2015).

עבור גליל עבה דופן, ניתן להראות שהלחצים בכיוון המשיקי והרדיאלי הם:

כאשר שני חלקים גליליים מורכבים אחד על גבי השני באופן כזה או אחר, מתפתח לחץ מגע בין שני חלקים אלו. מלחץ זה נוכל למצוא את המאמצים לפי הנוסחה לעיל.
האיור הבא מראה שני גלילים שהורכבו ע”י כיווץ (shrink fit)
bookhue

סימונים עבור אפיצות כיווץ ולחיצה (shrink and press fits). (a) חלקים לפני ההרכבה. (b) חלקים לאחר ההרכבה. (Budynas et al., 2015).

לפני ההרכבה , הרדיוס החיצוני של הגליל הפנימי היה גדול יותר מהרדיוס הפנימי של הגליל החיצוני במדחק רדיאלי . לאחר ההרכבה, מתפתח לחץ מדחק בין החלקיקים ברדיוס הנומינלי , מה שגורם למאמצים רדיאליים בכל חלק במשטחים הנוגעים אחד בשני. לחץ זה נתון ע”י (במובנים של קטרים במקום רדיוסים):

או, במקרה בו החלקים מאותו החומר:

כאשר הוא קוטר הגל הנומינלי, הוא הקוטר הפנימי (אם קיים) של הגל, הוא הקוטר החיצוני של הטבור, הוא מודול יאנג, ו- הוא יחס פואסון.

עבור גל מלא, , ואז:

הערה:

נראה לי יש טעות בהרצאה, אני לא בטוח, כי שם רשום (אמנם ברדיוס, אבל זה עדיין לא מסתדר):

אז נשתמש בנוסחה זאת בחישובים כי זה מה שיש בהרצאה וכולם העתיקו.

כעת נוכל לחשב את המאמצים המשיקיים (מפיתוח ממשוואות (3.45) ועוד כמה צעדים בדרך):

המאמצים הרדיאליים במדחק הם פשוט:

ניתן להשתמש בלחץ לחישוב המאמץ בגליל ובטבור כדי לוודא שהמאמץ אינו חורג מהמאמץ המותר. בנוסף, הפיתוח מניח כי אורך הגליל ואורך הטבור זהים. אם הטבור קצר מהגליל (טבור ע”ג גל) הלחץ בקצוות הטבור יהיה גדול יותר. מקובל לעשות שימוש במקדם ריכוז מאמצים.

את המאמץ השקול על כל חלק נוכל לחשב בעזרת פון מיזס:

יכולת תמסורת מומנט במדחק

כמות המומנט שניתנת להעברת דרך אפיצות מדחק ניתנת לשיערוך בעזרת ניתוח חיכוך פשוט במדחק עצמו. כוח החיכוך הוא המכפלה של מקדם החיכוך והכוח הנורמלי הפועל על המדחק. הכוח הנורמלי ניתן לייצוג כמכפלה של הלחץ ושטח פני המגע של המדחק. לכן, כוח החיכוך הוא:

או פשוט:

כאשר הוא אורך התבור. כוח חיכוך זה פועל עם זרוע מומנט של כדי לספק את המומנט במחבר, אז:

או פשוט:

המדחק המינימלי צריך להיקבע ממציאת הלחץ המינימלי שממנו מחשבים את המומנט המקסימלי שהמחבר צריך להעביר בלי להחליק.

הערה:

במידה ונדרש חימום או קירור להרכבת חיבור מדחק, הפרש הטמפרטורות נתון ע”י:

כאשר הוא מקדם ההתפשטות תרמית של הגל, שניתן למצוא מטבלה 3-3.

תרגילים

תרגיל 1

על גל מושחז העשוי פלדת פחמן מורכבים שני גלגלי שיניים, עליהם פועלים כוחות כמתואר באיור. תכונות הפלדה:

הפלדה משיכה.
bookhue

סכימת הבעיה.

סעיף א’

מצא ריאקציות במסבים ו-.

פתרון:
נמצא את הריאקציות:

דג”ח חיצוני.

מסכום כוחות ומומנטים במישור-:

ממערכת המשוואות נקבל:

מסכום כוחות ומומנטים במישור-:

נקבל:

סעיף ב’

ציירו דיאגרמת מומנטים במישור- ו-.

פתרון:

דיאגרמת מומנטי כפיפה בכיוון ו-. ערכים רלוונטיים לסעיפים הבאים מצוינים על הגרף.

סעיף ג’

ציירו דיאגרמת מומנט פיתול .

פתרון:

דיאגרמת פיתול.

סעיף ד’

עבור אמינות של מהו מקדם הביטחון לאורך חיים אינסופי של הגל?

פתרון:
ראשית נקבע מהו החתך המסוכן. ישנם ארבעה חשודים:

גלגל השיניים השמאלי - מקסימאלי.
גלגל השיניים הימני - מקסימאלי.
חתך -ריכוז מאמצים.
חתך - ריכוז מאמצים.

נחשב את המומנטים בכל אחד מהחתכים:

מומנט הפיתול שווה בכל החתכים.
בחתך בו נמצא הגג”ש הימני, , מומנט הכפיפה הוא הגדול ביותר. עם זאת, בחתך בו משתנה הקוטר, , ישנם ריכוזי מאמצים.
בחתך בו נמצא הגג”ש הימני המומנטים (וגם המאמצים) גדולים בכ- יותר מאשר בחתך , ואילו מקדם ריכוז המאמצים יגדיל את המאמצים בחתך שנוצרו ע”י גזירה ופיתול בכ- עד , ובנוסף מאמצי כפיפה יוסיפו גם כן. לכן נבחר בחתך כהחתך מסוכן.

לפי קריטריון גודמן, משוואה (7.7):

נסווג את המומנטים ב- למומנטים תונדים ולא תונדים. מאחר ומומנטי הכפיפה תונדים ביחס לנקודה חומרית, והפיתול קבוע, נסיק כי:

נחשב את לפי משוואת מארין.
במקרה שלנו , וגם:

אנחנו במצב מאמצים סובב:

מצב מאמצים מעורב, אין נתון על הטמפרטורה, ואמינות :

נציב הכל:

מבחינת מקדמי ריכוז מאמצים, לפי גרף A-15-9:

מבחינת רגישות לחריץ:

ולכן:

נציב הכל בקריטריון גודמן ונקבל:

הגל ייכשל בהתעייפות ונדרש לחשב את מספר המחזורים לכשל.

שאלה 2

נתון גל כמתואר בציור. הגל סובב במהירות .

סכמת הבעיה.

כתוצאה מצורת העמיסה בקצה הציר נוצר מומנט פיתוח מחזורי בגל, המתנהג לפי .
במרכז הציר נמצא זיז (אקסנטר) עם עוקב גלילי. הכוח הרדיאלי הפועל על הגל בגלל הזיז הינו מחזורי ותנון ע”י . השינויים במומנט הפיתול בגלל הזיז זניחים.
מרכז הכובד של הזיז מרוחק מציר הסיבוב של הגל. משקל הזיז . הגל עשוי פלדה פחמנית AISI 1030 A Q&t1000F. מיוצר בהשחזה ומשיך.
רדיוס הפילט של הגל באזור הזיז הוא , כמו כן ידועים מקדמי ריכוז המאמצים באזור זה - .
דרוש מקדם ביטחון ואמינות לאורך חיים אינסופי.