CAL2_001 וקטורים

וקטורים

וקטור גאומטרי

הגדרה:

וקטור הוא גוף גאומטרי בעל גודל וכיוון.

סימונים
וקטור:
וקטור יחידה (וקטור עם גודל או אורך ):
וקטור האפס:
גודל וקטור:

מה עם הוקטורים שמוזכרים ב אלגברה לינארית?

מרחבים וקטוריים הם למעשה הכללה של הוקטור הגאומטרי כפי שנלמד בקורס זה. כדי להבדיל בין השניים, לפעמים קוראים לוקטור גאומטרי גם וקטור אוקלידי.

כפל וקטור בסקלר

הגדרה:

יהי וקטורים שונים מ- ויהי סקלר . אזי עבור הכפל הבא:

נשים לב כי אם אז הוא וקטור בכיוון של עם וגודל .
אם אז הוא וקטור בכיוון ההפוך של וגודל .
אם אז .
בנוסף, נאמר כי אם אז:

והוא נקרא הוקטור הנגדי של .

זווית בין שני וקטורים

הגדרה:

נביא שני וקטורים למצב של זנב משותף. הזווית בין שני החצים (המינימלית) היא הזווית בין הוקטורים. נסמנה ע”י , כאשר נשים לב כי .

נבחין בין מספר מקרים:

• אם אז עם כיוון זהה.
• אם אז עם כיוונים הפוכים.
• אם אז נאמר שהווקטורים ניצבים (אורתוגונליים).

נרמול וקטור

הגדרה:

נאמר כי הפיכת וקטור לוקטור יחידה בכיוון זהה של היא נרמול של :

חיבור וחיסור וקטורים

הגדרה:

נגדיר את הסכום בצורה הבאה:

1. נביא את שניהם למצב של זנב משותף.
2. נשלים את המקבילות הנקבעת ע”י שניהם.
3. נוציא אלכסון מנקודת הזנב המשותף לנקודה השנייה במקבילות.

את החיסור נגדיר בעזרת החיבור:

היטל

הגדרה:

נגדיר את ההיטל של הוקטור על הוקטור בצורה הבאה:

אם אז ההיטל של על הוא וקטור ה-.
אם ההיטל לא מוגדר.
אם ההיטל הוא .

הערה:

לפעמים מפרידים במושגים היטל והטלה, כאשר בהיטל הכוונה רק לגודל של הוקטור, ובהטלה מתכוונים לוקטור עצמו.

תלות לינארית

הגדרה:

נתונים שני וקטורים שונים מאפס.

1. אם קיים ממשי כך ש- , אז נאמר שהם תלויים (או קולינאריים).
2. נתון בנוסף וקטור שונה מאפס, אם השלישיה קבוצה תלויה אז מונחים על מישור אחד (קופלנרים).

מערכת קרטזית

הגדרה:

נסמן ב- וקטור יחידה בכיוון החיובי של ציר , ב- וקטור יחידה בכיוון החיובי של ציר , וב- וקטור יחידה בכיוון החיובי של ציר .
לכל נקודה נתאים וקטור שהזנב שלו בראשית והראש ב-.
בנוסף, נסמן ב- את הזווית בין ל-, ב- את הזווית בין ל-, וב- את הזווית בין ל-.
נשים לב כי:
הוקטור הוא ההיטל של בכיוון של ציר .
הוקטור הוא ההיטל של בכיוון של ציר .
הוקטור הוא ההיטל של בכיוון של ציר .
בנוסף:
1.

דוגמאות:

1. עבור , הוקטור המתאים:

ננרמל את הוקטור:

פעולות במערכת קרטזית

משפט:

יהי שני וקטורים , . אז:

תכונות החיבור והכפל בסקלר

משפט:

יהיו שלושה וקטורים . אז:
1.

6. אי שוויון המשולש:

תרגיל:
נתון משולש שקודקודיו בנקודות:

תיכון היוצא מקודקוד וחוצה את צלע .

• מצאו את .
  פתרון:
  כל משולש הוא חצי של מקבילית. במקבילית אלכסונים חוצים זה את זה, ולכן נוכל לחשב את כך:
• מצאו את חוצה זווית .
  פתרון:
  נשים לב כי כלומר המשולש שווה צלעות, ולכן הוא חוצה זווית וגובה.

מכפלה סקלרית פנימית

הגדרה:

יהיו שני וקטורים שונים מ- כאשר היא הזווית ביניהם. נגדיר את המכפלה הסקלרית שלהם בצורה הבאה:

הערות:

1. המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא סקלר!
2. אם , או , אז: .
3. אם אז .

מכפלה סקלרית במערכת קרטזית

משפט:

נתונים שני וקטורים . אז:

הערה:

נשים לב כי:

מציאת זווית בין שני וקטורים במערכת קרטזית

מסקנה:

נתונים שני וקטורים שונים מאפס, ו- היא הזווית בינהם. אז:

דוגמאות:

1. תהי . אזי:

מציאת היטל במערכת קרטזית

מסקנה:

נתונים שני וקטורים שונים מאפס, -ו- היא הזווית בינהם. אז ההיטל של על ניתן לחישוב באופן הבא:

תכונות המכפלה הסקלרית

משפט:

יהי הוקטורים , אז:
1.

הערות:

1. אין קיבוציות!

כל פעולת כפל היא פעולה שונה.
2. אם:

לא ניתן להסיק כי:

דוגמאות:

1. נתון כי ו-, כאשר .
   אזי:

שני וקטורים ניצבים אמ”ם המכפלה הסקלרית שלהם מתאפסת

טענה:

שני וקטורים ניצבים אמ”ם .

מכפלה וקטורית

הגדרה:

• הגדרה גאומטרית - נתונים הוקטורים כאשר היא הזווית בינהם. נגדיר את המכפלה הוקטורית בצורה הבאה: כאשר הוא וקטור יחידה שהכיוון שלו נקבע לפי חוק היד ימין.
  • הגדרה אלגברית - נתונים הווקטורים ו-, אז:

הערות:

1. מתקיים:

נשים לב כי:

לאחר פתיחת סוגריים, שני הביטויים שווים, ולכן נוכל להסיק ששתי ההגדרות, הגאומטרית והאלגברית, שקולות (לפחות מבחינת הגודל של הוקטור).
2. מתקיים:

ולכן:

תכונות המכפלה הוקטורית

משפט:

1. הוקטורים תלויים אמ”ם .

שימוש גאומטרי:

המקבילית שנבנית מ- ו-.

נשים לב כי וגם (שטח המקבילית). בנוסף:

מסקנה:

נתונים שני וקטורים שונים מאפס. אז שווה (מספרית) לשטח המקבילית הנקבע ע”י .

דוגמאות:

1. נתונות הנקודות במרחב. חשב את שטח המשולש.
   
   נשים לב כי מתקיים:

וכעת נוכל לחשב את שטח המשולש:

תרגילים:

---

תרגיל:
יהיו שלושה וקטורים המקיימים . וגם .
חשבו:

פתרון:

---

תרגיל:
מצאו את השיקוף של הוקטור סביב הישר .

תרשים עזר לפתרון הבעיה.

היטל של על .

---

תרגיל:

נתון , , .
נסמן . חשבו את .
פתרון:

מהנתון נקבל:

ולכן:

מכאן ש:

---

תרגיל:
יהיו ו- אלכסונים של המקבילית כך ש:

תרשים עזר לפתרון הבעיה.

• חשבו את שטח המקבילית.
  פתרון:
  שטח כל מרובע הוא מכפלת האלכסונים כפול סינוס הזווית בינהם לחלק ל-.
  • חשבו את הזווית במקבילית.
    פתרון:
    לפי משפט הקוסינוסים ב- :
  לפי משפט הקוסינוסים ב- : נחסר את שתי המשוואות: מסעיף א’: נחלק את שתי המשוואות:

---

תרגיל:

יהיו שלושה וקטורים לא קולינאריים.
הוכיחו כי:

פתרון:

• כיוון ראשון :
  לפי הנתון: ולכן:
• כיוון שני :
  לפי הנתון: כמו כן, לפי הנתון: אם נסיק כי בסתירה לכך שהם לא קולינאריים ולכן:

---

תרגיל:

יהיו ארבעה וקטורים קולינאריים.
הוכיחו כי:

פתרון:
ארבעת הוקטורים קולינאריים ולכן ניצב למישור המכיל את הוקטורים הנ”ל. באותו אופן, גם ניצב למישור המכיל את הוקטורים הנ”ל ומכאן ש:

ולכן המכפלה הוקטורית שלהם אפס, כלומר:

---

תרגיל:
יהיו ארבעה וקטורים שכולם שונים מאפס וכך שמתקיים . האם מכאן נובע בהכרח כי הם קולינאריים?
פתרון:
הטענה לא נכונה. דוגמה נגדית:

אכן מתקיים אבל הם לא כולם על אותו המישור.

---

מכפלה משולשת

הגדרה:

נתונים הוקטורים . הביטוי או נקרא מכפלה משולשת.

משפט:

נתונים שלושה וקטורים בת”ל. אז:

1. מתקיים:

2. מתקיים (bac to cab):

מכפלה מעורבת

הגדרה:

נתונים שלושה וקטורים . הביטוי: או נקרא מכפלה מעורבת.

משפט:

נתונים הוקטורים .
אז:

1. מתקיים:

2. מתקיימת תכונת הציקליות:

3. הביטוי שווה לנפח המקבילון הנקבע ע”י .
   

מסקנה:

אם המכפלה המעורבת של היא , אז שלושת הוקטורים מונחים על אותו המישור.

---

תרגיל:

יהיו שלושה וקטורים בת”ל. ויהי וקטור נוסף המקיים:

נסמן:

הוכח כי:

פתרון שגוי:

מעבר מ- ל- הוא מעבר שגוי! אין קיבוציות בכפל סקלרי! (ראה הערות בתכונות המכפלה הסקלרית).
פתרון:

ולכן:

נציב ב-:

---