DVI1_008 רטט במערכות רציפות

מבוא

עד עכשיו עסקנו במערכות בדידות - מערכות בהן אנו מניחים שהמסות מרוכזות בנקודות יחידות, דיסקרטיות, והן מחוברות ביניהן ע”י מוטות, קפיצים ואלמנטים אחרים קשיחים חסרי מסה. התנועה של מערכות אלו מתוארת ע”י מד”רים, עם משוואה אחת לכל מסה, ומספר המסות מגדיר את מספר דרגות החופש של המערכת.
כעת, כאשר נעבור למודל טיפה יותר מדויק של מערכות - מערכות רציפות, המשוואות המתארות את התנועה של המערכת יהיו מד”חים. כיף חיים. נצטרך לקחת בחשבון עקרונות ממוצקים, בנוסף לתנאי שפה.

משוואות התנועה של חוט תונד

כדי למדל תנועה של מוט אורכי רציף, אנו יכולים לפרק אותו למספר מסות בדידות, ולהשאיף את פירוק זה לאינסוף. עוד דרך היא לפתח מאזן תנע קווי על כל אלמנט דיפרנציאלי של החוט, כמו שעשינו בפיזיקה 2. ישנה עוד דרך המסתמכת על עיקרון המילטון.

פירוק החוט למספר סופי של מסות. (a) החוט כמערכת בדידה. (b) דג”ח על המסות בחוט. (Meirovitch, 2001).

פירוק החוט לאלמנטים דיפרנציאליים. (a) החוט כמערכת רציפה. (b) דג”ח על אלמנט של חוט. (Meirovitch, 2001).

מפיתוחים אלו אנו מקבלים את משוואת התנועה:

כאשר:

• היא המתיחות בחוט.
• היא צפיפות המסה של החוט.
• הוא הכוח הניצב לאורך החוט.

משוואת תנועה בסיסית זו תקיפה גם עבור בעיות שונות דומות, למשל עבור מוט במתיחה או גל בפיתול. בשביל ההמרות ניתן להיעזר בטבלה הבאה:

גדלים אנלוגיים. (Meirovitch, 2001).

דוגמה: מוט אלסטי:

למשל, אם מדובר במוט אלסטי במתיחה:

נשים לב ש- (מסה ליחידת אורך). אם שטח החתך אחיד, נוכל לרשום:

אם נסמן , נשים לב שנקבל את משוואת הגלים (האי הומוגנית).

קורת אויילר-ברנולי

מעבר לשלושת המקרים המתוארים בטבלה לעיל, בקורס נעסוק גם בקורת אויילר-ברנולי.

סכמה של קורת אויילר-ברנולי כללית.

משוואות התנועה שלה אם מודול האלסטיות והצפיפות אחידים:

זוהי אמנם מד”ח מסדר רביעי, אבל ניתן לפתור אותה באותם השיטות של משוואות גלים כי הצורה מאוד דומה.

רטט חופשי - בעיית ערכים עצמיים דיפרנציאלית

כאשר נרצה למצוא פתרונות לבעיות רטט רציפות, אנו פועלים באופן מאוד דומה לבעיות בדידות. נביט למשל במשוואת התנועה על החוט ההומוגנית:

עם תנאי השפה:

בעיה זו אנו יכולים לפתור בעזרת שיטת הפרדת משתנים.
אנו נניח פתרון מהצורה:

הערה:

במד”ח סימנו את עם במקום. אי אפשר לעשות את זה כאן, כי כבר מייצג את המתיחות.

נציב בחזרה במד”ח:

נחלק ב- :

מאחר וצד שמאל תלוי רק ב- וצד ימין תלוי רק בשמאל:

קיבלנו בעיית שטורם ליוביל. למשל, עבור , היא מהצורה:

כאשר נשים לב שלפי הצורה הכללית של שטורם-ליוביל, פונקציית המשקל במקרה שלנו היא .
נמצא אין סוף ערכים עצמיים , פונקציות עצמיות , ולכן גם , נפתח את תנאי ההתחלה והביטוי האי-הומוגני לטורי פורייה, ועבור הבעיה הספציפית שלנו, נקבל פתרון מהצורה:

כאשר במקרה הזה, , (ראו תרגיל אחרון במשוואת הגלים), והערכים העצמיים אנו סימנו .

נשים לב שבתצורה זו, כבר מופיעים לנו המודים הטבעיים, , של המערכת. היא התדירות הטבעית, ו- ו- הן האמפליטודות והפאזות, בהתאמה, שאותן אנו מוצאים מתנאי התחלה.
הביטויים ו- הם ביטויים התלויים בתכונות המערכת עצמה, בעוד ו- תלויים במשתנים חיצוניים למערכת.

מודים טבעיים של חוט מקובע (בספר, הוא משתמש בסימון במקום . לחוט אידיאלי ישנם אינסוף מודים טבעיים. לתדירות הכי נמוכה קוראים תדר/הרמונית בסיסית (fundamental harmonic), בעוד לתדרים היותר גבוהים קוראים אוברטונים (overtones) או הרמוניות גבוהות. (Meirovitch, 2001).

אנו יכולים לראות מכך שההבדל בין מערכות בדידות למערכות רציפות הוא יותר ב-צורת הפתרון, כי לכל עקרון שראינו במערכות בדידות, נוכל למצוא אנלוגיה במערכות רציפות. למשל, גם במערכות בדידות וגם במערכות רציפות היו לנו תדרים עצמיים . במערכות בדידות היו לנו מודים עצמיים , שהם וקטורים, כמספר דרגות החופש. גם כאן, במערכות רציפות, יש לנו מודים עצמיים, , שהם פונקציות.
גם מבחינת האורתוגונליות של המודים העצמיים יש דמיון מאוד חזק.

אורתוגונליות של מודים

במד”ח ראינו שפונקציות עצמיות של בעיית שטורם ליוביל אורתוגונליות אחת לשנייה:

כאשר היא פונקציית המשקל של הבעית שטורם-ליוביל. במקרה של החוט שראינו לעיל, ראינו כי פונקציית המשקל היא . לכן
במקרה זה, האורתוגונליות היא (עבור שתי פונקציות עצמיות ):

כלומר, המודים העצמיים של המערכת אורתוגונליים לפי האינרציה, שזה בדיוק כמו במערכות בדידות. אם מציבים פתרון כללי לתוך המד”ח , מכפילים ב- כללי אחר, מבצעים אינטגרציה, ומציבים את , מקבלים ש:

שזה מראה שהמודים העצמיים (הנגזרת שלהם) אורתוגונליים לפי הקשיחות.
כלומר, גם במערכות רציפות, יש בי-אורתוגונליות למודים העצמיים לפי האינרציה ולפי הקשיחות.

אנו לרוב מעדיפים לעבור עם מודים עצמיים מנורמלים. כלומר, נדרוש שהמכפלה העצמית שלהם עם עצמם תקיים:

כלומר, נדרוש אורתונורמליות. שזה בדיוק מה שעשינו במערכות בדידות. נוכל לרשום זאת כמו שרשמנו שם:

עבור הקשיחות, ניתן להראות שזה יוצא:

מערכות עם מסות בשפה

אם בשפה יש לנו עוד מסה בדידה, עלינו לחקור מחדש את המד”ח שהגדרנו. אנו נקבל למעשה שאחד מתנאי השפה יכלול את הערך העצמי באופן מפורש. כדי להדגים זאת, נביט במערכת הבאה:

מוט במתיחה עם מסה בקצה. (Meirovitch, 2001).

משוואת התנועה לבעיה זו היא:

כאשר הוא הקשיחות הצירית, הוא מודול יאנג, הוא שטח החתך (המשתנה) של המוט, הוא התזוזה הצירית, הוא הכוח הצירי ליחידת אורך ו- הוא המסה ליחידת אורך. בנוסף, המוט מקובע ב- , ולכן:

כדי לפתח את התנאי שפה הימני, נשים לב שהכוח הצירי קשור לדפורמציית המוט לפי:

בעצם במשוואה אנו אומרים שהכוח בקצה הוא מכפלה של שטח החתך במאמץ (ה- הוא למעשה עיבור במקרה הפשוט - כאשר אנו מכפילים אותו ב- אנו מקבלים מאמץ), בהנחה והמאמץ מפולג באופן אחיד לאורך החתך. כעת, לפי חוק שני של ניוטון על מסה :

נשווה בין ו- כדי לקבל את תנאי השפה ב- :

נסדר טיפה:

כעת עם המד”ח ושני תנאי השפה אנו יודעים לפתור בעזרת שיטת הפרדת משתנים. בהנחה ושטח החתך אחיד לאורך המוט, נוכל לרשום את הבעיה באופן הבא:

אם הבעיה הומוגנית (אין כוח חיצוני):

לפי הפרדת משתנים, אם ננחש פתרון מהצורה ונציב במד”ח:

נציב את הניחוש גם בתנאי שפה בקצה:

לכן הבעית שטורם-ליוביל עבור היא:

זו כבר בעיית שטורם-ליוביל שלא ראינו בעבר, וכעת הפתרון של הבעיה דורש התעמקות נוספת, שאנו מבצעים אותם בתרגילים.

רשימה כוללת של תנאי שפה נמצאת בטבלאות 8.1, 9.1, 10.1, ו-11.1.

תרגילים

תרגיל 1

נתון מוט פיתול בעל קצה רתום וקצה נוסף המחובר לקפיץ פיתול :

סכמת המערכת.

בהמשך נתייחס גם ל-מומנט מפורש - מומנט ליחידה אורך.
המוט בעל קוטר , אורך , בעל מודול גזירה , וצפיפות חומר .

הערה:

שימו לב שכאשר מסת המוט (האינרציה) הייתה זניחה, יכולנו להתייחס אליו כקפיץ פיתול רגיל (כמו במוצקים). כעת לא נוכל לעשות זאת!

לצורך הגרפים, אנו מניחים:

הקוד לפתרון נמצא בGitHub.

סעיף א’

מצאו מודים ותדרים עצמיים באופן אנליטי.

פתרון:
ראינו שמשוואת התנועה למוט פיתול תהיה מהצורה:

במקרה שלנו המוט עגול ואחיד בצפיפותו ובגאומטרייה שלו, כך ש- וגם . נוכל גם לרשום , כך ש:

כדי למצוא מודים ותדרים עצמיים, נבחן את המקרה ההומוגני, ללא כוחות חיצוניים:

נוכל לסדר כדי לקבל את משוואת הגלים:

כאשר . אנו פותרים את משוואה זו לפי שיטת הפרדת משתנים. נציע פתרון מהצורה ונקבל:

ונקבל את בעיית השטורם ליוביל:

כאשר .
לגבי התנאי שפה ב-, יש לנו קפיץ בקצה. אם נבצע דג”ח על קצה המוט, באותו אופן כמו במערכות עם מסות בשפה, נקבל מחוק שני:

נציב את הפתרון שהצענו ונקבל את תנאי השפה השני:

נסכם שהבעית שטורם ליוביל היא:

הפתרון של בעיה זו יהיה מהצורה:

את ו- נמצא מתנאי ההתחלה. נציב את פתרון זה בתנאי השפה ונקבל מערכת משוואות שנוכל לרשום בצורה מטריצית:

נדרוש פתרון לא טריוויאלי. כלומר, נדרוש שהדטרמיננטה של המטריצה לעיל תתאפס. נקבל את המשוואה:

זוהי משוואה סתומה. ניתן לפתור אותה נומרית. מבחינת הצגה גרפית, נקבל:

הצגה גרפית של הפונקציה הסתומה וחיתוכה עם ציר ה- - הפתרונות שלה.

נוכל כעת למצוא את התדרים הטבעיים ע”י הצבה ב- . עבור ששת המודים הראשונים, התדרים הטבעיים:

למעשה קיבלנו ש- הם מודים מתאימים לתדרים העצמיים המתאימים. כלומר הם המודים (הפונקציות העצמיות) וכל מוד יתקבל ע”י הצבת (עד כדי הכפלה בקבוע):

הפונקציות/המודים העצמיים של המערכת הנ”ל.

סעיף ב’

כעת נניח שפועל מומנט מפורס ומומנט מרוכז בקצה ב- . חשבו מודים מנורמלי מסה.

פתרון:
קיבלנו קודם שהמודים הם . בדומה למערכות מרובות דרגות חופש המודים נכונים עד לכדי קבוע. הסימון בא להעיד על כך שמדובר במוד לא מנורמל מסה. על מנת לנרמל במסה נשתמש בתכונות הבי-אורתוגונליות של המודים. עבור מערכת רציפה, היא מוגדרת כך:

כאשר היא הדלתא של קרונקר.
נדרוש שהקבועים במודים יהיו כאלה שהמסה המודלית של המודים מנורמלי המסה תהיה . כלומר:

לכן לכל מוד נקבל בהתאמה:

כאשר לא באמת מוגדר כי הוא פשוט המוד הטריוויאלי .

סעיף ג’

מצאו את משוואת התנועה בקואורדינטות מודליות בנוכחות מומנט מפורש כללי .

פתרון:
משוואת הגלים למוט פיתול בהינתן מומנט מפורס היא:

אנו יודעים שניתן לרשום את הקואורדינטות הפיזיקליות כקומבינציה של המודים העצמיים בעזרת הקואורדינטות המודליות באופן הבא:

נציב במד”ח ונקבל:

נכפיל מצד שמאל ב- ונקבל (לאחר ביצוע אינטגרל):

מפני שהמודים מנורמלי מסה ובגלל תכונת הבי-אורתוגונליות נקבל כי האינטגרלים שונים מאפס כאשר , וערכם:

כך שמשוואות התנועה המודליות:

כאשר:

כמו במערכות בדידות, הוא הכוח על המוד ה- - הטלה של הכוחות על הקואורדינטות המודליות.

סעיף ד’

עבור מומנט מפורס הרמוני , מצאו את פונקציית תגובת התדירות.

פתרון:
המד”ח לינארית ולכן משפט תגובת התדירות מתקיים! כלומר, התגובה במצב מתמיד בעלת אותו תדר:

משוואת התנועה המודלית היא לינארית ולכן תגובת התדירות מקיימת לכל אחת מהקואורדינטות המודליות:

כלומר:

לכן, מ- ו-:

את נמצא ע”י הצבה של במשוואת התנועה המודלית :

נחלק ב-, נעביר אגפים, ונקבל:

שזה בדיוק כמו פיתוח תנאי התחלה במד”ח. לכן, תגובת התדירות, מהצבה ב-, היא:

כמו במערכות מרובות דרגות חופש, ניתן להניח שקיים ריסון מודלי:

ואז תגובת התדירות תהיה מהצורה:

סעיף ה’

עבור ריסון מודלי של , נתון כי המומנט המפורש הינו:

והמומנט בקצה הוא . מצאו את תגובת התדירות לכל אחד מהמומנטים לתדר מודלי.

פתרון:
נוכל למדל את המומנט בקצה כפונקציית דיראק:

נמצא את היטל המומנט על הקואורדינטות המודליות:

לכן אמפליטודת הכוח המודלי:

נציב ב-:

כלומר, כדי לקבל את תגובת התדירות, אנו צריכים לסכום אינסוף מודים. נשים לב שלמודים הגבוהים השפעה נמוכה יותר על תגובת התדירות.

למה?

נשים לב שכאשר גדל אז מבחינת הגודל:

ומבחינת הפאזה:

כך שגם מבחינת הפאזה וגם מבחינת הגודל, למודים הגבוהים אין השפעה על תגובת התדירות.

לכן, ניתן לבצע “קיצוץ” מודלי - נוכל לחשב את פונקציית תגובת התדירות ע”י סכום סופי, שרירותי (עם קצת שיקול דעת), של מודים.

סעיף ו’

מצאו גרפית כמה מודים יש לכל בכל קיצוץ כאשר וכאשר ידוע כי המומנט בקצה בעל תדר מקסימלי .

פתרון:
נשים לב שככל שנסכום יותר מודים אנו יותר מדויקים:

תגובת התדירות עבור (בקצה המוט) עבור סכימת מספר מודים שונים.

ניתן לראות שאנו מספיק מדויקים בתדירות עבור מודים, ולכן מספיק לקצץ מהמוד החמישי והלאה.

כלל אצבע:

הסכימה תכלול את כל המודים עם התדירויות העצמיות עד לתדר של פי שתיים מהתדר המקסימלי של העירור.

תרגיל 2

נרצה לנתח קורת אויילר-ברנולי תחת כפיפה:

סכמת הקורה, עם קפיץ אנכי וקפיץ פיתול בקצה.

נניח שהקורה היא קורת אויילר-ברנולי (כמו במוצקים 2):

• בעת השקיעה המישורים (החתכים) נשארים מישורים.
• הציר של הקורה נקרא הציר הנייטרלי והוא נורמל למישורים האלו.

הנחות אלו לא תקפות אם השקיעות גדולות ביחס לעובי, או אם למשל אורך הקורה קטן - קורות שאינן שלוחות ביחס לעובי.

נתונים לסימולציות:

הקוד לפתרון נמצא בGitHub.

סעיף א’

מצאו את המודים והתדרים הטבעיים של המערכת.

פתרון:
משוואת התנועה של קורת אויילר-ברנולי היא:

נחלק ב- ונקבל משוואת גלים:

כאשר . נבצע הפרדת משתנים, כך שנניח פתרון מהצורה:

נציב בחזרה במד”ח:

כאשר , אחרת נקבל פתרון טריוויאלי.
נפתור קודם את החלק המרחבי (נפתור עבור ) - נקבל בעיית שטורם-ליוביל:

כאשר .
מבחינת תנאי שפה, בקצה השמאלי ישנו סמך פשוט, כך שהשקיעה היא אפס:

וגם לא פועל עליו מומנט:

בקצה ימין קיים קפיץ לינארי וקפיץ פיתול, נמצא תנאי שפה מדג”ח דיפרנציאלי על הקצה:

דג”ח דיפרנציאלי על .

נקבל מסכום כוחות בכיוון הצירי:

במובנים של , זה אומר:

מבחינת קפיץ הפיתול נקבל באופן דומה מסכום מומנטים:

לכן הבעית שטורם-ליוביל היא:

נפתור את המד”ר לפי מד”ר עם מקדמים קבועים:

לכן הפתרון הכללי:

נציב את תנאי ההתחלה בחזרה במד”ר ונקבל ארבע משוואות, שנוכל לייצג אותן באופן מטריצי:

אנו לא מעוניינים בפתרונות טריוויאליים, לכן כדי למצוא תנאי על נאפס את הדטרמיננטה. נקבל פונקציה סתומה עבור , שהיא די ארוכה:

נשים לב ש- הוא אחד מהפתרונות, אבל ניתן לראות שפתרון כזה נותן את הפתרון הטריוויאלי (אם נציב בחזרה במד”ר). את שאר ה- נמצא נומרית. אם רוצים גרפית, נמצא כי:

גרף לוגריתמי של הפונקציה הסתומה. כל ירידה חדה של הפונקציה למטה היא למעשה שורש, כי, אמנם קשה לראות את זה, אבל זה אסימפטוטה אנכית. בגרף לוגריתמי, ירידה חדה כזאת מעידה על חיתוך עם ציר ה- (זה לא תמיד נכון, אבל מספיק בשבילנו כאן).

כדי למצוא את התדרים העצמיים, נזכור ש- .

כעת עלינו למצוא את המודים (אופני התנודה). נמצא את המקדמים ע”י הצבת הערך העצמי במטריצת תנאי השפה ופתירת מערכת המשוואות עבור . נזכור שקבוצת מקדמים כזאת נכונה עבור מסוים.

איך עושים ב- MATLAB?

נמצא את גרעין מטריצת תנאי השפה. ב-MATLAB עושים זאת ע”י הפקודה null(BCM(beta)) כאשר beta היא התדירות העצמית שאנו מעוניינים בה ו-BCM היא מטריצת התנאי שפה:

C=null(BCM(beta))

בנוסף, אין קבוצת יחידה עבור מסוים, אלא יש אינסוף כאלה - הם נכונים עד כפל בקבוע. לכן נוכל לרשום את המודים העצמיים (שלא מנורמלי מסה):

כאשר הוא קבוע שרירותי.
הצורה שלהם (אם למשל ):

צורת המודים העצמיים של המערכת (עד מוד ).

סעיף ב’

חשבו את המודים המנורמלי מסה.

פתרון:
מתכונות הבי-אורתוגונליות:

לכן נגדיר את המודים העצמיים המנורמלי מסה:

סעיף ג’

מצאו פתרון לתנאי ההתחלה

עם ריסון מודלי אחיד בגודל .

פתרון:
אנו יכולים לרשום את תגובת המערכת כ:

נציב את פתרון זה בחזרה במד”ח, נכפול ב-, ונבצע אינטגרציה כך שנקבל:

בעזרת הבי-אורתוגונליות נקבל פשוט (לאחר הוספת ריסון מודלי כי ביקשו):

כל אחד מהמודים שמתקבל, לאחר פתרון המד”ר (לא נראה כאן פיתוח):

כאשר .

נתונים תנאי ההתחלה, שכל אחד מהם נצטרך לפתח לטור לפי פונקציות עצמיות:

לכן, עלינו למצוא מהם ו-. מתוך תכונת בי-אורתוגונליות נקבל:

סעיף ד’

מצאו את הפתרון בעזרת חמשת המודים הראשונים, עם ריסון מודלי של עבור תנאי ההתחלה הבאים:
1.

2.

פתרון:
אנו נדרשים לחשב את התגובה לשני תנאי ההתחלה באמצעות חמישה מודים, כאשר הריסון המודלי הוא . נשים לב שמאחר ובשני המקרים , במובנים של סעיף קודם, לפי , זה אומר , ולכן . את נחשב לפי :

אם נציב בחזרה במשוואה , שאותו נציב ב-, נקבל ביטוי לתגובה, .

עבור תנאי ההתחלה הראשון:

שיעור התנאי התחלה לפי חמשת המודים הראשונים .

תגובת כל מוד לתנאי ההתחלה .

נשים לב כי:

1. מהתגובה המודלית ניתן לראות שהיטלי תנאי ההתחלה על המוד הראשון הוא הגדול ביותר.
2. כמו כן ניתן לראות שהמודים הגבוהים דועכים מהר יותר ולאחר חצי שניה בערך התגובה מורכבת כמעט אך ורק מהמוד הראשון.
3. ניתן לראות שיש הבדל בין תנאי ההתחלה המקורי לבין זה המתואר באמצעות הסכום המודלי המקוצץ, שעושה שימוש בחמישה מודים בלבד. השגיאה בין צורת הכפיפה לתנאי ההתחלה אינה זניחה, אולם מתקבלת על הדעת. ע”מ להקטין את השגיאה יש להתחשב במודים נוספים בסכום המודלי.

עבור תנאי ההתחלה השני:

שיעור התנאי התחלה לפי חמשת המודים הראשונים .

תגובת כל מוד לתנאי ההתחלה .

נשים לב שניתן לראות שיש הבדל משמעותי בין תנאי ההתחלה המקורי לבין זה המתואר באמצעות הסכום המודלי המקוצץ, שעושה שימוש בחמישה מודים בלבד. השגיאה במקרה זה אינה זניחה וע”מ להקטינה יש להתחשב במודים נוספים. חישוב התגובה לתנאי ההתחלה באמצעות המודל המקוצץ במקרה זה הינו שגוי ויניב תוצאות גרועות.