משוואת ההולכה
מטרה עיקרית בניתוח הולכה הוא למצוא את שדה הטמפרטורות בתווך מסוים, בעזרת תנאי שפה. כלומר, אנו רוצים לדעת מהו פיזור הטמפרטורות בנפח מסוים לאורך הזמן. בעזרת שדה זה, נוכל למצוא את קצב המעבר חום לפי חוק פורייה.
משפט:
משוואת ההולכה קושרת בין פיזור החום בנפח בקרה מסוים לקצב המעבר חום של הנפח בקרה דרך גבולותיו:
כאשר:
- הביטוי
הוא שדה הטמפרטורה של נפח הבקרה. - הביטוי
הוא קצב ייצור החום הנפחי. - הפרמטר
הוא המוליכות התרמית של החומר (בגרסה זו של המשוואה אנו מניחים שהוא קבוע). - הפרמטר
נקרא הדיפוזיביות תרמית של החומר והוא שווה ל- . בקואורדינטות קרטזיות:
במילים, המשוואה הזאת טוענת שבכל נקודה בתווך, סך קצב מעבר האנרגיה ע”י הולכה לתוך יחידת נפח ועוד קצב יצירת האנרגיה חייב להיות שווה לקצב שינוי האנרגיה התרמית בתוך הנפח בקרה. עכשיו בדיעבד אני קולט שכנראה אי אפשר לעקוב אחרי המשפט הזה.
פיתוח:
כדי לפתח את משוואת ההולכה, נביט בנפח בקרה דיפרנציאלי, כפי שמתואר באיור הבא:
נפח בקרה דיפרנציאלי בקואורדינטות קרטזיות. (Bergman & Lavine, 2017).
נניח והתווך לא דחיס, כך שהצפיפות לאורך התווך אחידה. בנוסף, נניח גם שאין תנועת זורם, ושפיזור הטמפרטורה
נרצה לרשום כעת את חוק ראשון עבור הנפח בקרה הזה. בהיעדר תנועה, אין שינויים באנרגיה המכנית ושום עבודה לא מתבצעת על המערכת. רק השינויים באנרגיה התרמית צריכים להילקח בחשבון. בפרט, אם יש גרדיאנטים בטמפרטורה, מעבר חום בהולכה יתרחש לאורך כל אחד מהמשטחי בקרה (לאורך הגבול של הנפח בקרה). קצבי ההולכה בכל אחד מהכיוונים מסומנים לפי הציר המאונך למשטח הבקרה הרלוונטי -
במילים, משוואה המשוואה הראשונה אומרת שרכיב ה-
בתוך התווך יכל להיות גם ביטוי למקור אנרגיה הגורם לייצור אנרגיה תרמית. את הביטוי נוכל לרשום כ:
כאשר
בנוסף, שינויים עלולים להתרחש בכמות של האנרגיה התרמית הפנימית בחומר בנפח בקרה. אם בחומר לא חל שינוי בפאזה, אז אין שינויים באנרגיה הכמוסה של החומר, כך שבביטוי אנרגיית הגוף
כאשר השתמשנו בהנחה ש-
נרצה כעת להציב את המשוואות שמצאנו בחוק הראשון של התרמודינמיקה, בנגזרת שלו לפי הזמן:
נשים לב שמעצם ההגדרה:
נציב בחזרה בחוק ראשון:
נוכל להציב את הביטויים עבור
מחוק פורייה נסיק כי קצב המעבר חום בכל אחד מהכיוונים הוא:
כאשר כל ביטוי שטף חום הוכפל בשטח הדיפרנציאלי המתאים. נציב את שלושת משוואות אלו בחזרה בחוק ראשון כדי לקבל:
משוואה זו נקראת משוואת ההולכה (או משוואות החום, heat diffusion equation) בצורתה הכללית, בקואורדינטות קרטזיות. אם ההולכה התרמית
כאשר
כדי שנוכל להכליל למערכות קואורדינטות אחרות, נוכל לרשום את המשוואה גם בעזרת הלפלסיאן:
דוגמה:
פילוג הטמפרטורה לאורך קיר בעובי
ברגע מסוים בזמן נתון כ: כאשר
במעלות צלזיוס ו- במטרים. בנוסף, , , ו- . קיים ייצור חום פנימי אחיד על הקיר בעל שטח , עם התכונות ו- .
סכמת הבעיה. (Bergman & Lavine, 2017).
- מצאו את קצב המעבר חום הנכנס דרך הקיר (
) ושעוזב את הקיר . - מצאו את קצב השינוי של האנרגיה האגורה בקיר.
- מצאו את קצב שינוי הטמפרטורה ב-
ו- . פתרון:
הנחות:
- הולכה חד-ממדית בכיוון
. - תווך איזוטרופי, בלתי דחיס, עם תכונות אחידות.
- ייצור חום פנימי אחיד,
. לפי סעיפים:
- אנו יודעים שברגע שפילוג הטמפרטורה ידוע עבור תווך מסוים, נוכל פשוט להציב את כל הנתונים ישירות בחוק פורייה:
באותו אופן:
ולכן:
- קצב השינוי של מאגר האנרגיה בקיר
ניתן לחישוב בעזרת מאזן אנרגיה (חוק ראשון) על הקיר: כאשר
. לכן: ולכן:
- קצב השינוי של הטמפרטורה בכל נקודה בתווך ניתן לחישוב בעזרת משוואת החום, עם קצת העברת אגפים:
מהנתון על פילוג הטמפרטורה:
נשים לב שהנגזרת הזאת לא תלויה במיקום בתווך. לכן, קצב השינוי של הטמפרטורה גם כן לא תלויה במיקום. נציב בחזרה במשוואת החום:
ולכן:
תנאי התחלה ושפה
כדי למצוא את פילוג הטמפרטורה בתווך מסוים, דרוש לפתור את המשוואת חום המתאימה. אבל, פתרון כזה תלוי בתנאי השפה של התווך, ואם הבעיה תלויה בזמן, אז הוא גם תלוי בתנאי התחלה. מאחר ומשוואת החום היא מסדר שני ביחס למרחב, נדרש שני תנאי שפה בכל קואורדינטה הדרושה כדי לתאר את המערכת. עבור תנאי ההתחלה, נדרש רק אחד, כי המשוואה היא ממעלה ראשונה ביחס לזמן.
ישנם 4 תנאי שפה בסיסיים שניתקל בהם:
![]() | טמפרטורה קבועה | ||
---|---|---|---|
![]() | שטף חום סופי | שטף חום קבוע | |
![]() | משטח מבודד | ||
![]() | הסעה על המשטח |
דוגמה:
מוט נחושת ארוך עם שטח חתך מלבני, שרוחבו
הרבה יותר גדול מהעובי שלו , נמצא במגע עם גוף קירור בפאה התחתונה שלו, והטמפרטורה לאורך המוט היא שווה בערך לטמפרטורה של הגוף קירור, . פתאום, זרם חשמלי עובר דרך המוט וזרם אוויר בטמפרטורה עובר מעל הפאה העליונה שלו, כאשר הפאה התחתונה נשארת במגע עם הגוף קירור.
מצאו את המשוואה הדיפרנציאלית, תנאי ההתחלה ותנאי השפה שנדרשים כדי למצוא את פילוג הטמפרטורה של המוט כפונקציה של מקום וזמן.
סכמת הבעיה. (Bergman & Lavine, 2017).
פתרון:
הנחות:
- מאחר והמוט ארוך וגם
, נזניח אפקטי קצה, כך שהמעבר חום במוט הוא בעיקר חד ממדי ובכיוון . - ייצור חום אחיד אחיד,
. - התכונות הנתונות קבועות.
פילוג הטמפרטורה נשלט ע”י משוואת החום, שבמקרה שלנו היא מהצורה:
תנאי השפה בפאה התחתונה הוא טמפרטורה קבועה:
בפאה העליונה, יש הסעה על המשטח:
תנאי ההתחלה נובע מההכרה שלפני השינוי בתנאים, המוט היה בטמפרטורה אחידה
: כעת, בעזרת כלים ממד”ח ניתן לפתור את הבעיה כדי למצוא את
.
לוח פשוט
נעבור כעת לשיטות פתרון משוואת החום החד-ממדית - כלומר, שגרדיאנט הטמפרטורה קיים רק בממד אחד (ולכן גם קצב המעבר חום מתרחש רק בכיוון אחד).
באיור הבא, לוח פשוט מפריד בין שני זורמים בעלי טמפרטורה שונה. מעבר חום בהסעה מתרחש מהזורם החם ב-
מעבר חום דרך לוח פשוט. (a) פילוג טמפרטורות. (b) מעגל תרמי שקול. (Bergman & Lavine, 2017).
כדי למצוא את קצב ההולכה, נתחיל מהתנאים בתוך הקיר. נמצא את פילוג הטמפרטורה, שממנו נוכל למצוא את קצב ההולכה.
פילוג הטמפרטורה
עבור מצב מתמיד, ללא מקור או “בור” אנרגיה בקיר (כלומר ללא ייצור חום פנימי במערכת), משוואת החום במקרה החד-ממדי היא:
ניתן להסיק מכך שעבור הולכה חד-ממדית, במצב מתמיד בלוח פשוט ללא ייצור חום פנימי, שטף החום הוא קבוע, ולא תלוי ב-
אם ניתן להניח שההולכה התרמית של הקיר היא קבועה, ניתן לרשום את המשוואה בצורה הפשוטה יותר:
ואז הפתרון יהיה (לאחר אינטגרציה פעמיים) מהצורה:
כדי למצוא את הקבועים
לאחר הצבתם נקבל כי:
בעזרת פילוג הטמפרטורה נוכל למצוא את קצב מעבר חום לפי חוק פורייה:
התנגדות תרמית
נביט שוב בפילוג הטמפרטורה שקיבלנו עבור הקיר המישורי:
ממשוואה זו נובע קשר מאוד הדוק בין דיפוזיה של חום להתנגדות חשמלית. כמו שבהתנגדות חשמלית קשור להולכה החשמלית של החומר, נוכל לקשור בין התנגדות תרמית להולכה שלו. אם נגדיר את ההתנגדות התרמית כהיחס בין הפוטנציאל המניע את ההולכה לקצב המעבר חום, נסיק כי ההתנגדות התרמית להולכה של לוח פשוט הוא:
כאשר הממדים שלו הם:
באותו אופן, בהולכה חשמלית, חוק אוהם מתאר התנגדות חשמלית מהצורה:
נוכל באותו אופן גם להגדיר את ההתנגדות תרמית להסעה במשטח מסוים. מחוק הקירור של ניוטון:
כך שההתנגדות התרמית להסעה היא:
מעגלים הם כלי מעולה לתיאור בעיות מעברי חום. המעגל התרמי השקול לקיר המישורי מתואר באיור הקודם. את קצב מעבר החום נוכל למצוא מניתוח של כל חלק במעגל בנפרד. מאחר ו-
במובנים של הפרשי טמפרטורה כלליים,
כמו בחשמל, אנו יכולים לסכום את ההתנגדויות ההולכה וההסעה בטור כדי לקבל:
נוכל גם להגדיר התנגדות תרמית לקרינה, בעזרת חוק סטפן-בולצמן:
כאשר, ממשוואה (IH1.9):
לוח מעורב
נוכל להיעזר במעגלים תרמיים שקולים עבור מערכות יותר מסובכות, כמו לוח מעורב. קירות כאלה עלולים לכלול מספר התנגדויות תרמיים המחוברים בטור או במקביל כתוצאה משכבות של חומרים שונים.
נביט למשל לוח המעורב הבא:
מעגלים תרמיים שקולים ללוח מעורב טורי. (Bergman & Lavine, 2017).
המעבר חום החד ממדי ניתן לביטוי כ:
כאשר
כאלטרנטיבה, ניתן לקשר בין הפרש הטמפרטורות וההתנגדות של כל רכיב בנפרד:
במערכות מעורבות, לרוב נוח לעבוד עם מקדם מעבר חום כללי,
כאשר
באופן כללי, נוכל לרשום:
לוחות מעורבים יכולים לכלול נגדים תרמיים המחוברים בטור ובמקביל, כפי שמתואר באיור הבא:
מעגלים תרמיים שקולים ללוח מעורב. (Bergman & Lavine, 2017).
למרות שהמעבר חום הוא כעת רב-ממדי, לרוב עדיין נוכל להניח תנאים חד-ממדיים. תחת הנחה זאת, נוכל לפתח שני מעגלים תרמיים שונים. עבור מקרה (a), אנו מניחים שהמשטחים הנורמליים לכיוון
התנגדות מגע
למרות שהזנחנו זאת עד כאן, חשוב להכיר שבמערכות מעורבות, מפל הטמפרטורה לאורך המשטח מגע בין החומרים צריך להילקח בחשבון. הפרש טמפרטורה זה משויך למה שנקרא התנגדות מגע תרמית,
מפל טמפרטורה כתוצאה מהתנגדות מגע תרמית. (Bergman & Lavine, 2017).
הגדרה: התנגדות מגע תרמית
עבור יחידת שטח של המשטח מגע, ההתנגדות מגע תרמית מוגדרת כ:
הקיום של התנגדות מגע סופית היא כתוצאה מהחספוס של המשטח. בין הנקודות מגע של שני החומרים קיים לרוב אוויר, כך שמעבר החום כתוצאה מהולכה דרך נקודות המגע, והולכה/קרינה דרך המרווחים.
כדי לשפר את המגע התרמי בין הלוחות (כלומר, כדי להוריד את ההתנגדות מגע), נהוג לשים משחה תרמית (גריז, שמן וכו’) במגע בין החומרים, כך שההולכה התרמית במרווחים בין החומרים תשתפר. עבור מוצקים שההולכה התרמית שלהם גבוהה יותר מההולכה התרמית של המשחה התרמית, ניתן להקטין ההתנגדות התרמית ע”י הגדלת נקודות המגע בין המוצקים. ניתן לבצע זאת ע”י הגדלת לחץ המגע ביניהם, או ע”י החלקה של המשטחים כדי לקבל טיב פני שטח יותר טוב.
מערכות רדיאליות
במערכות רדיאליות - גליליות או ספריות, גרדיאנט הטמפרטורה עלול להתפשט רק בכיוון הרדיאלי, כך שנוכל להתייחס אליהם כחד-ממדיים.
קיר גלילי
דוגמה נפוצה היא גליל חלול שמשטחו הפנימי והחיצוני חשופים לזורמים בטמפרטורות שונות:
גליל חלול עם תנאי שפה של הסעה. (Bergman & Lavine, 2017).
במצב מתמיד, ללא ייצור חום, משוואת החום החד-מדדית בקואורדינטות פולאריות (בכיוון הרדיאלי) היא:
לכן, לפי חוק פורייה, קצב האנרגיה שמולך לאורך כל משטח גלילי בתוך המוצק ניתן לביטוי כ:
כאשר
בהנחה ו-
כדי לקבל את קבועי האינטגרציה
ונקבל כי:
נוכל להשתמש בחוק פורייה כדי לקבל את קצב המעבר חום:
מתוצאות אלו נסיק כי עבור הולכה רדיאלית בקיר גלילי, ההתנגדות התרמית היא מהצורה:
נביט כעת במערכת המעורבת הבאה:
פילוג טמפרטורה לקיר הגלילי. (Bergman & Lavine, 2017).
באותו אופן כמו בלוח מעורב, קצב המעבר אנרגיה ניתן לביטוי כ:
הביטוי הנ”ל ניתן גם להצגה במונחים של מקדם מעבר חום כללי:
כאשר אם
דוגמה: בידוד צינורות דקים
כאשר אנו רוצים לבודד צינור דק מהסביבה, ישנם שני אפקטים מנוגדים שפועלים אם מגדילים את עובי המבודד. מצד אחד, הגדלת העובי מעלה את התנגדות ההולכה. אבל, הגדלת העובי, שטח הפנים החיצוני של הצינור גדל, ובכך מקטין את התנגדות ההסעה. נרצה לדעת מהו העובי האופטימלי כדי לקבל איבוד חום מינימלי מהצינור. פתור את בעיה זאת לפי המערכת הבאה:
צינור דק ברדיוס
מזרים בתוכו נוזל קירור בטמפרטורה שנמוכה יותר מהטמפרטורה בסביבה, שהיא . האם יש עובי אופטימלי עבור השימוש של הבידוד לצינור?
פתרון:
הנחות:
- מצב מתמיד.
- מעבר חום חד-ממדי בכיוון הרדיאלי.
- התנגדות תרמית זניחה לקיר הצינור.
- תכונות אחידות למבודד.
- קרינה זניחה בין המשטח החיצוני של המבודד והסביבה.
ההתנגדות למעבר חום בין נוזל הקירור והאוויר נשלט ע”י ההולכה במבודד וההסעה באוויר. לכן המעגל התרמי הוא:
לכן, סך ההתנגדות ליחידת אורך של הצינור היא:כך שקצב המעבר חום ליחידת אורך של הצינור הוא:
עובי בידוד אופטימלי הוא העובי
עבורו מינימלי - כלומר מקסימלי. לכן נדרוש ש- : כדי לוודא שגודל זה הוא אכן מקסימום, ולא סתם נקודת קיצון כללית, נבדוק את ערך הנגזרת השנייה של
עבור : ב-
: מאחר וגודל זה תמיד חיובי, נסיק ש-
הוא העובי עבורו סך ההתנגדות היא מינימלית, לא מקסימלית. לכן, עובי בידוד אופטימלי לא קיים.
מתוצאה זו יותר הגיני לחשוב על הגודלכעובי בידוד קריטי:
הבידוד התרמי כתלות ב-
תחת נתונים מסוימים. (Bergman & Lavine, 2017).
קליפה כדורית
נביט כעת בקליפה כדורית:
.הולכה בקליפה כדורית. (Bergman & Lavine, 2017).
עבור הנפח בקרה הדיפרנציאלי באיור, משימור אנרגיה אנו יודעים ש-
כאשר
בהנחה ו-
בהנחה ו-
נזכור שההתנגדות התרמית מוגדרת כהפרש הטמפרטורות חלקי הקצב מעבר חום, ולכן:
הולכה עם ייצור חום פנימי
נרצה כעת לבחון כיצד ייצור חום פנימי עלול להשפיע על פתרון משוואת חום. מקרה נפוץ של ייצור חום פנימי הוא המרה של אנרגיה חשמלית לאנרגיה תרמית בתווך מוליך חשמלי כלשהו. הקצב בו האנרגיה נוצרת ע”י זרם
אם ייצור חום זה (
לוח פשוט
נביט בלוח פשוט עם ייצור חום פנימי אחיד
הולכה בלוח מישורי עם ייצור חום אחיד, עם תנאי שפה לא סימטריים. (Bergman & Lavine, 2017).
עבור הולכת חום אחידה, למשוואת החום יש את הצורה הבאה:
הפתרון הכללי למשוואה זו הוא:
כאשר
הקבועים ניתנים לקביעה, והם מהצורה:
במקרה זה הפילוג טמפרטורה הוא:
מצורת פתרון זו, ומהאיור למעלה, ניתן ישירות לקשר בין פילוג חום זה לפילוג המהירויות בזרימה צמיגה - הם מתוארים ע”י אותם המשוואות המתמטיות.
בעזרת פילוג המהירויות נוכל למצוא את שטף מעבר החום בכל נקודה בעזרת חוק פורייה. נשים לב הפעם שעם ייצור חום, השטף חום כעת תלוי ב-
כאשר הטמפרטורות בשני המשטחים שווים (
הולכה בלוח מישורי עם ייצור חום אחיד, עם תנאי שפה סימטריים. (Bergman & Lavine, 2017).
הטמפרטורה המקסימלית תהיה:
ופילוג הטמפרטורות יהיה מהצורה:
נשים לב שבמישור הסימטריה, גרדיאנט הטמפרטורה הוא אפסי (
הולכה בלוח מישורי עם ייצור חום אחיד, עם תנאי שפה אדיאבטי. (Bergman & Lavine, 2017).
מערכות רדיאליות
נדון כעת במקרה של ייצור חום פנימי במערכות רדיאליות:
הולכה בגליל מוצק עם ייצור חום פנימי קבוע. (Bergman & Lavine, 2017).
נתחיל ממשוואת החום בכיוון הרדיאלי:
לאחר אינטגרציה נקבל:
כדי למצוא את
תנאי זה מגיע מסימטריות הבעיה - בגליל, בציר הסימטריה שלו, גרדיאנט הטמפרטורה שלו חייב להיות אפס, כפי שראינו גם עבור לוח פשוט. מהצבת תנאי שפה זה נקבל ש-
לאחר עוד אינטגרציה נקבל:
מהצבת תנאי השפה
מעבר חום ממשטחים מורחבים
משטחים מורחבים (extended surfaces) במובנים של מעבר חום הוא ביטוי למקרה מיוחד הנוגע להולכה בגוף, ומעבר חום ע”י הסעה (או קרינה) מהגבולות של הגוף. עד עכשיו עסקנו במעברי חום מהגבולות של הגוף שבאותו הכיוון של ההולכה בתוך הגוף. לעומת זאת, במשטחים מורחבים, הכיוון של מעבר החום מהגבולות ניצב לכיוון הראשי של המעבר חום במוצק.
נביט במשטח המורחב הבא המחברת בין שתי לוחות בטמפרטורות שונות, שדרכו עבור זרם:
הולכה והסעה במשטח מורחב. (Bergman & Lavine, 2017).
כאשר
השימוש הנפוץ ביותר של משטח מורחב הוא כדי להגביר את מעבר החום בין מוצק לזורם. למשטח מורחב כזה קוראים צלע (fin).
שימוש בצלעות לשיפור המעבר חום. (Bergman & Lavine, 2017).
ניתוח הולכה בצלעות
כדי למצוא את ההולכה בצלעות, אנו ראשית צריכים למצוא את פילוג הטמפרטורה לאורך הצלע. נתחיל ממאזן אנרגיה על אלמנט דיפרנציאלי כפי שמתואר באויר הבא:
מאזן אנרגיה על צלע. (Bergman & Lavine, 2017).
נניח שהבעיה חד ממדית, בכיוון
נניח גם שאנו במצב מתמיד, ההולכה התרמית היא קבועה, הקרינה זניחה, אין ייצור חום, והמקדם הסעה
לפי החוק הראשון של התרמודינמיקה:
מחוק פורייה אנו יודעים ש:
כאשר
נסיק כי:
המעבר חום בהסעה ניתן לביטוי כ:
כאשר
או:
צלעות עם שטח חתך אחיד
כדי לפתור את משוואת החום הנ”ל אנו צריכים להיות יותר ספציפיים לגבי הגאומטרייה. במקרה הפשוט של שטח חתך אחיד:
צלע עם שטח חתך מלבני. (Bergman & Lavine, 2017).
כל אחת מהצלעות מחוברת לבסיס עם טמפרטורה
כדי לפשט את המשוואה הזו, נוח להגדיר משתנה חדש הנקרא טמפרטורה עודפת
כיוון ש-
כאשר:
משוואת החום שקיבלנו היא לינארית, הומוגנית, מד”ר מסדר שני עם מקדמים קבועים. הפתרון שלה הוא פשוט:
את הקבועים
עבור התנאי שפה השני, נוח לרוב למצוא את התנאי בקצה (
משני תנאי שפה אלו אנו מקבלים:
הולכה בצלע עם שטח חתך אחיד ותנאי שפה של הסעה. (Bergman & Lavine, 2017).
לרוב נרצה למצוא את סך המעבר חום מכל הצלע. מהאיור הנ”ל, ניתן לראות שנוכל לעשות זאת בשני דרכים:
- חוק פורייה בבסיס הצלע:
בעזרת הביטוי שמוצאים עבור , ניתן להציב ולקבל את . במקרה של הסעה בקצה: - כאלטרנטיבה, מחוק ראשון אנו יודעים שהקצב בו חום מועבר בהסעה מהצלע חייב להיות שווה לקצב בו הוא מולך דרך בסיס הצלע. לכן:
כאשר הוא סך שטח הפנים (כולל הקצה) של הצלע.
טבלה 3.4 מסכמת את המקרים השונים.
פרמטרי ביצועי הצלע
ראינו צלעות משמשות לשיפור המעבר חום ממשטח ע”י הגדלת שטח הפנים שלו. אבל, לצלע עצמה יש התנגדות תרמית. לכן, אין הבטחה שקצב המעבר חום יגדל משימוש הצלעות.
יעילות צלע
הגדרה: יעילות צלע
יעילות צלע,
מוגדרת, עבור משטח בעל טמפרטורת בסיס קבועה, כהיחס בין קצב המעבר חום של הצלע לקצב המעבר חום ללא הצלע: כאשר
הוא שטח החתך של הצלע בבסיס. לרוב, השימוש בצלעות הוא כאשר .
למשל, בהסתמך על טבלה 3.4, במידה ומדובר בצלע אינסופית, אנו יודעים ש-
נסיק שיעילות הצלע משתפרת משמעותית עם הבחירה של חומר בעל הולכה תרמית גבוהה. נקודה מעניינת היא שסגסוגות אלומיניום הם הבחירה הנפוצה לצלעות היום, למרות שלסגסוגות נחושת יש הולכה תרמית גבוהה יותר - האלומיניום זול וקל יותר.
יעילות הצלעות גם משתפרת ע”י הגברת היחס בין ההיקף לשטח החתך. מסיבה זאת, נעדיף צלעות דקות עם מרווחים קטנים ביניהן, עם התנאי שהמרווח לא יקטן מערך מסוים בו הזרימה בין הצלעות תיפגע משמעותית, מה שינמיך את מקדם ההסעה
התנגדות צלע
ניתן למדוד את ביצועי הצלע גם במובנים של התנגדות תרמית.
הגדרה: התנגדות צלע
התנגדות צלע היא היחס בין הפרשי הטמפרטורות בין הבסיס לזורם לקצב מעבר חום:
הגדרה זו מאוד שימושית אם נרצה לתאר את הצלע במעגל תרמי.
בנוסף, ניזכר גם שההתנגדות תרמית להסעה בבסיס אם הוא היה חשוף היא:
ולכן נוכל לרשום את היעילות התרמית גם כהיחס:
לכן, נוכל לחשוב על יעילות הצלע גם כיחס בין התנגדויות תרמיות, ושכדי להגדיל את
נצילות צלע
הגדרה: נצילות צלע
נצילות צלע מוגדרת כהיחס בין קצב מעבר החום האמיתי,
, לקצב מעבר החום המקסימלי האפשרי. קצב מעבר החום המקסימלי מהצלע מתרחש אם כל הצלע הייתה בטמפרטורת הבסיס : כאשר
הוא שטח הפנים של הצלע שבהסעה.
עבור צלע ישרה עם שטח חתך אחיד וקצה אדיאבטי, מטבלה 3.4, קצב מעבר החום הוא
ולכן הנצילות:
תוצאה זו אומרת לנו ש-
נוכל להיעזר בנצילות צלע כדי למצוא את התנגדות הצלע:
תיקונים לאורכי צלעות
הביטוי למעבר חום שקיבלנו עבור תנאי שפה הסעה די מסובכת:
אבל, ניתן להראות שאם נשתמש במקום זאת בביטוי למעבר חום עם תנאי שפה אדיאבטי בקצה
אבל עם תיקון לאורך צלע מהצורה
והנצילות כ:
השגיאה בקירוב זה זניחה אם:
הנצילויות והתיקונים לצלעות שונות נתונים בטבלה 3.5.
צלעות עם שטח חתך משתנה
הביטוי השני במשוואה (IH3.66) לא יכול להתבטל במקרה של צלעות עם שטח חתך משתנה, והפתרונות כבר לא בצורה של אקספוננט או פונקציה היפרבולית. מקרה מיוחד הוא המקרה של צלע טבעתית:
נצילות של צלעות טבעתיות עם פרופיל מלבני. (Bergman & Lavine, 2017).
למרות שעובי הצלע הוא אחיד (
כאשר נבחר
למשוואה זו יש פתרון אנליטי, אבל לא נעסוק בו במסגרת הקורס. אפילו הפתרון שלו, שמופיע בטבלה 3.5 (עבור annular fin), הוא מעיק לחישוב, אז נסתפק בקירובים לפי הגרף לעיל.
אם מדובר בצלעות משולשות או פרבוליות, אז יש להשתמש בגרף הבא:
נצילות כוללת
לעומת נצילות צלע
מערך צלעות. (a) צלעות מרובעות. (b) צלעות טבעתיות. (Bergman & Lavine, 2017).
הגדרה:
הנצילות הכוללת של מערך צלעות מוגדרת כ
כאשר
הוא סך קצב מעבר החום מהשטח פנים של כל הצלעות והבסיס החשוף שלהם.
אם ישנם
קצב המעבר חום המקסימלי מתקבל אם כלל שטח הפנים
סך הקצב מעבר חום בהסעה מהצלעות ומהבסיסים החשופים שלהם ניתן לביטוי כ
כאשר אנו מניחים שמקדם ההסעה
נסיק כי נוכל לרשום את הנצילות הכוללת גם כ:
מההגדרה של התנגדות תרמית, נוכל גם לפתח ביטוי להתנגדות התרמית של מערכת הצלעות:
לאחר פיתוחים, ניתן גם להראות:
אם הצלעות יוצרו בנפרד מהמשטח אליו הם מחוברים, יש התנגדות מגע
כאשר:
תרגילים
שאלה 1
על צידו האחד של קיר בעל שטח
סכמת הבעיה
בין הלוח החשמלי לקיר ישנה התנגדות מגע
סעיף א’
מהי טמפרטורת הלוח החשמלי
פתרון:
מעגל תרמי שקול
לכן ההתנגדות התרמית הכוללת:
נציב נתונים ונקבל:
לכן, מהגדרת ההתנגדות התרמית:
נציב נתונים:
סעיף ב’
מהי טמפרטורת הלוח לאחר התחשבות בקרינה לסביבה של
פתרון:
נוכל להתייחס לקרינה כהתנגדות תרמית מחוברת במקביל:
מעגל תרמי שקול
כעת ההתנגדות השקולה היא מהצורה:
כאשר
אנחנו לא יודעים מהו
נציב נתונים:
נוכל להציב הכל בחזרה במקומות המתאימים כדי להסיק כי:
לכן טמפרטורת הלוח היא:
סעיף ג’
מה תהיה טמפרטורת הלוח החשמלי אילו לא היה בידוד והלוח היה חשוף גם הוא לסביבה?
פתרון:
אם הלוח גם היה חשוף לסביבה, במעגל התרמי השקול נוסיף עוד חיבור לסביבה -
סכמת הבעיה
לכן ההתנגדות הכוללת החדשה היא:
כך שנוכל לחשב את
שאלה 2
שכבה של דלק גרעיני בעובי
סכמת הבעיה. (Bergman & Lavine, 2017).
סעיף א’
מצאו ביטוי להתפלגות הטמפרטורה בשכבת הדלק.
פתרון:
סכמת הבעיה
מהולכה עם ייצור חום פנימי, משוואת החום במצב מתמיד היא מהצורה:
מאחר ויש בידוד ב-
התנאי שפה השני הוא ב-
נקבל ש-
כעת נוכל למצוא את הקבוע השני,
לכן פילוג הטמפרטורה הוא:
סעיף ב’
ושרטטו באופן איכותי את פילוג הטמפרטורה מהבידוד לסביבה.
פתרון:
פילוג הטמפרטורה מהבידוד לסביבה.
שאלה 3
מייצרים חלק קוני מאלומיניום. יש לחלק חתך עגול בעל קוטר משתנה
סכמת הבעיה. (Bergman & Lavine, 2017).
נמדדו הטמפרטורות בפאות
פתרון:
הנחות:
- מצב מתמיד
- הולכה חד-ממדית
- אין ייצור חום פנימי
- תכונות אחידות
בהתבסס על ההנחות, לפי חוק פורייה, ההספק דרך שטח חתך במיקום
נעביר אגפים כי אנו רוצים למצוא ביטוי ל-
בפרט, עבור
נעביר אגפים כדי לקבל ביטוי עבור
נציב בביטוי עבור הפילוג טמפרטורה:
שאלה 4
מוט מתכת בעל ממדים
סכמת הבעיה.
המוט חשוף לזרימת אוויר
סעיף א’
האם מתקיימים התנאים לקירוב של צלע אין-סופית?
פתרון:
אנו מניחים שהצלע בקירוב אינסופית כאשר
ולכן נוכל להניח כי הצלע אינסופית.
סעיף ב’
חשבו את קצב פינוי החום ע”י המוט מהקיר.
פתרון:
מטבלה 3.4, עבור צלע אינסופית (מקרה D):
נקבל כי:
סעיף ג’
חשבו את נצילות ויעילות המוט.
פתרון:
מהגדרת הנצילות:
נקבל כי:
מהגדרת היעילות:
ולכן:
סעיף ד’
כעת, המוט מוכנס לתוך בידוד, כאשר חצי מאורכו חשוף לזרימת אוויר
סכמת הבעיה.
חשבו את הטמפרטורה
פתרון:
ניעזר בביטוי לקצב מעבר החום בבסיס הצלע
מכיוון שהצלע פועלת במצב מתמיד, ניתן לראות שקצב מעבר החום דרך בסיס הצלע הוא בדיוק אותו החום שנוצר בחלק הפנימי של המוט:
ולכן:
נציב נתונים ונקבל:
סעיף ה’
חשבו את הטמפרטורה
פתרון:
נמצא את פילוג הטמפרטורה בחלק הפנימי של המוט, בהנחה של מעבר חום דו-ממדי ומצב מתמיד. משוואת החום כולל ייצור חום פנימי:
נפתור ע”י אינטגרציה פעמיים:
תנאי השפה הם בידוד בקצה השמאלי וטמפרטורה ידועה בקצה הימני
ולכן פילוג הטמפרטורה:
בפרט, בקצה המוט:
נציב נתונים וגדלים ידועים ונקבל:
סעיף ו’
שרטטו את פילוג הטמפרטורה בתוך המוט.
פתרון:
נותר לנו למצוא את פילוג הטמפרטורה בחלק החיצוני של המוט, שלפי טבלה 3.4 הוא:
נקבל גרף מהצורה:
פילוג הטמפרטורה בתוך המוט.