פנגייה

MCS1_003 לינאריות קורה בכפיפה

• זמן קריאה: 6 דק'

קורה בכפיפה

לפי הנחת אוילר-ברנולי, ניתן לפתח את התלות של העיבור בציר הקורה כתוצאה מכפיפה ב-:

כאשר הוא רדיוס העקמומיות ו- הוא העקמומיות. לפי חוק הוק:

כאשר הוא מודול יאנג של הקורה (לא שדה חשמלי).
לכן המאמץ לאורך שטח החתך הוא:

מתוך גודל זה נוכל לחשב את הכוח הצירי השקול:

אם אנו מניחים שהקורה נמצאת תחת מומנט טהור, אז צריך להתקיים , ונסיק מכך שהציר הניטרלי (ממנו נמדד ) עובר דרך מרכז החתך.

נוכל לחשב גם את המומנט השקול בחתך:

כאשר הוא המומנט השני של החתך.

בהמשך הפיתוח אנו מקבלים את משוואת אוילר-ברנולי:

מטבלת שקיעות אנחנו מכירים שעבור קורה שלוחה רתומה-חופשיה, עבור כוח המופעל בקצה כפי שמוצג באיור 3.1:

איור 3.1: קורה רתומה-חופשיה.

נקבל שקיעה בקצה:

כלומר, נוכל לומר שהקשיחות שלנו כאן היא:

אם מדובר בקורה רתומה-חופשיה אנכית כפי שמוצג באיור 3.2:

איור 3.2: קורה רתומה-חופשיה אנכית.

השקיעה תהיה מהצורה:

הקשיחות תהיה:

אם מדובר בקורה רתומה-רתומה כפי שמוצג באיור 3.3:

איור 3.3: קורה רתומה-רתומה.

השקיעה (באמצע הקורה) תהיה מהצורה:

הקשיחות תהיה:

לינאריות מכנית של קורה שלוחה

לינאריות של קורת אוילר-ברנולי

בשקיעה של קורות, ראינו ש:

ביצענו את ההזנחה ל:

כי אנו אומרים שבהנחת זוויות קטנות, זניח ביחס לגודל במכנה. נניח כי הזנחה זו תקפה אם:

עבור קורה שלוחה מתקיים:

כלומר, ההזנחה שלנו תקפה אם:

נראה איך הזנחה זו מתבטאת בשקיעה הלינארית:

לפיכך:

נסיק שכל עוד השקיעה לא גדולה מ- של אורך הקורה, הנחת אוילר-ברנולי תקפה.

קשיחות צירית מול קשיחות כפיפה

בכפיפה משופעת לרוב הזנחנו את המאמץ המתפתח כתוצאה מכוח צירי . מתי מותר לנו לעשות זאת? עבור קורה רתומה-חופשיה אנכית ראינו ב-(3.2) ש:

ממוצקים 1 אנו יודעים שהקשיחות הצירית היא:

היחס ביניהם הוא:

לגודל קוראים תמירות - כמה המערכת ארוכה ביחס לעובי (זרימה מישהו?). כלומר, ככל שהקורה יותר ארוכה ביחס לעובי שלה, היא עמידה יותר באי-לינאריות הנגרמת כתוצאה מהצימוד בין עיבורים ציריים ושקיעות.

תגובה אי-לינארית של קורה רתומה

דנו במשפעל מסרק שיודע לבצע תנועה לינארית בהפעלת מתח/מטען. אך על איזה ציר הוא נע? איך אנו מקבעים את תנועתו במרחב אך מאפשרים לו לזוז לינארית מסרק מול מסרק?

פתרון אחד שעולה לראש הוא להשתמש בקורה רתומה-רתומה, ולחבר את המשפעל מסרק באמצע הקורה. הבעיה היא שקורה רתומה-רתומה הופכת לאי-לינארית כשהאמצע שלה שוקע רק בחצי מהעובי שלה!

זה לא טוב, אנחנו צריכים תנועות יותר רציניות במשפעל.

פתרון נוסף הוא להשתמש בקורה כפולה: התצורה מוצגת באיור 3.4.

איור 3.4: קורה כפולה.

במערכת זו המוט האנכי החופשי בצד ימין לא יכול להסתובב - הרי הקשיחות הצירית של כל מוט קשיחה בהרבה מקשיחות הכפיפה שלו. תאכלס, המוט יכול לנוע באופן פרבולי - אבל הוא עדיין לא מסתובב: התנועה האפשרית מודגמת באיור 3.5.

איור 3.5: תנועה אפשרית של המוט החופשי.

במערכת זו השקיעה תהיה:

והקשיחות:

אם נכפיל את תצורה זו ונשקף אותה סימטרית, נקבל מה שנקרא Folded-beam suspension, כפי שמוצג באיור 3.6:

איור 3.6: Folded-beam suspension.

לפי (3.2), הכוח הוא:

ולכן הקשיחות:

תרגילים

תרגיל 1

נעסוק בניתוח התגובה של קורה רתומה-רתומה, ראשית לפי תורת אוילר ברנולי ולארי מכן לפי קירוב למיתר. המטרה היא להכיר את נושא האי-לינאריות ולקבל הערכה מתי התגובה האי-לינארית נהיית דומיננטית, כפי שמוצג באיור 3.7.

איור 3.7: קורה רתומה-רתומה.

ראינו שקשיחות קורה זו לכפיפה לפי (3.3) היא:

כעת נעריך את גודל עיבור המתיחה כדי להבין מתי ההזנחה של כוחות ציריים נכונה.

נסמן אורך דיפרנציאלי של הקורה ב-. הגודל שלה:

בנוסף, נסמן . נציב את ביטוי זה ב- ונקבל:

ניתן להראות שעבור הקורה הנתונה, השקיעה הזוויתית היא:

נציב ב-(E1.2):

נציב את הביטוי ל- שקיבלנו עבור כפיפה:

האורך החדש של הקורה יקבל מתוך אינטגרציה על אלמנט האורך . נסמן את האורך החדש ב-:

מתוך פיתוח טיילור נקבל:

נשים לב שהחזקות חיוביות - זאת מכיוון שאין חשיבות לכיוון השקיעה.
נחשב את העיבור האורכי, נזכור כי האורך המקורי הוא :

נציב את :

ניתן לראות כי העיבור האורכי הוא מסדר גודל של . כלומר לפי המודל של אוילר-ברנולי, רק הזזות שהן בסדר גודל של אורך הקורה ומעלה יגרמו לאי-לינאריות.

תרגיל 2

המיתר מדמה מצב קיצון בו יש רק התארכות ואין באמת מצב של כפיפה. כאשר מסתכלים על מיתר יש כוח צירי הנובע ממתיחות, כפי שמוצג באיור 3.8..

איור 3.8: מיתר רתום-רתום.

העיבור הצירי מחוק הוק הוא:

ולכן:

איור 3.9: גאומטריית העיבור.

מגאומטריה, העיבור הוא:

בנוסף, מהגדרת העיבור:

ולכן:

נרצה למצוא את :

איור 3.10: חוק שווי משקל במיתר המתוח.

לכן לפי חוק שני:

נציב את (E1.4):

נציב את (E1.5):
נשים לב גם ש- . לפיכך:

נפתח לטיילור לפי :

ניתן לראות כי הקשר בין הכוח הצירי לשקיעה אינו לינארי בשונה מהמקרה הקודם.

הקירוב הראשון לכוח הצירי הוא:

לכן הקשיחות הצירית הינה:

הקשיחות הצירית אינה קבועה כמו הקשיחות בכפיפה, אלא פרופורציונלית לשקיעה בריבוע. כאשר השקיעה היא אפס גם הקשיחות היא אפס.

נסתכל על יחס הכוחות בין הכוח במתיחה לכוח בכפיפה

יחס הכוחות יחסי לעובי ו-לא לאורך. הכוח במתיחה יהיה דומיננטי כאשר השקיעה היא מסדר גודל של העובי ואז ההתנהגות כבר אינה לינארית.

עמודים המציינים את העמוד הזה